Ряды Фурье

Прошлая глава закончилась в тишине перед концертом. Звук — это давление воздуха у барабанной перепонки, которое меняется со временем, то есть функция всего одной переменной $p(t)$. Скрипка и флейта берут одну и ту же ноту ля, и у обеих кривая давления повторяется 440 раз в секунду. Но сами кривые непохожи: у флейты волна почти гладкая, у скрипки — угловатая, как зубья пилы. Ухо их не путает. Оно раскладывает звук на чистые тоны, синусоиды, и слышит, какие из них есть и насколько они громкие.

В этой главе мы откроем студию звукозаписи и сделаем с сигналом то же, что делает звукорежиссёр: послушаем, разберём на дорожки, покрутим ручки и соберём обратно. Вопросов два. Складывается ли из синусоид любой периодический сигнал? И как по готовой кривой узнать, из каких именно?

Одна нота, разные голоса

Самый простой звук — чистый тон: давление меняется по синусоиде $p(t) = A\sin(2\pi\nu t)$. Число $\nu$ — частота, сколько колебаний укладывается в секунду; $A$ — амплитуда, от неё зависит громкость. Почти чистый тон даёт камертон. У ноты ля первой октавы $\nu = 440$ Гц, и одно колебание длится $\frac{1}{440}$ секунды, около $2{,}27$ миллисекунды.

Добавим к нему синусоиду с частотой $880$ Гц. За одно колебание основного тона она успевает сделать ровно два, поэтому сумма снова повторяется через $\frac{1}{440}$ секунды. Высота ноты та же, меняется только форма волны. Так же ведут себя частоты $3 \cdot 440$, $4 \cdot 440$ и так далее: все они укладываются в период основного тона целое число раз. Музыканты называют их обертонами, математики — гармониками.

Дальше время удобно мерить так, чтобы период основного тона стал равен $2\pi$: вместо $t$ пишем $x = 2\pi\nu t$. Тогда гармоника номер $n$ — это синусоида $A\sin(nx + \varphi)$, и по формуле синуса суммы она равна $A\sin\varphi\cos nx + A\cos\varphi\sin nx$. Любую гармонику можно записать как смесь косинуса и синуса одной частоты, а сдвиг $\varphi$, фаза, спрятан в пропорции этой смеси.

Постоянная составляющая — среднее значение сигнала за период. Почему её удобно писать с половинкой, станет ясно, когда появятся формулы коэффициентов. Косинусная часть $n$-й гармоники. Синусная часть той же гармоники. Амплитуда гармоники равна $\sqrt{a_n^2 + b_n^2}$, а её фаза определяется отношением $a_n : b_n$. Пример: $f(x) = \sin x + \frac12\sin 2x + \frac13\sin 3x$. Здесь $a_0 = 0$, все $a_n = 0$, $b_1 = 1$, $b_2 = \frac12$, $b_3 = \frac13$. Это первые три гармоники «пилы», с которой мы начали: если продолжить ряд $\frac{\sin nx}{n}$, зубцы станут острее.

Перемешайте фазы несколько раз. Картинка каждый раз новая, а на слух звук почти не меняется. Похоже, ухо воспринимает набор амплитуд, а не саму форму волны. Эту догадку в 1843 году высказал Георг Ом, тот самый, что открыл закон для электрической цепи, а Герман Гельмгольц через двадцать лет построил на ней теорию слуха. Правило не абсолютное: в некоторых звуках фазы всё же различимы. Но звукорежиссёру оно служит хорошо, и тембр инструмента он описывает набором амплитуд гармоник.

Сигнал — сумма двух чистых тонов, 440 Гц и 660 Гц. Через сколько он повторяется?

Через $\frac{1}{220}$ секунды Через $\frac{1}{440}$ секунды Через $\frac{1}{660}$ секунды Никогда: частоты разные

$440 = 2 \cdot 220$ и $660 = 3 \cdot 220$, так что оба тона — вторая и третья гармоники частоты $220$ Гц. За $\frac{1}{220}$ секунды первый делает ровно два колебания, второй — три, и сумма повторяется. Основной частоты $220$ Гц в сигнале при этом нет вовсе.

С чего всё началось: тепло в кольце

Раскладывать функции на синусоиды первыми стали не музыканты, а физик, который изучал тепло. Жозеф Фурье ходил с Наполеоном в Египет, а потом стал префектом департамента Изер в Гренобле и между административными делами занимался теплопроводностью. В декабре 1807 года он представил Парижской академии мемуар о распространении тепла. Комиссия, в которой были Лагранж и Лаплас, приняла его холодно, и мемуар не напечатали. Позже академия сделала распространение тепла темой конкурса 1811 года, и Фурье его выиграл, хотя в отзыве снова упрекали за нестрогость. Полностью теория вышла в 1822 году книгой «Аналитическая теория тепла».

