Математика EN

ЕГЭ, профильный уровень

Задания с уравнениями, неравенствами, значениями выражений, производной и параметром. Каждое задание — разбор способа решения и тренажёр с бесконечным запасом задач.

Здесь задания, которые решаются алгеброй и анализом: №6, 7, 12, 13, 15 и 18. Геометрии, вероятностей и текстовых задач пока нет. Ответ везде полный: все корни, весь промежуток.

№6 Простейшие уравнения ОткрытьСвернуть

Нужно решить уравнение одного из шести видов. Сначала поймите, какой это вид, — способ решения подскажет он сам.

Как решать

Линейные уравнения

Линейное уравнение — такое, где неизвестное стоит только в первой степени: $3x + 5 = x - 7$. У него один корень, и находится он за несколько ходов.

По шагам

Раскройте скобки, если они есть.
Перенесите слагаемые с $x$ влево, а числа вправо. Переходя через знак «=», слагаемое меняет знак: $3x + 5 = x - 7$ превращается в $3x - x = -7 - 5$.
Приведите подобные: $2x = -12$.
Разделите обе части на число перед $x$: $x = -6$.
Проверьте подстановкой: слева $3 \cdot (-6) + 5 = -13$, справа $-6 - 7 = -13$. Сошлось.

Число перед $x$, его называют коэффициентом. Делить на него можно, только если $a \ne 0$.

Всё, что осталось справа после переноса и приведения подобных.

Если $x$ сократился и вышло неверное равенство вроде $0 = 5$, корней нет. Если вышло $0 = 0$, подходит любое число.

Где ошибаются

Переносят слагаемое в другую часть и забывают сменить у него знак.
Теряют минус при делении: из $-2x = 8$ получается $x = -4$, а не $4$.
Раскрывают скобку с минусом перед ней и меняют знак только у первого слагаемого. Правильно: $-(x - 3) = -x + 3$.

Пример

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение записывают так: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Корней у него не больше двух, а сколько их на самом деле, подсказывает одно число — дискриминант.

По шагам

Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. Выпишите коэффициенты $a$, $b$, $c$ вместе с их знаками.
Если $c = 0$, вынесите $x$ за скобку: $x(ax + b) = 0$, корни $0$ и $-\frac{b}{a}$. Если $b = 0$, выразите $x^2$ и извлеките корень.
Иначе посчитайте дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
При $D > 0$ корней два, при $D = 0$ один, при $D < 0$ действительных корней нет.
Проверьте по теореме Виета: сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, произведение $\frac{c}{a}$.

Коэффициент при $x$ со своим знаком. В уравнении $x^2 - 5x + 6 = 0$ это $b = -5$, а $-b = 5$.

Дискриминант: он и решает, сколько будет корней.

Коэффициент при $x^2$.

Пример: $x^2 - 5x + 6 = 0$, $D = 25 - 24 = 1$, $x = \frac{5 \pm 1}{2}$, то есть $x = 2$ и $x = 3$.

Где ошибаются

Берут $b$ без знака: в $x^2 - 5x + 6$ коэффициент $b = -5$, и $b^2 = 25$.
Считают дискриминант, пока справа ещё не ноль. Сначала всё переносят в одну часть.
Делят обе части на $x$ и теряют корень $x = 0$. Вместо деления выносите $x$ за скобку.

Пример

Показательные уравнения

В показательном уравнении неизвестное стоит в показателе степени: $2^{x + 1} = 8$. Главный приём — записать обе части как степени одного и того же числа.

По шагам

Представьте обе части как степени одного основания: $8 = 2^3$, $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Если основания равны, равны и показатели: $2^{x + 1} = 2^3$ значит $x + 1 = 3$.
Решите получившееся уравнение: здесь $x = 2$.
Если одним основанием не обойтись, как в $2^x = 5$, ответ записывают логарифмом: $x = \log_2 5$.

Основание: одно и то же положительное число, не равное $1$.

Показатель слева.

Показатель справа. Функция $a^x$ принимает каждое своё значение ровно один раз, поэтому из равенства степеней следует равенство показателей.

Пример: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x} = 9$. Здесь $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $9 = 3^2$, значит $3^{-x} = 3^2$ и $x = -2$.

Где ошибаются

Приравнивают показатели, когда основания разные: $2^x = 3^x$ так не решить.
Ошибаются со знаком у дроби: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$, а не $2^3$.
Путают правила степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, а $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$.

