Экстремумы и оптимизация

Прошлая глава закончилась задачей о коробке. Из квадратного листа картона $30 \times 30$ см вырезают по углам одинаковые квадратики со стороной $x$ и загибают края. Вырез можно сделать любым от нуля до пятнадцати сантиметров, и каждому соответствует своя коробка. Какая из бесконечного множества коробок вместит больше всего?

Представим конкурс изобретателей. Жюри выдаёт пять заданий, и в каждом нужно найти лучший вариант среди бесконечного числа возможных: самую вместительную коробку, самый быстрый путь, самую экономную банку. Перебрать всё нельзя, угадывать рискованно. У победителя будет один инструмент — производная, и одна мысль, восходящая к Пьеру Ферма: на вершине холма касательная горизонтальна. Каждое задание добавит к этой мысли новое правило, а к концу конкурса у нас соберётся полный регламент поиска наилучшего.

Задание первое: коробка

Объём коробки равен площади дна, умноженной на высоту. Дно — квадрат со стороной $30 - 2x$, высота — $x$, поэтому

$$V(x) = x\,(30 - 2x)^2, \qquad 0 < x < 15.$$

Посчитаем для целых вырезов: $V(1) = 784$, $V(2) = 1352$, $V(3) = 1728$, $V(4) = 1936$, $V(5) = 2000$, $V(6) = 1944$, $V(7) = 1792$ кубических сантиметров. Похоже, лучший вырез около пяти сантиметров. Но, может быть, при $x = 4{,}9$ или $5{,}03$ объём ещё больше? Таблица этого не скажет, а производная скажет.

Около вершины график становится пологим, и небольшая ошибка в вырезе почти не меняет объём: при $x = 4{,}5$ получается $1984{,}5$ см³, при $x = 5{,}5$ — $1985{,}5$ см³, меньше лучшего всего на процент, хотя вырез ошибся на десять процентов. Это наблюдение намного старше анализа. В 1615 году Иоганн Кеплер выпустил «Новую стереометрию винных бочек»: он выяснял, какая бочка при заданной длине мерного прута, который торговцы вставляли в отверстие, вмещает больше всего вина, и заметил, что вблизи наибольшего объёма небольшие изменения размеров почти не меняют вместимость. Около 1636 года Пьер Ферма превратил эту мысль в метод. Сегодня её записывают так.

Хитрость в том, чтобы посмотреть на знаки наклонов секущих слева и справа от вершины и зажать производную между ними.

Пусть в точке $c$ максимум (для минимума рассуждение то же, с противоположными знаками). Значит, рядом с $c$ все значения не больше $f(c)$: график не поднимается выше пунктирной прямой $y = f(c)$. Возьмём точку $x$ левее $c$, $x = c + h$ с $h < 0$. Наклон секущей $\frac{f(c + h) - f(c)}{h}$: в числителе $f(c + h) - f(c) \le 0$, в знаменателе $h < 0$. Отрицательное или ноль, делённое на отрицательное, неотрицательно, поэтому наклон $\ge 0$. Предел неотрицательных чисел не может быть отрицательным, значит, левый предел, то есть $f'(c)$, не меньше нуля. Справа, при $h > 0$, числитель по-прежнему $\le 0$, а знаменатель положителен: наклон $\le 0$, и предел справа $f'(c) \le 0$. Функция дифференцируема в $c$, поэтому пределы слева и справа существуют и равны одному и тому же числу $f'(c)$. Это число одновременно $\ge 0$ и $\le 0$, то есть $f'(c) = 0$: касательная в вершине горизонтальна.

Найдём критические точки объёма. Раскроем скобки: $V(x) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$, откуда $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x - 5)(x - 15)$. На промежутке $(0;\,15)$ производная обращается в ноль только при $x = 5$. Значит, если у объёма есть наибольшее значение, оно достигается при $x = 5$, и равно оно $2000$ см³.

Осталось маленькое «если». Теорема Ферма говорит, где может быть максимум, но не обещает, что он вообще есть. У функции $\frac1x$ на промежутке $(0;\,1)$ наибольшего значения нет: она растёт неограниченно. У функции $x$ на том же промежутке его тоже нет, хотя она ограничена: к единице можно подойти сколь угодно близко, но не дойти. Существование гарантирует теорема, для которой нужен отрезок с концами и непрерывность.