Возьмём тонкое проволочное кольцо и нагреем часть его неравномерно. Положение точки на кольце будем задавать углом $x$, а её температуру в момент времени $t$ — функцией $u(x, t)$. Тепло течёт от горячего к холодному, и точка нагревается тем быстрее, чем теплее в среднем её соседи. Эту «разницу с соседями» измеряет вторая производная по $x$. Если выбрать единицы так, чтобы коэффициент стал равен единице, получится уравнение теплопроводности

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$$

Частные производные нам знакомы по прошлой главе. Фурье заметил, что гармоники в этом уравнении живут поодиночке. Функция $u = e^{-n^2 t}\sin nx$ ему удовлетворяет: производная по $t$ даёт множитель $-n^2$, двойная производная по $x$ даёт тот же множитель $-n^2$. То же верно для $e^{-n^2 t}\cos nx$. Каждая гармоника остаётся гармоникой и просто гаснет со своей скоростью. Уравнение линейное, поэтому сумма решений — тоже решение. Если начальная температура раскладывается на гармоники, решение готово:

Множитель затухания. Чем выше номер гармоники, тем быстрее она гаснет: к моменту $t = 0{,}1$ первая сохраняет $e^{-0{,}1} \approx 90\,\%$ амплитуды, третья — $e^{-0{,}9} \approx 41\,\%$, пятая — $e^{-2{,}5} \approx 8\,\%$, а десятая — пять тысячных процента. Гармоника номер $n$ начальной температуры $u(x, 0)$. Постоянная $\frac{a_0}{2}$ — средняя температура кольца. Она не меняется: кольцо не отдаёт тепло наружу, тепло лишь перетекает. Формула верна, если начальный профиль раскладывается в ряд; при $t > 0$ множители $e^{-n^2t}$ убывают так быстро, что ряд можно дифференцировать почленно.

Задача свелась к одному вопросу: как разложить на гармоники начальную температуру? А она может быть какой угодно, например половина кольца горячая, половина холодная. Значит, Фурье пришлось утверждать, что на синусоиды раскладывается даже функция со ступенькой.

Ступенька из синусоид

Именно это и возмутило Лагранжа. Синусоиды гладкие, их суммы тоже гладкие — откуда взяться ступеньке? Проверим на самом неудобном сигнале, прямоугольной волне. В радиотехнике её зовут меандром: $\operatorname{sq}(x) = 1$ при $0 < x < \pi$ и $\operatorname{sq}(x) = -1$ при $-\pi < x < 0$, а дальше она повторяется с периодом $2\pi$. Ответ Фурье:

Общий множитель. Откуда он берётся, покажут формулы коэффициентов. Основной тон с амплитудой $\frac{4}{\pi} \approx 1{,}27$ — он даже выше ступеньки. Третья гармоника. Она прижимает горб посередине и делает края круче. Все гармоники нечётные. У меандра вторая половина периода — перевёрнутая первая: $\operatorname{sq}(x + \pi) = -\operatorname{sq}(x)$. Синусоида $\sin nx$ при сдвиге на $\pi$ умножается на $(-1)^n$, так что это свойство есть только у нечётных гармоник, а чётным в меандре взяться неоткуда. Пример: при $x = \frac{\pi}{2}$ синусы равны $1, -1, 1, -1, \dots$, и формула обещает $\frac{4}{\pi}\bigl(1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \dots\bigr) = 1$, то есть $1 - \frac13 + \frac15 - \dots = \frac{\pi}{4}$. Это медленный ряд Лейбница из главы о рядах. Частичные суммы подбираются к единице неторопливо: $1{,}273$, $0{,}849$, $1{,}103$, … после десяти гармоник $0{,}968$.

Каждая частичная сумма — непрерывная функция, и в точке $x = 0$ все синусы равны нулю. Значит, ряд сходится там к нулю, ровно к середине скачка. Ступенька получается только в пределе. Лагранж ошибался: предел непрерывных функций бывает разрывным. Но тревожился он не зря — обращаться с таким пределом надо осторожно. Где именно ряд сходится и к чему, мы выясним. Но сначала разберёмся, откуда берутся коэффициенты $\frac{4}{\pi}$, $\frac{4}{3\pi}$, $\frac{4}{5\pi}$.