Пример

Логарифмические уравнения

Логарифм $\log_a b$ отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести $a$, чтобы получить $b$. Например, $\log_2 8 = 3$, потому что $2^3 = 8$. Логарифмическое уравнение почти всегда решается этим определением.

По шагам

Запишите ОДЗ: под логарифмом должно стоять положительное число, а основание должно быть положительным и не равным $1$.
Если уравнение имеет вид $\log_a f(x) = c$, по определению $f(x) = a^c$.
Если вид $\log_a f(x) = \log_a g(x)$, приравняйте аргументы: $f(x) = g(x)$.
Решите получившееся уравнение и проверьте каждый корень по ОДЗ.

Основание: $a > 0$ и $a \ne 1$.

Аргумент, число под логарифмом. Он всегда положительный.

Показатель, в который нужно возвести основание.

Пример: $\log_2(x - 1) = 3$, значит $x - 1 = 2^3 = 8$ и $x = 9$. Проверка ОДЗ: $9 - 1 = 8 > 0$.

Где ошибаются

Не проверяют ОДЗ и оставляют корень, при котором под логарифмом оказывается отрицательное число или ноль.
Путают, что во что возводить: $\log_3 x = 2$ даёт $x = 3^2 = 9$, а не $x = 2^3$.
Теряются при отрицательной правой части: $\log_3 x = -2$ даёт $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Корень есть, просто дробный.

Пример

Уравнения с корнем

В уравнении с корнем неизвестное стоит под знаком квадратного корня: $\sqrt{x + 2} = x$. Корень убирают возведением в квадрат, но этот шаг может добавить лишние, «посторонние» корни. Поэтому в конце обязательно проверяют.

По шагам

Уедините корень: оставьте его одного в одной части уравнения.
Заметьте условие: квадратный корень не бывает отрицательным, значит другая часть тоже должна быть $\ge 0$.
Возведите обе части в квадрат и решите получившееся уравнение.
Отбросьте корни, при которых другая часть отрицательна. Надёжнее всего подставить каждый корень в исходное уравнение.

Подкоренное выражение. После возведения в квадрат оно равно квадрату, поэтому само собой неотрицательно.

Вторая часть уравнения: она равна корню и потому не может быть отрицательной. Это условие и отсеивает посторонние корни.

Пример: $\sqrt{x + 2} = x$ даёт $x + 2 = x^2$, корни $2$ и $-1$. Но правая часть $x$ не может быть отрицательной, поэтому остаётся только $x = 2$.

Где ошибаются

Не проверяют корни после возведения в квадрат и записывают в ответ посторонний.
Возводят в квадрат разность неправильно: $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$, а не $x^2 + 1$.
Возводят в квадрат, не уединив корень: от корня так не избавиться.

Пример

Дробные уравнения

В дробном уравнении неизвестное стоит в знаменателе: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$. На ноль делить нельзя, и с этого правила начинается всё решение.

По шагам

Выпишите, при каких $x$ знаменатели обращаются в ноль. Эти значения запрещены; всё, что осталось, называют областью допустимых значений (ОДЗ).
Перенесите всё в одну часть и приведите к общему знаменателю, чтобы получилась одна дробь.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю. Решите уравнение «числитель $= 0$».
Выбросьте корни, запрещённые на первом шаге.

Числитель: его приравниваем к нулю.

Знаменатель: он не должен обращаться в ноль, поэтому такие корни отбрасываем.

Пример: в $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = 0$ числитель даёт $x = 1$ и $x = -1$, но при $x = 1$ знаменатель равен нулю. Ответ: $x = -1$.

Где ошибаются

Забывают выбросить корень, при котором знаменатель равен нулю. Это самая частая ошибка.
Сокращают дробь на выражение с $x$ и не помнят, что это выражение не могло быть нулём.
При приведении к общему знаменателю домножают на множитель не все слагаемые.

Пример

№7 Значения выражений ОткрытьСвернуть

Нужно найти значение выражения с логарифмами, степенями или тригонометрией. Калькулятор не нужен: всё сокращается по правилам.

Как решать

Выражения с логарифмами

В таких заданиях калькулятор не нужен: выражение вроде $\log_5 65 - \log_5 13$ по свойствам логарифмов сворачивается в одно число. Задача — увидеть, какое свойство здесь работает.

