Визуализация рядов Фурье
Выберите форму волны, типовую функцию из задачника или задайте свою функцию от x. Инструмент покажет коэффициенты aₙ/bₙ, частичную сумму, сходимость в выбранной точке x₀, график исходной функции, сумму ряда и отдельные гармоники.
Исходная волна и сумма ряда
Слагаемые ряда
Почему это работает
- Синусы и косинусы разных частот ортогональны за целый период: их взаимное среднее равно нулю.
- Коэффициент Фурье — это проекция сигнала на конкретную частоту. Если частота есть в сигнале, проекция получается большой; если нет — почти нулевой.
- Когда мы складываем все такие проекции, каждая гармоника возвращает свою часть формы. Чем больше гармоник, тем точнее сумма повторяет исходную волну.
- Резкие углы и скачки требуют высоких частот. Поэтому прямоугольная и пилообразная волны сходятся медленнее, чем треугольная.
Как читать визуализацию
- Серый пунктир — исходная периодическая волна, синяя линия — сумма выбранного числа гармоник.
- Нижние ряды показывают отдельные слагаемые: каждая строка — синус той частоты и амплитуды, которые участвуют в сумме.
- Фазоры справа — те же гармоники как вращающиеся векторы. Их вертикальные проекции складываются в текущее значение ряда.
- Увеличивайте число гармоник и смотрите, как высокие частоты уточняют углы, пики и резкие переходы.
Краткая справка
Ряд Фурье представляет периодическую функцию как сумму синусов и косинусов: постоянная часть плюс набор гармоник с частотами 1, 2, 3 и дальше. В инженерной практике это основа анализа аудио, радиосигналов, вибраций, изображений и любых повторяющихся процессов.
Эта визуализация рядов Фурье показывает, как сложная периодическая форма собирается из простых синусоид. На одном экране видны исходная волна, частичная сумма, отдельные гармоники и фазоры.
Инструмент полезен для понимания спектрального анализа: прямоугольная, пилообразная и треугольная волны имеют разные наборы гармоник и разную скорость сходимости. Слайдер числа слагаемых помогает увидеть это без формальных выкладок.
Все вычисления выполняются в браузере. Можно использовать страницу как интерактивную справку по рядам Фурье, гармоникам, ортогональности и эффекту Гиббса.