Почему дорожки не мешают друг другу

Похожую задачу мы уже решали для стрелок. В главе о векторах проекция вектора на единичную ось была скалярным произведением. Если оси $\vec e_1$ и $\vec e_2$ перпендикулярны и $\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2$, то $\vec a \cdot \vec e_1 = a_1$: второе слагаемое пропадает, потому что $\vec e_2 \cdot \vec e_1 = 0$. Координату можно найти, не решая никаких уравнений, — надо только умножить скалярно на ось.

Сделаем то же с функциями. У вектора координат несколько, у функции «координат» столько же, сколько точек $x$, и сумма произведений координат превращается в интеграл произведения.

Первая функция, например сигнал. Вторая функция, например гармоника, на которую мы проецируем. Пример: $\langle \sin x, \sin x\rangle = \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x\,dx = \pi$, $\langle 1, 1\rangle = 2\pi$, $\langle x, \sin x\rangle = \bigl[\sin x - x\cos x\bigr]_{-\pi}^{\pi} = 2\pi$. Это произведение обладает теми же свойствами, что и скалярное произведение векторов: оно симметрично, линейно по каждому аргументу, а $\langle f, f\rangle = \int f^2\,dx \ge 0$ играет роль квадрата длины.

Хитрость в том, чтобы превратить произведение синусоид в сумму: площади под слагаемыми считаются по отдельности.

Возьмём две синусоиды, $\p1{\sin mx}$ и $\p2{\sin nx}$; на чертеже $m = 3$ и $n = 2$, гребни можно тянуть и менять частоты. Нам нужна площадь со знаком под их произведением на отрезке $[-\pi;\,\pi]$. Вычтем формулы косинуса разности и косинуса суммы: $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$. При $\alpha = mx$, $\beta = nx$ получаем $\p3{\sin mx\sin nx} = \p4{\tfrac12\cos(m - n)x} - \p5{\tfrac12\cos(m + n)x}$. На чертеже разность двух косинусоид в точности совпадает с произведением. Площадь под $\cos kx$ при целом $k \ne 0$ на отрезке длиной $2\pi$ равна нулю. Первообразная $\frac{\sin kx}{k}$ на обоих концах равна нулю, потому что $\sin(\pm k\pi) = 0$. На чертеже это видно так: на отрезке укладывается ровно $|k|$ периодов, и каждый горб над осью уравновешен такой же впадиной. Если $m \ne n$, у обеих косинусоид частоты $m - n$ и $m + n$ ненулевые, и весь интеграл равен нулю. Если $m = n \ge 1$, первая косинусоида вырождается в постоянную $\frac12$, площадь под ней $\frac12 \cdot 2\pi = \pi$, а вторая по-прежнему даёт ноль. Косинусы разбираются так же через $\cos mx\cos nx = \frac12\cos(m - n)x + \frac12\cos(m + n)x$. Наконец, $\sin mx\cos nx = \frac12\sin(m + n)x + \frac12\sin(m - n)x$, а площадь под синусом на отрезке, симметричном относительно нуля, равна нулю: синус нечётен, и его горб справа уравновешен впадиной слева.

Из того же рассуждения о площадях следует полезное правило о симметрии. Сигнал называют чётным, если $f(-x) = f(x)$, как у $|x|$, и нечётным, если $f(-x) = -f(x)$, как у меандра.

Идея: произведение нечётной функции на чётную нечётно, а у нечётной функции площади слева и справа от нуля взаимно уничтожаются.

Нечётность $\p1{f}$ означает, что её график переходит в себя при повороте на $180^\circ$ вокруг начала координат: левая половина — это правая, повёрнутая на пол-оборота. Косинус $\p2{\cos nx}$ чётен: его левая половина — зеркальное отражение правой в оси ординат, потому что $\cos(-nx) = \cos nx$. Произведение $\p3{f(x)\cos nx}$ нечётно: $f(-x)\cos(-nx) = -f(x)\cos nx$. Каждой его точке справа отвечает точка слева с противоположным знаком. Значит, площадь со знаком под произведением на $[-\pi;\,0]$ равна площади на $[0;\,\pi]$ с обратным знаком, и в сумме получается ноль: $\langle f, \cos nx\rangle = 0$. Для $n = 0$ это значит, что $\int f\,dx = 0$. Для чётной $f$ всё так же: произведение $f(x)\sin nx$ нечётно, и $\langle f, \sin nx\rangle = 0$.

Разбираем на дорожки

Теперь коэффициенты находятся тем же способом, что координаты вектора. Пусть $f = \frac{a_0}{2} + \sum_k (a_k\cos kx + b_k\sin kx)$. Умножим скалярно на $\cos nx$: все слагаемые, кроме одного, ортогональны этому «щупу» и пропадают, а оставшееся даёт $a_n\langle \cos nx, \cos nx\rangle = \pi a_n$. Для $n = 0$ щупом служит единица: $\langle f, 1\rangle = \frac{a_0}{2}\cdot 2\pi = \pi a_0$. Ради этого постоянную и записывают с половинкой — формула для $a_0$ становится такой же, как для остальных.