По шагам

Посмотрите на основания. Если они одинаковые, сумму логарифмов соберите в логарифм произведения, а разность в логарифм частного: $\log_5 65 - \log_5 13 = \log_5 5 = 1$.
Число перед логарифмом можно внести внутрь показателем: $2\log_3 5 = \log_3 25$.
Выражение вида $a^{\log_a b}$ равно $b$.
В конце обычно остаётся $\log_a a^k = k$.

Первый аргумент.

Второй аргумент. Основание у обоих логарифмов одно и то же.

Пример: $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$.

Одно и то же основание внизу и в логарифме.

Число, которое получается. По определению $\log_a b$ — это показатель, в который возводят $a$, чтобы получить $b$.

Пример: $3^{\log_3 7 + 1} = 3^{\log_3 7} \cdot 3 = 21$.

Где ошибаются

Складывают логарифмы с разными основаниями, хотя свойство работает только при одинаковых.
Раскладывают логарифм суммы: $\log_a(x + y)$ не равен $\log_a x + \log_a y$.
Путают разность логарифмов с их частным: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$, а не $\frac{\log_a x}{\log_a y}$.

Пример

Выражения со степенями

Выражение вроде $\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3}$ выглядит громоздко, но если записать все числа степенями двойки, оно сворачивается в одну степень. Перемножать большие числа не придётся.

По шагам

Приведите все степени к одному основанию: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
При умножении степеней показатели складывайте, при делении вычитайте, при возведении степени в степень перемножайте.
Посчитайте итоговый показатель и вычислите степень.

Показатель первой степени.

Показатель второй степени. Правила работают, только когда основания одинаковые.

Пример: $\frac{2^5 \cdot 4^3}{8^3} = \frac{2^5 \cdot 2^6}{2^9} = 2^{5 + 6 - 9} = 2^2 = 4$.

Где ошибаются

Перемножают показатели при умножении степеней: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$, а не $2^{12}$.
Объединяют степени с разными основаниями: $2^3 \cdot 3^2$ в одну степень не собрать.
Путают отрицательный показатель со знаком числа: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, а не $-8$.

Пример

Тригонометрические выражения

Нужно найти значение вроде $10\cos 420^\circ$. Угол большой, но синус и косинус повторяются через полный оборот, $360^\circ$, а любой угол формулами приведения сводится к острому из таблицы.

По шагам

Уберите полные обороты: $\cos 420^\circ = \cos(420^\circ - 360^\circ) = \cos 60^\circ$.
Если угол отрицательный, используйте чётность: $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$.
Сведите угол к острому формулами приведения: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$.
Возьмите значение из таблицы: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

С углом $180^\circ$ функция остаётся той же. Знак — как у исходной функции в той четверти, где лежит угол.

С углами $90^\circ$ и $270^\circ$ синус превращается в косинус и наоборот. Знак определяется так же, по четверти.

Пример: $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Где ошибаются

Забывают знак: косинус во второй и третьей четвертях отрицательный, синус в третьей и четвёртой.
Меняют синус на косинус там, где этого делать не нужно, — при углах $180^\circ$ и $360^\circ$.
Теряют минус у отрицательного угла в синусе: $\sin(-30^\circ) = -\frac{1}{2}$.

Пример

№12 Наибольшее и наименьшее значение функции ОткрытьСвернуть

Нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Помогает производная.

Как решать

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, например $y = x^3 - 3x - 7$ на $[0; 2]$. Свои крайние значения функция принимает либо на концах отрезка, либо там, где её производная равна нулю. Значит, достаточно проверить несколько точек.

По шагам

Найдите производную. Чаще всего хватает правила $(x^n)' = nx^{n - 1}$: $(x^3 - 3x - 7)' = 3x^2 - 3$.
Решите уравнение $y' = 0$ — это критические точки: $x = \pm 1$.
Оставьте только те из них, что лежат внутри отрезка: здесь $x = 1$.
Посчитайте значения функции в этих точках и на концах отрезка: $y(0) = -7$, $y(1) = -9$, $y(2) = -5$.
Самое большое из этих чисел — наибольшее значение, самое маленькое — наименьшее: здесь $-5$ и $-9$.

Концы отрезка: они всегда входят в список кандидатов.

Критические точки внутри отрезка, где $f'(x) = 0$.