Для коробки добавим концы: $V(0) = V(15) = 0$ (плоский лист и лист, от которого ничего не осталось). Функция $V$ непрерывна на $[0;\,15]$, поэтому по теореме Вейерштрасса наибольшее значение есть. На концах объём нулевой, значит, наибольшее значение достигается внутри, а там по теореме Ферма производная равна нулю. Единственный кандидат — $x = 5$. Ответ: вырезать квадратики со стороной $5$ см, получится коробка $20 \times 20 \times 5$ объёмом $2000$ см³. Для листа со стороной $a$ те же выкладки дают $x = \frac a6$.

Производная функции в точке $c$ равна нулю. Что можно сказать наверняка?

В точке $c$ максимум или минимум Касательная в точке $c$ горизонтальна, а экстремума может и не быть Все экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю Функция в точке $c$ меняет направление

Теорема Ферма — необходимое условие: в экстремуме производная равна нулю (если она есть), но из $f'(c) = 0$ экстремум не следует. Кубическая парабола $y = x^3$ в нуле ненадолго становится горизонтальной и продолжает расти. А экстремумы бывают и там, где производной нет, как у $|x|$ в нуле. Поэтому в список кандидатов входят все критические точки и концы отрезка.

Задание второе: камера на трассе

На загородной трассе стоят две камеры в десяти километрах друг от друга. Каждая фиксирует номер машины и время. Автомобиль прошёл участок за шесть минут, то есть со средней скоростью $10 : \frac{6}{60} = 100$ км/ч, при ограничении $90$. Приходит штраф. Водитель возмущён: «Я смотрел на спидометр, он ни разу не показывал больше девяноста!» Жюри просит изобретателей рассудить спор. Интуиция на стороне камеры, но доказать это — задача не на пять минут.

Начнём с частного случая, который проще: машина выехала и вернулась в ту же точку, или, на графике, значения функции на концах отрезка равны. Тогда где-то она должна была остановиться или развернуться.

Идея: наибольшее или наименьшее значение обязано оказаться внутри отрезка, а там работает теорема Ферма.

Функция непрерывна на $[a;\,b]$, дифференцируема внутри, и на концах её значения равны. По теореме Вейерштрасса на отрезке $[a;\,b]$ есть точка наибольшего значения и точка наименьшего. Если обе они лежат на концах, то наибольшее и наименьшее значения равны $f(a) = f(b)$. Тогда все значения зажаты между двумя одинаковыми числами, функция постоянна, и её производная равна нулю в любой точке интервала. Иначе хотя бы одна из этих точек, назовём её $c$, лежит внутри, в $(a;\,b)$. Наибольшее (или наименьшее) значение на отрезке — тем более локальный экстремум, и в точке $c$ функция дифференцируема. По теореме Ферма $f'(c) = 0$.

Теперь общий случай. Средняя скорость на отрезке $[a;\,b]$ — это наклон хорды, которая соединяет концы графика пути. Утверждение о камере звучит так: где-то на отрезке касательная параллельна хорде.

Хитрость: вычтем из функции хорду. Картинка «наклонится» так, что хорда станет горизонтальной, и мы окажемся в условиях теоремы Ролля.

Проведём хорду через концы графика $A(a;\,f(a))$ и $B(b;\,f(b))$. Её наклон $k = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, а уравнение $y = f(a) + k(x - a)$. Рассмотрим разность между графиком и хордой: $g(x) = f(x) - f(a) - k(x - a)$. На рисунке это длины вертикальных отрезков между ними. Функция $g$ непрерывна на $[a;\,b]$ и дифференцируема внутри, как разность таких функций, и $g'(x) = f'(x) - k$. На концах $g(a) = 0$ и $g(b) = f(b) - f(a) - k(b - a) = 0$: хорда проходит через концы графика. Вычесть $k(x - a)$ — значит сдвинуть каждую точку графика по вертикали и «наклонить» картинку так, что хорда легла горизонтально. По теореме Ролля есть точка $c \in (a;\,b)$, где $g'(c) = 0$. Вернём наклон: $g'(c) = f'(c) - k = 0$, то есть $f'(c) = k = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Касательная в точке $c$ параллельна хорде, и $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$. Приращение функции на отрезке: сколько проехала машина между камерами. Мгновенная скорость в некоторый момент $c$ между $a$ и $b$. Где именно этот момент, теорема не говорит. Длина отрезка: сколько времени заняла поездка. Пример: для $f(x) = x^2$ на $[1;\,3]$ слева $9 - 1 = 8$, справа $2c \cdot 2 = 4c$, и $c = 2$. Для камер: $10$ км за $0{,}1$ часа, значит, в какой-то момент спидометр показывал ровно $100$ км/ч. Водитель неправ.