Остался вопрос честности: можно ли умножать бесконечную сумму на $\cos nx$ и интегрировать её по слагаемым, как конечную? Не всегда. Для этого нужна равномерная сходимость: чтобы остаток ряда после $N$-го члена был мал сразу на всём отрезке, а не в каждой точке по отдельности.

Найдём координату так же, как у вектора: умножим скалярно на ось. Работу по перестановке суммы и интеграла сделает равномерность.

Функция $f$ — равномерный предел непрерывных частичных сумм, поэтому она непрерывна (это доказывается в главе о строгом анализе) и интегралы в формулах существуют. Зафиксируем $n$ и возьмём $\varepsilon > 0$. При $N \ge \max(n, N_0)$ имеем $|f(x) - S_N(x)| < \varepsilon$ на всём отрезке, а $|\cos nx| \le 1$. Поэтому $\left|\int_{-\pi}^{\pi}f\cos nx\,dx - \int_{-\pi}^{\pi}S_N\cos nx\,dx\right| \le \int_{-\pi}^{\pi}\varepsilon\,dx = 2\pi\varepsilon$. Сумма $S_N$ конечна, и её можно интегрировать по слагаемым. По теореме об ортогональности выживает одно слагаемое: $\int S_N\cos nx\,dx = a_n \cdot \pi$ при $n \ge 1$ и $\frac{a_0}{2}\cdot 2\pi = \pi a_0$ при $n = 0$. Получили $\left|\int_{-\pi}^{\pi}f\cos nx\,dx - \pi a_n\right| \le 2\pi\varepsilon$ при любом $\varepsilon > 0$. Неотрицательное число, которое меньше любого положительного, равно нулю, так что $\pi a_n = \int f\cos nx\,dx$. Для $b_n$ рассуждение то же с множителем $\sin nx$.

Формулы можно применить к любой интегрируемой функции, даже не зная заранее, сходится ли что-нибудь. Так и определяют главный объект главы.

Сигнал на одном периоде. Щуп для косинусной части $n$-й гармоники; при $n = 0$ это единица, и $a_0$ — удвоенное среднее значение сигнала. Щуп для синусной части. Делим на $\pi$, потому что $\langle \sin nx, \sin nx\rangle = \pi$: это квадрат «длины» оси. Пример: для меандра $a_n = 0$, потому что он нечётен, а $b_n = \frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}(-\sin nx)\,dx + \int_0^{\pi}\sin nx\,dx\Bigr) = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin nx\,dx = \frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{\pi n}$. При нечётных $n$ это $\frac{4}{\pi n}$, при чётных — ноль. Получился ровно ряд Фурье для меандра.

Найдите коэффициент $b_2$ функции $f(x) = x$ на $(-\pi;\,\pi)$ (её периодическое продолжение — «пила»).

По частям: $\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx = \Bigl[-\frac{x\cos nx}{n}\Bigr]_{-\pi}^{\pi} + \frac1n\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\,dx = -\frac{2\pi\cos n\pi}{n} + 0$. Значит, $b_n = -\frac{2\cos n\pi}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$, и $b_2 = -1$. Весь ряд: $x \sim 2\bigl(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \dots\bigr)$.

Найдите $a_1$ для $f(x) = |x|$ на $[-\pi;\,\pi]$. Ответ можно записать через $\pi$, например 4/pi.

Функция чётна, поэтому $a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos nx\,dx = \frac{2}{\pi}\Bigl[\frac{x\sin nx}{n} + \frac{\cos nx}{n^2}\Bigr]_0^{\pi} = \frac{2\bigl((-1)^n - 1\bigr)}{\pi n^2}$. При $n = 1$ получаем $a_1 = -\frac{4}{\pi} \approx -1{,}273$. У чётных $n$ коэффициенты нулевые, а нечётные убывают как $\frac{1}{n^2}$ — быстрее, чем у меандра: у «треугольника» $|x|$ нет скачков, только изломы.

Последнее наблюдение стоит запомнить: чем глаже сигнал, тем быстрее убывают его коэффициенты. Скачок даёт $\frac1n$, излом — $\frac{1}{n^2}$. Причина — интегрирование по частям: каждый раз, когда гладкость сигнала позволяет перебросить производную на него, в коэффициенте появляется лишний множитель $\frac1n$. Поэтому в кольце из прошлого раздела острые углы исчезали первыми: их держат высокие гармоники, а те гаснут как $e^{-n^2t}$.