Наименьшее значение ищут так же, только из тех же чисел берут самое маленькое.

Где ошибаются

Забывают посчитать значения на концах отрезка, хотя ответ часто именно там.
Берут критическую точку, которая лежит вне отрезка.
Записывают в ответ точку $x$ вместо значения функции. Спрашивают про значение $y$.

Пример

№13 Уравнение с отбором корней ОткрытьСвернуть

Тригонометрическое уравнение из второй части: решить его и выбрать корни, которые лежат на отрезке.

Как решать

Тригонометрические уравнения с отбором корней

Это задание второй части: нужно решить тригонометрическое уравнение, например $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$, а потом выбрать корни, которые лежат на заданном отрезке. Решений у такого уравнения бесконечно много, на отрезке — несколько.

По шагам

Сведите уравнение к одной функции. Например, замените $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$, чтобы остался только косинус.
Сделайте замену $t = \cos x$ и решите обычное, часто квадратное, уравнение. Помните, что косинус и синус лежат от $-1$ до $1$: остальные значения $t$ отбросьте.
Вернитесь к $x$ по формулам простейших уравнений.
Выберите корни на отрезке: подставляйте целые $n$ по очереди или отмечайте точки на единичной окружности.

Число от $-1$ до $1$. Если оно за этими пределами, корней нет.

Любое целое число: корни повторяются через полный оборот.

Пример: $\cos x = \frac{1}{2}$ на $[0; 2\pi]$. Общее решение $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, на отрезок попадают $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

Где ошибаются

Не отбрасывают значение $t$ вне отрезка $[-1; 1]$ и ищут несуществующие корни.
Забывают вторую серию $-\arccos a + 2\pi n$ и теряют половину корней.
При отборе пропускают корни на концах отрезка. Концы входят в отрезок.

Пример

№15 Неравенства ОткрытьСвернуть

Неравенство из второй части: квадратное, дробное, показательное или логарифмическое. Ответ — промежуток или объединение промежутков.

Как решать

Квадратные неравенства

В квадратном неравенстве слева стоит квадратный трёхчлен: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Его график — парабола, и ответ удобнее всего прочитать прямо с картинки: где парабола выше оси, а где ниже.

По шагам

Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль.
Найдите корни трёхчлена, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. В корнях парабола пересекает ось.
Нарисуйте параболу схематично: при $a > 0$ ветви смотрят вверх, при $a < 0$ вниз.
Для знака $>$ или $\ge$ возьмите участки, где парабола выше оси; для $<$ или $\le$ — где ниже.
Корни включайте в ответ, только если неравенство нестрогое.

Старший коэффициент. Если он положительный, ветви параболы направлены вверх: между корнями она под осью, снаружи над ней. При $a < 0$ всё наоборот.

Корни трёхчлена, $x_1 < x_2$.

Пример: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Корни $2$ и $3$, ветви вверх, нужны точки под осью вместе с корнями: $[2; 3]$.

Где ошибаются

Забывают, что при отрицательном $a$ парабола перевёрнута, и берут не тот участок.
Путают «между корнями» и «снаружи». Помогает быстрая проверка: подставьте одно число из ответа в неравенство.
Не знают, что делать при $D < 0$. Тогда трёхчлен везде одного знака, и ответ либо все числа, либо пустое множество.

Пример

Дробные неравенства

В дробном неравенстве неизвестное есть в знаменателе: $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$. Умножать на знаменатель нельзя: его знак неизвестен, и знак неравенства может перевернуться. Вместо этого работает метод интервалов.

По шагам

Перенесите всё в одну часть и приведите к одной дроби.
Найдите нули числителя и нули знаменателя и отметьте их на числовой прямой. Нули знаменателя всегда выколотые (пустые кружки): на ноль делить нельзя.
Эти точки делят прямую на промежутки. На каждом промежутке дробь сохраняет знак; узнайте его, подставив любое число из промежутка.
Выберите промежутки с нужным знаком. Нули числителя включайте, только если неравенство нестрогое.

Нуль числителя: здесь дробь равна нулю. Входит в ответ при нестрогом знаке.

Нуль знаменателя: здесь дробь не определена. В ответ не входит никогда.

Пример: $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$. Отмечаем $-2$ (выколота) и $1$ (закрашена). Правее $1$ дробь положительна, между $-2$ и $1$ отрицательна, левее $-2$ положительна. Ответ: $(-2; 1]$.