Лагранж опубликовал эту теорему в 1797 году, в той же «Теории аналитических функций», где появился штрих. Главная её сила не в камерах, а в следствиях: она переводит сведения о производной в каждой точке в сведения о самой функции на целом промежутке. Первое следствие — то, что в прошлой главе мы только видели на графиках.

Последнее утверждение выглядит очевидным: если скорость всё время нулевая, машина стоит. Но без теоремы Лагранжа его не доказать, и оно нужно в анализе постоянно. Например, оно говорит, что две функции с одинаковыми производными отличаются на постоянную: производная их разности равна нулю. Эта мысль станет главной в главе об интеграле.

Протокол жюри: форма графика

Жюри мало одного ответа, оно хочет знать, почему он лучший. Соберём правила, по которым производные описывают форму графика: где он растёт, где поворачивает и куда выгибается.

Проверим на кубической параболе $f(x) = x^3 - 3x$. Производная $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ положительна при $x < -1$, отрицательна между $-1$ и $1$ и снова положительна при $x > 1$. Поэтому в точке $-1$ максимум, $f(-1) = 2$, а в точке $1$ минимум, $f(1) = -2$. На отрезке ищут наибольшее значение так: находят критические точки внутри, считают значения в них и на концах и выбирают большее. Регламент короткий, но работает для любой непрерывной функции, у которой критических точек конечное число: по теореме Вейерштрасса наибольшее значение есть, а по теореме Ферма оно либо на конце, либо в критической точке.

Найдите наибольшее значение функции $f(x) = x^3 - 3x$ на отрезке $[0;\,2]$.

Критические точки: $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1) = 0$ при $x = \pm 1$, в отрезок попадает только $x = 1$. Значения: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(2) = 8 - 6 = 2$. Наибольшее — $2$, на правом конце. Критическая точка $x = 1$ оказалась минимумом, так что искать ответ только среди нулей производной было бы ошибкой.

Производная производной называется второй производной и обозначается $f''(x)$. Если первая производная — скорость, то вторая — ускорение: как быстро меняется наклон. У $x^3 - 3x$ вторая производная равна $6x$.

У $x^3 - 3x$ вторая производная $6x$ в точке $-1$ отрицательна (максимум, шапка), в точке $1$ положительна (минимум, чашка), а в нуле меняет знак: там точка перегиба, и кривая переходит из шапки в чашку. В тренажёре три уровня: критические точки, точки максимума и минимума, наибольшие и наименьшие значения на отрезке. Если нужна полная картина графика с асимптотами и выпуклостью, поможет решатель.

Задание третье: спасатель

Спасатель стоит на песке в $18$ метрах от кромки воды. В море, в $16$ метрах от берега и на $46$ метров дальше по пляжу, тонет человек. Бежать по прямой? Тогда слишком много плыть, а плывёт человек в несколько раз медленнее, чем бегает. Бежать по песку до точки прямо напротив тонущего? Тогда слишком много бежать. Лучший путь где-то между ними, и он ломается на кромке воды.

В 2003 году американский математик Тимоти Пеннингс опубликовал в журнале College Mathematics Journal статью с вопросом в заголовке: «Знают ли собаки математический анализ?» Его вельш-корги по кличке Элвис на берегу озера Мичиган бросался за брошенным в воду мячом не по прямой: он бежал по песку и прыгал в воду в какой-то момент. Пеннингс измерил скорости (около $6{,}4$ м/с по песку и около $0{,}9$ м/с вплавь), вычислил оптимальную точку входа в воду и сравнил с тем, где Элвис прыгал на самом деле. Совпадение оказалось поразительно хорошим. Собака, разумеется, производных не считала, но задачу решала.

Сделаем расчёт. Пусть спасатель $L$ стоит на расстоянии $a$ от берега, тонущий $S$ — на расстоянии $b$, а вдоль берега между ними $d$. Если войти в воду в точке $P$, которая отстоит на $x$ от ближайшей к спасателю точки берега, то по теореме Пифагора бег займёт $\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1}$, а плавание $\frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$, где $v_1$ и $v_2$ — скорости на суше и в воде. Нужно найти наименьшее значение суммы

$$T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}.$$

Идея: производная каждого отрезка пути по положению точки $P$ оказывается синусом угла — отношением катетов в прямоугольном треугольнике.

