№13 Уравнение с отбором корней

Тригонометрическое уравнение из второй части: решить его и выбрать корни, которые лежат на отрезке.

Как решать

Тригонометрические уравнения с отбором корней

Это задание второй части: нужно решить тригонометрическое уравнение, например $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$, а потом выбрать корни, которые лежат на заданном отрезке. Решений у такого уравнения бесконечно много, на отрезке — несколько.

По шагам

Сведите уравнение к одной функции. Например, замените $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$, чтобы остался только косинус.
Сделайте замену $t = \cos x$ и решите обычное, часто квадратное, уравнение. Помните, что косинус и синус лежат от $-1$ до $1$: остальные значения $t$ отбросьте.
Вернитесь к $x$ по формулам простейших уравнений.
Выберите корни на отрезке: подставляйте целые $n$ по очереди или отмечайте точки на единичной окружности.

Число от $-1$ до $1$. Если оно за этими пределами, корней нет.

Любое целое число: корни повторяются через полный оборот.

Пример: $\cos x = \frac{1}{2}$ на $[0; 2\pi]$. Общее решение $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, на отрезок попадают $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$.

Где ошибаются

Не отбрасывают значение $t$ вне отрезка $[-1; 1]$ и ищут несуществующие корни.
Забывают вторую серию $-\arccos a + 2\pi n$ и теряют половину корней.
При отборе пропускают корни на концах отрезка. Концы входят в отрезок.