Где ошибаются

Умножают обе части на знаменатель, не зная его знака.
Включают в ответ нуль знаменателя, хотя при нём дробь не существует.
Расставляют знаки «через один», не проверив ни одной точки. Знак может и не меняться, например в точке, где множитель стоит в квадрате.

Пример

Показательные неравенства

Показательное неравенство вроде $2^{3x + 1} > \frac{1}{4}$ решается так же, как уравнение: обе части записываем степенями одного основания. Но потом важно посмотреть на само основание, больше оно единицы или меньше.

По шагам

Приведите обе части к степеням одного основания: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$.
Если основание больше $1$, сравните показатели с тем же знаком: $2^{3x + 1} > 2^{-2}$ значит $3x + 1 > -2$.
Если основание от $0$ до $1$, знак при переходе к показателям меняется на противоположный.
Решите неравенство для показателей и запишите ответ промежутком.

Основание. При $a > 1$ функция $a^x$ растёт, поэтому большей степени соответствует больший показатель. При $0 < a < 1$ она убывает, и всё наоборот.

Пример: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 1} \ge \frac{1}{9}$. Здесь $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$, основание меньше $1$, знак меняется: $x - 1 \le 2$, то есть $x \le 3$.

Где ошибаются

Не переворачивают знак, когда основание меньше единицы.
Сравнивают показатели степеней с разными основаниями.
Ищут решение у неравенства вроде $2^x > -5$, хотя оно верно при любом $x$: степень положительного числа всегда положительна.

Пример

Логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство, например $\log_2(x - 3) < 2$, похоже на показательное: снова всё решает основание. Добавляется только одно условие, без которого ответ получится неверным, — ОДЗ.

По шагам

Запишите ОДЗ: всё, что стоит под логарифмами, должно быть положительным.
Запишите правую часть как логарифм с тем же основанием: $2 = \log_2 4$.
Если основание больше $1$, знак при переходе к аргументам сохраняется; если от $0$ до $1$, меняется.
Решите неравенство для аргументов и пересеките ответ с ОДЗ.

Основание. При $a > 1$ логарифм растёт и знак сохраняется, при $0 < a < 1$ убывает и знак меняется. Условия $> 0$ в системе — это и есть ОДЗ.

Пример: $\log_2(x - 3) < 2$. ОДЗ: $x > 3$. Дальше $2 = \log_2 4$, основание больше $1$: $x - 3 < 4$, $x < 7$. Вместе с ОДЗ: $(3; 7)$.

Где ошибаются

Забывают ОДЗ, и в ответ попадают числа, при которых логарифм не существует.
Не переворачивают знак при основании меньше единицы.
Пишут $\log_2 x < 3 \iff x < 8$ и теряют левую границу: на самом деле $0 < x < 8$.

Пример

№18 Задача с параметром ОткрытьСвернуть

В уравнении есть буква a. Нужно найти все a, при которых у уравнения ровно два корня.

Как решать

Уравнения с параметром

В уравнении с параметром кроме $x$ есть ещё буква, обычно $a$: $x^2 - 2ax + 9 = 0$. Её значение неизвестно, и нужно найти все значения $a$, при которых уравнение ведёт себя нужным образом, например имеет ровно два корня. Ответом служит не число, а множество значений $a$.

По шагам

Посмотрите, где стоит параметр. Если он входит в коэффициент при $x^2$, отдельно разберите случай, когда этот коэффициент равен нулю: уравнение станет линейным.
Квадратное уравнение имеет два корня ровно тогда, когда дискриминант положителен. Запишите $D$ через $a$.
Решите неравенство $D > 0$ относительно $a$.
Запишите ответ промежутками для $a$.

Коэффициент при $x$. В нём может стоять параметр.

Свободный член. Параметр может стоять и здесь.

Пример: $x^2 - 2ax + 9 = 0$. Здесь $D = 4a^2 - 36 > 0$, то есть $a^2 > 9$: $a < -3$ или $a > 3$. Ответ: $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

Где ошибаются

Решают $D \ge 0$ вместо $D > 0$. При $D = 0$ корень один.
Из $a^2 > 9$ выводят только $a > 3$ и теряют отрицательные значения.
Не разбирают случай, когда параметр обнуляет коэффициент при $x^2$.