Вычислять коэффициенты для кусочно заданных функций, смотреть частичные суммы и вращающиеся векторы гармоник можно в визуализаторе рядов Фурье — там есть и стандартные задачи из задачников.

Когда ряд сходится к сигналу

Коэффициенты есть у любой интегрируемой функции, но это ещё не значит, что ряд сходится, и тем более — что к ней самой. Фурье был уверен, что сходится всегда, Лагранж сомневался. Первым честно доказал сходимость для широкого класса функций Петер Густав Лежён Дирихле в 1829 году.

Меандр, «пила», «треугольник» и любой сигнал, нарисованный отрезками и дугами, кусочно-гладкие. Для доказательства понадобится лемма о быстрых колебаниях: если умножить функцию на очень частую синусоиду, площадь под произведением почти исчезнет.

Хитрость — сначала доказать лемму для ступенчатой функции, где всё видно, а потом приблизить ступеньками любую.

Одна ступенька: $\p1{g = c}$ на отрезке $[\alpha;\,\beta]$. Тогда $\int_\alpha^\beta c\sin\lambda t\,dt = \frac{c}{\lambda}(\cos\lambda\alpha - \cos\lambda\beta)$, и модуль этого числа не больше $\frac{2|c|}{\lambda}$. На чертеже соседние горб и впадина частой синусоиды взаимно уничтожаются, и остаётся лишь кусочек у краёв. Ступенчатая функция $\p2{s}$ из $m$ ступенек с высотами $c_1, \dots, c_m$: интегралы складываются, и $\left|\int_a^b s(t)\sin\lambda t\,dt\right| \le \frac{2(|c_1| + \dots + |c_m|)}{\lambda}$. При растущем $\lambda$ это стремится к нулю. Сдвиньте ромбик на шкале $\lambda$ вправо: чем чаще синусоида, тем меньше остаток. Теперь любая кусочно-непрерывная $\p3{g}$. На каждом замкнутом куске она непрерывна, а значит, равномерно непрерывна (теорема Кантора, глава о строгом анализе). Возьмём $\varepsilon > 0$ и разобьём отрезок так мелко, чтобы на каждой части $g$ менялась меньше чем на $\varepsilon$. Ступенчатая $s$, равная $g$ в левом конце каждой части, отличается от $g$ меньше чем на $\varepsilon$ везде, кроме конечного числа точек, которые на интеграл не влияют. Оценим: $\left|\int g\sin\lambda t\right| \le \int|g - s|\cdot|\sin\lambda t| + \left|\int s\sin\lambda t\right| \le \varepsilon(b - a) + \frac{2\sum|c_i|}{\lambda}$. Второе слагаемое при больших $\lambda$ меньше $\varepsilon$, так что интеграл по модулю меньше $\varepsilon(b - a + 1)$. Число $\varepsilon$ было любым, значит, предел равен нулю. С косинусом — дословно так же.

Идея: записать частичную сумму как усреднение сигнала с весом, который при росте $N$ собирается у нуля. Вклад всего, что вдали от нуля, убьёт лемма Римана — Лебега.

Подставим в частичную сумму $S_N(x)$ формулы коэффициентов с переменной интегрирования $u$. По формуле косинуса разности $a_k\cos kx + b_k\sin kx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(u)\cos k(u - x)\,du$, и после замены $u = x + t$ (у периодической функции интеграл по любому отрезку длиной $2\pi$ одинаков) $S_N(x) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x + t)\,\p1{D_N(t)}\,dt$, где $D_N(t) = \frac12 + \cos t + \cos 2t + \dots + \cos Nt$ — ядро Дирихле. Ядро сворачивается в дробь. Из формулы произведения $2\sin\frac t2\cos kt = \sin\bigl(k + \frac12\bigr)t - \sin\bigl(k - \frac12\bigr)t$, и в сумме по $k$ от $1$ до $N$ вместе с $2\sin\frac t2\cdot\frac12$ всё сокращается, кроме $\sin\bigl(N + \frac12\bigr)t$. Значит, $D_N(t) = \frac{\sin(N + \frac12)t}{2\sin\frac t2}$. На чертеже — высокий узкий пик высотой $N + \frac12$ у нуля и затухающие волны по бокам. Площадь под ядром: косинусы на периоде дают ноль, остаётся $\int_{-\pi}^{\pi}\frac12\,dt = \pi$. Ядро чётное, поэтому $\p2{\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}D_N\,dt = \frac12}$, и слева столько же. Обозначим $\p3{h(t) = f(x + t) - f(x + 0)}$. Умножим $f(x + 0)$ на правую половинку площади, $f(x - 0)$ — на левую и вычтем из $S_N(x)$. Разность $S_N(x) - \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}{2}$ станет суммой двух интегралов: правого $\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}h(t)D_N(t)\,dt$ и такого же левого — по отрезку $[-\pi;\,0]$, где вместо $f(x + 0)$ стоит $f(x - 0)$. В правом интеграле положим $\p4{g(t) = \frac{h(t)}{2\sin(t/2)}}$; тогда он равен $\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}g(t)\sin\bigl(N + \frac12\bigr)t\,dt$. При $t \to 0^+$ функция $g$ не разбегается: $g(t) = \frac{h(t)}{t}\cdot\frac{t}{2\sin(t/2)}$. Первый множитель по теореме Лагранжа равен $f'(\xi)$ в точке $\xi$ между $x$ и $x + t$ и стремится к пределу производной справа, второй стремится к $1$. Значит, $g$ кусочно-непрерывна на $[0;\,\pi]$. По лемме Римана — Лебега с $\lambda = N + \frac12$ правый интеграл стремится к нулю; левый — точно так же. Поэтому $S_N(x) \to \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}{2}$.

