Математика EN

№15 Неравенства

Неравенство из второй части: квадратное, дробное, показательное или логарифмическое. Ответ — промежуток или объединение промежутков.

Как решать

Квадратные неравенства

В квадратном неравенстве слева стоит квадратный трёхчлен: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Его график — парабола, и ответ удобнее всего прочитать прямо с картинки: где парабола выше оси, а где ниже.

По шагам

Перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался ноль.
Найдите корни трёхчлена, решив уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. В корнях парабола пересекает ось.
Нарисуйте параболу схематично: при $a > 0$ ветви смотрят вверх, при $a < 0$ вниз.
Для знака $>$ или $\ge$ возьмите участки, где парабола выше оси; для $<$ или $\le$ — где ниже.
Корни включайте в ответ, только если неравенство нестрогое.

Старший коэффициент. Если он положительный, ветви параболы направлены вверх: между корнями она под осью, снаружи над ней. При $a < 0$ всё наоборот.

Корни трёхчлена, $x_1 < x_2$.

Пример: $x^2 - 5x + 6 \le 0$. Корни $2$ и $3$, ветви вверх, нужны точки под осью вместе с корнями: $[2; 3]$.

Где ошибаются

Забывают, что при отрицательном $a$ парабола перевёрнута, и берут не тот участок.
Путают «между корнями» и «снаружи». Помогает быстрая проверка: подставьте одно число из ответа в неравенство.
Не знают, что делать при $D < 0$. Тогда трёхчлен везде одного знака, и ответ либо все числа, либо пустое множество.

Пример

Дробные неравенства

В дробном неравенстве неизвестное есть в знаменателе: $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$. Умножать на знаменатель нельзя: его знак неизвестен, и знак неравенства может перевернуться. Вместо этого работает метод интервалов.

По шагам

Перенесите всё в одну часть и приведите к одной дроби.
Найдите нули числителя и нули знаменателя и отметьте их на числовой прямой. Нули знаменателя всегда выколотые (пустые кружки): на ноль делить нельзя.
Эти точки делят прямую на промежутки. На каждом промежутке дробь сохраняет знак; узнайте его, подставив любое число из промежутка.
Выберите промежутки с нужным знаком. Нули числителя включайте, только если неравенство нестрогое.

Нуль числителя: здесь дробь равна нулю. Входит в ответ при нестрогом знаке.

Нуль знаменателя: здесь дробь не определена. В ответ не входит никогда.

Пример: $\frac{x - 1}{x + 2} \le 0$. Отмечаем $-2$ (выколота) и $1$ (закрашена). Правее $1$ дробь положительна, между $-2$ и $1$ отрицательна, левее $-2$ положительна. Ответ: $(-2; 1]$.

Где ошибаются

Умножают обе части на знаменатель, не зная его знака.
Включают в ответ нуль знаменателя, хотя при нём дробь не существует.
Расставляют знаки «через один», не проверив ни одной точки. Знак может и не меняться, например в точке, где множитель стоит в квадрате.

Пример

Показательные неравенства

Показательное неравенство вроде $2^{3x + 1} > \frac{1}{4}$ решается так же, как уравнение: обе части записываем степенями одного основания. Но потом важно посмотреть на само основание, больше оно единицы или меньше.

По шагам

Приведите обе части к степеням одного основания: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$.
Если основание больше $1$, сравните показатели с тем же знаком: $2^{3x + 1} > 2^{-2}$ значит $3x + 1 > -2$.
Если основание от $0$ до $1$, знак при переходе к показателям меняется на противоположный.
Решите неравенство для показателей и запишите ответ промежутком.

Основание. При $a > 1$ функция $a^x$ растёт, поэтому большей степени соответствует больший показатель. При $0 < a < 1$ она убывает, и всё наоборот.

Пример: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x - 1} \ge \frac{1}{9}$. Здесь $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$, основание меньше $1$, знак меняется: $x - 1 \le 2$, то есть $x \le 3$.

Где ошибаются

Не переворачивают знак, когда основание меньше единицы.
Сравнивают показатели степеней с разными основаниями.
Ищут решение у неравенства вроде $2^x > -5$, хотя оно верно при любом $x$: степень положительного числа всегда положительна.

Пример

Логарифмические неравенства

Логарифмическое неравенство, например $\log_2(x - 3) < 2$, похоже на показательное: снова всё решает основание. Добавляется только одно условие, без которого ответ получится неверным, — ОДЗ.

По шагам

Запишите ОДЗ: всё, что стоит под логарифмами, должно быть положительным.
Запишите правую часть как логарифм с тем же основанием: $2 = \log_2 4$.
Если основание больше $1$, знак при переходе к аргументам сохраняется; если от $0$ до $1$, меняется.
Решите неравенство для аргументов и пересеките ответ с ОДЗ.

Основание. При $a > 1$ логарифм растёт и знак сохраняется, при $0 < a < 1$ убывает и знак меняется. Условия $> 0$ в системе — это и есть ОДЗ.

Пример: $\log_2(x - 3) < 2$. ОДЗ: $x > 3$. Дальше $2 = \log_2 4$, основание больше $1$: $x - 3 < 4$, $x < 7$. Вместе с ОДЗ: $(3; 7)$.

Где ошибаются

Забывают ОДЗ, и в ответ попадают числа, при которых логарифм не существует.
Не переворачивают знак при основании меньше единицы.
Пишут $\log_2 x < 3 \iff x < 8$ и теряют левую границу: на самом деле $0 < x < 8$.