Теорема Дирихле сразу окупается. Разложим $f(x) = x^2$ на $[-\pi;\,\pi]$. Функция чётна, синусов нет; дважды интегрируя по частям, получаем $a_0 = \frac{2\pi^2}{3}$ и $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$:

$$x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cos nx}{n^2}.$$

Периодическое продолжение параболы непрерывно, в том числе в точке $x = \pi$, где соседние дуги встречаются на высоте $\pi^2$. Там $\cos n\pi = (-1)^n$, и по теореме Дирихле $\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{1}{n^2}$. Отсюда $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ — ответ задачи Базеля, над которой Эйлер бился в главе о рядах, получился в две строки.

К чему сходится ряд Фурье меандра в точке $x = 0$?

К нулю К единице Ряд там расходится К $\frac{4}{\pi}$

Все синусы в нуле равны нулю, так что каждая частичная сумма равна $0$. Это согласуется с теоремой Дирихле: $\frac{f(0 - 0) + f(0 + 0)}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0$ — середина скачка.

Звон на краю ступеньки

Посмотрите на частичные суммы меандра вблизи скачка. Каждая перескакивает уровень единицы, потом ныряет ниже и колеблется, как струна после щипка. Можно подумать, что с ростом $N$ выброс исчезнет. Не исчезнет: он становится всё уже и прижимается к скачку, но его высота не опускается ниже $1{,}179$.

Хитрость — растянуть картинку у скачка в $2M$ раз. В новом масштабе высота первого пика оказывается суммой прямоугольников под кривой $\frac{\sin t}{t}$.

Положим $t = 2Mx$. На чертеже — частичная сумма в этом масштабе, $\p1{S_M\bigl(\frac{t}{2M}\bigr)}$: при любом $M$ её первый пик приходится на $t = \pi$. Докажем это. Производная $S_M'(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{j=1}^{M}\cos(2j - 1)x$. Из $2\sin x\cos(2j - 1)x = \sin 2jx - \sin(2j - 2)x$ сумма телескопически сворачивается: $\p2{S_M'(x) = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin 2Mx}{\sin x}}$. На $\bigl(0;\,\frac{\pi}{2M}\bigr)$ производная положительна, сразу после $\frac{\pi}{2M}$ — отрицательна, так что при $x = \frac{\pi}{2M}$, то есть $t = \pi$, сумма достигает максимума. Значение в пике: $S_M\bigl(\frac{\pi}{2M}\bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{j=1}^{M}\frac{\sin t_j}{2j - 1}$, где $t_j = \frac{(2j - 1)\pi}{2M}$. Так как $\frac{1}{2j - 1} = \frac{\pi}{2Mt_j}$, получаем $\frac{2}{\pi}\sum_{j=1}^{M}\p3{\frac{\sin t_j}{t_j}\cdot\frac{\pi}{M}}$. Это сумма площадей $M$ прямоугольников шириной $\frac{\pi}{M}$ с высотами в серединах — сумма Римана для $\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{t}\,dt$. Функция $\frac{\sin t}{t}$ непрерывна на $[0;\,\pi]$ (в нуле она равна $1$), поэтому её суммы Римана сходятся к интегралу, и высота пика стремится к $\p4{\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{t}\,dt \approx 1{,}17898}$. Это число не зависит от $M$: пик сужается вместе с масштабом $x = \frac{t}{2M}$, но не опускается. Выброс $0{,}17898$ составляет $8{,}949\,\%$ скачка высотой $2$.

Противоречия с теоремой Дирихле нет. Она говорит о каждой точке по отдельности: при фиксированном $x > 0$ пик рано или поздно проскочит левее $x$, и дальше $S_M(x)$ спокойно подойдёт к единице. Но сходимость не равномерна: у скачка всегда найдётся точка, где частичная сумма ошибается почти на $0{,}18$. Иначе и быть не могло — равномерный предел непрерывных функций непрерывен, а меандр разрывен.

Выброс можно убрать, если не обрывать ряд резко. Липот Фейер в 1900 году предложил брать среднее арифметическое частичных сумм $\sigma_N = \frac{S_0 + S_1 + \dots + S_{N-1}}{N}$. В нём $k$-я гармоника входит с весом $1 - \frac{k}{N}$, то есть высокие гармоники приглушаются плавно. Включите в лупе средние Фейера: ряби нет, ступенька слегка размыта. Почему выброса нет совсем, показывает ядро.

Звон Гиббса знаком всем, кто видел пережатые JPEG-картинки: вокруг чёрных букв на белом фоне появляется рябь. Это отброшенные высокие гармоники, и о них ещё пойдёт речь.

Круги на кругах

Формулы станут короче, если вспомнить формулу Эйлера из главы о числе $e$: $e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$. Тогда $\cos nx = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2}$ и $\sin nx = \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i}$, и пара «косинус плюс синус» превращается в пару вращений с частотами $n$ и $-n$.

Комплексная амплитуда. Её модуль — радиус окружности, аргумент — начальный угол. Связь с прежними коэффициентами: $c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}$, $c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2}$, $c_0 = \frac{a_0}{2}$. Вращение по единичной окружности: за период точка $e^{inx}$ делает $|n|$ оборотов, при $n < 0$ — по часовой стрелке. Пример: $\cos x = \frac12 e^{ix} + \frac12 e^{-ix}$ — две окружности радиуса $\frac12$, которые вращаются навстречу друг другу. Мнимые части их точек всё время гасят друг друга, и сумма качается по действительной оси от $-1$ до $1$.

Формула работает и для замкнутой кривой на плоскости: точка $z(x) = X(x) + iY(x)$, обходящая кривую за время $2\pi$, — комплекснозначная функция с периодом $2\pi$. Её ряд Фурье — цепочка вращающихся окружностей: центр каждой сидит на краю предыдущей, и каждая крутится со своей целой частотой. Астрономы знали такие цепочки за полторы тысячи лет до Фурье. В «Альмагесте» Птолемея (около 150 года) планета движется по малому кругу, эпициклу, центр которого движется по большому кругу, деференту. Так объясняли попятное движение: время от времени Марс на небе останавливается и петляет назад.

Посмотрите образец «Марс с Земли». Марс обходит Солнце почти по окружности радиусом $1{,}52$ астрономической единицы, Земля — радиусом $1$, и за 15 лет Земля делает 15 оборотов, а Марс почти ровно 8. Положение Марса относительно Земли — разность двух вращений, $z(t) = 1{,}52\,e^{8it} - e^{15it}$: ряд Фурье с двумя членами. Деферент Птолемея — это орбита самого Марса, а эпицикл — перевёрнутая орбита Земли. В самой простой версии модели эпицикл внешней планеты так и оборачивается ровно за год. Настоящая модель Птолемея сложнее: центр деферента в ней смещён, а равномерность движения отсчитывается от особой точки, экванта. Но в одном виджет честен: кругами на кругах можно нарисовать что угодно, хоть профиль слона, поэтому хорошее совпадение с наблюдениями само по себе ничего не объясняет. Объяснение пришло с эллипсами Кеплера (1609) и законом тяготения Ньютона.

Цифровой пульт

В компьютере звук хранится не формулой, а отсчётами: на компакт-диске — 44 100 значений в секунду. Интеграл в формуле для $c_n$ тогда заменяется суммой по отсчётам, и получается дискретное преобразование.

Отсчёты сигнала на одном периоде (или в одном окне записи). Щуп: гармоника номер $k$, взятая в тех же $N$ точках. Если считать, что $N$ отсчётов покрывают период $2\pi$, то $x_n = f\bigl(\frac{2\pi n}{N}\bigr)$, и $\frac{X_k}{N}$ — это формула для $c_k$, где интеграл заменён суммой прямоугольников. Пример: $N = 4$, отсчёты $1, 0, -1, 0$ (косинус в четырёх точках). Ненулевые отсчёты только $x_0 = 1$ и $x_2 = -1$, поэтому $X_1 = 1 + (-1)\cdot e^{-2\pi i \cdot 2/4} = 1 + (-1)(-1) = 2$; так же $X_3 = 2$, а $X_0 = X_2 = 0$. Косинус — это две равные «окружности» с номерами $1$ и $-1 \equiv 3$.

Замечательно, что дискретное преобразование обращается точно, без всяких вопросов о сходимости. В основе лежат корни из единицы из главы о комплексных числах. Обозначим $\omega = e^{2\pi i/N}$.

Идея: сложить слагаемые стрелками, приставляя каждую к концу предыдущей, и увидеть, что цепочка замкнулась.

Корни степени $N$ из единицы — вершины правильного $N$-угольника на единичной окружности; на чертеже $N = 8$. Числа $\p1{\omega^{kd}}$, $k = 0, \dots, N - 1$, — тоже корни из единицы: каждое следующее получается из предыдущего поворотом на угол $\frac{2\pi d}{N}$. Точку $\omega^d$ можно двигать по окружности. Приставим стрелки одну к другой. Каждая повёрнута относительно предыдущей на один и тот же угол $\frac{2\pi d}{N}$, а после $N$ стрелок набегает поворот $2\pi d$ — целое число оборотов. Цепочка обходит правильный многоугольник (может быть, несколько раз) и возвращается в начало: сумма равна нулю. Алгебраически: для $q = \omega^d$ сумма $S = 1 + q + \dots + q^{N-1}$ удовлетворяет $qS - S = q^N - 1 = \omega^{dN} - 1 = 0$. Если $q \ne 1$, то $S = 0$. Если $q = 1$, что бывает ровно при $d$, кратном $N$, все стрелки смотрят в одну сторону, и $S = N$.

Считать ДПФ по определению дорого: $N$ чисел, в каждом $N$ слагаемых, всего $N^2$ умножений. Для $N = 1024$ это больше миллиона. В 1965 году Джеймс Кули и Джон Тьюки опубликовали способ, который назвали быстрым преобразованием Фурье.

Одно ДПФ длины $N$ свелось к двум вдвое короче плюс $\frac N2$ умножений на $\omega^{-k}$. Повторяя, пока длина не станет равной единице, получаем $\log_2 N$ уровней по $\frac N2$ умножений: для $N = 1024$ это $5120$ вместо $1\,048\,576$, в двести раз меньше. Для $2^{20}$ отсчётов, около 24 секунд звука с компакт-диска, выигрыш больше ста тысяч раз. Позже выяснилось, что тот же приём придумал Гаусс около 1805 года, когда рассчитывал орбиты астероидов Паллады и Юноны. При жизни он заметку не опубликовал, её напечатали в собрании сочинений в 1866 году, и оценили только в 1980-х.

На быстром преобразовании Фурье и его родственниках держится почти вся цифровая обработка сигналов. Эквалайзер в плеере умножает каждую частотную составляющую на свой коэффициент: поднять басы — значит усилить низкие частоты. Формат JPEG (стандарт 1992 года) делит картинку на квадраты $8 \times 8$ пикселей и раскладывает каждый по косинусам. Это дискретное косинусное преобразование, которое предложили Насир Ахмед, Т. Натараджан и К. Р. Рао в 1974 году. Высокие гармоники глаз замечает плохо, и их хранят грубо или отбрасывают: отсюда и звон у резких краёв. Формат MP3 (стандарт 1993 года) делает то же со звуком: раскладывает его по частотам и выбрасывает то, что заглушено соседними, более громкими частотами и потому всё равно не слышно.

Сведение

В студии остаётся последняя работа — набить руку. На первом уровне тренажёра коэффициенты читаются прямо с тригонометрического многочлена или угадываются по чётности функции, на втором многочлен сначала приходится получить из произведений и степеней синусов, на третьем — вычислить коэффициенты по формулам для «пилы», «треугольника», параболы и меандра.

Куда дальше

Комплексная форма сделала всё проще. Вместо двух формул для $a_n$ и $b_n$ — одна для $c_n$, вместо пар «косинус и синус» — вращающиеся окружности, а дифференцировать гармонику стало совсем легко: $\bigl(e^{inx}\bigr)' = in\,e^{inx}$, производная просто умножает её на число. Что будет, если перенести в комплексные числа весь анализ — рассматривать функции, у которых и аргумент, и значение комплексные, дифференцировать их и интегрировать вдоль кривых на плоскости? Там найдётся и разгадка давней загадки: почему ряд Тейлора гладкой на всей прямой функции $\frac{1}{1 + x^2}$ сходится только при $|x| < 1$. Об этом глава о комплексном анализе.