Время пути $T(x) = \frac{LP}{v_1} + \frac{PS}{v_2}$. Опустим перпендикуляры $LF$ и $SG$ на берег: $LF = a$, $FP = x$, $SG = b$, $PG = d - x$. В прямоугольном треугольнике $LFP$ угол при вершине $L$ равен углу $\alpha$ между путём и перпендикуляром к берегу в точке $P$: это накрест лежащие углы при параллельных прямых $LF$ и перпендикуляре в $P$. Поэтому $\sin\alpha = \frac{FP}{LP} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$. По правилу цепочки $\left(\sqrt{a^2 + x^2}\right)' = \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} = \sin\alpha$. Точно так же в треугольнике $SGP$ имеем $\sin\beta = \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$, а производная второго отрезка $\left(\sqrt{b^2 + (d - x)^2}\right)' = \frac{-2(d - x)}{2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} = -\sin\beta$. Знак минус понятен: сдвигая $P$ вправо, мы укорачиваем заплыв. Значит, $T'(x) = \frac{\sin\alpha}{v_1} - \frac{\sin\beta}{v_2}$. При сдвиге $P$ вправо катет $FP$ растёт, и $\sin\alpha$ растёт; катет $PG$ уменьшается, и $\sin\beta$ уменьшается. Поэтому $T'$ возрастает на всём отрезке. На левом конце $x = 0$ имеем $\sin\alpha = 0$ и $T'(0) = -\frac{\sin\beta}{v_2} < 0$, на правом $x = d$ имеем $\sin\beta = 0$ и $T'(d) = \frac{\sin\alpha}{v_1} > 0$. Возрастающая непрерывная производная переходит от минуса к плюсу ровно один раз, в некоторой точке $x_0$. Левее $x_0$ время убывает, правее растёт — по достаточному условию это единственный минимум, и в нём $T'(x_0) = 0$, то есть $\frac{\sin\alpha}{v_1} = \frac{\sin\beta}{v_2}$. Угол между путём на суше и перпендикуляром к берегу (для света — угол падения). Скорость в первой среде: бег по песку или скорость света в воздухе. Угол между путём в воде и перпендикуляром (для света — угол преломления). Скорость во второй среде. Где медленнее, там угол меньше: путь круче поворачивает к перпендикуляру. Пример: свет идёт в воздухе со скоростью около $300\,000$ км/с, в воде — около $225\,000$ км/с. Луч, падающий на воду под углом $\alpha = 45°$, идёт в воде под углом $\beta$, где $\sin\beta = \frac{225}{300}\sin 45° \approx 0{,}53$, то есть $\beta \approx 32°$. Поэтому ложка в стакане кажется сломанной.

Задание четвёртое: банка

Консервный завод хочет банку на $330$ мл, $V = 330$ см³, и тратить как можно меньше жести. Банка — цилиндр с радиусом дна $r$ и высотой $h$. Жесть уходит на два круга (дно и крышку) и на боковую стенку, развёртка которой — прямоугольник $2\pi r \times h$:

$$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h.$$

Здесь две переменные, но они связаны: объём $\pi r^2 h = V$ фиксирован, поэтому $h = \frac{V}{\pi r^2}$. Подставим и получим функцию одной переменной $S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$ при $r > 0$. Её производная $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$ обращается в ноль, когда $r^3 = \frac{V}{2\pi}$. Левее этой точки $S' < 0$, правее $S' > 0$: это минимум, причём наименьшее значение на всём луче $r > 0$, потому что левее функция убывает, а правее растёт. Самое интересное — высота в оптимуме:

$$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r.$$

Самая экономная банка — та, у которой высота равна диаметру: в профиль она выглядит квадратом. Для $330$ мл получается $r \approx 3{,}74$ см и $h \approx 7{,}5$ см, на такую банку уходит около $264$ см² жести.

Загляните в холодильник: обычная банка на $0{,}33$ л имеет примерно $6{,}6$ см в поперечнике и $11{,}5$ см в высоту, заметно выше «квадратной». Инженеры не ошиблись, просто их задача другая. Дно и крышка у алюминиевой банки примерно вдвое-втрое толще тонкой стенки: крышка держит давление газировки и кольцо для открывания. Если квадратный сантиметр торца обходится в $k$ раз дороже стенки, та же выкладка даёт $h = 2kr$: чем дороже крышки, тем выгоднее высокая узкая банка. А ещё банку должно быть удобно держать в руке. Производная честно решает ту задачу, которую ей поставили, поэтому поставить задачу правильно — половина изобретения.

Нужно сделать открытый сверху бак с квадратным дном объёмом $32$ дм³, потратив как можно меньше металла. Какой должна быть сторона дна (в дециметрах)?

Пусть сторона дна $x$, высота $y$, тогда $x^2 y = 32$ и $y = \frac{32}{x^2}$. Металл: дно $x^2$ и четыре стенки $4xy$, всего $S(x) = x^2 + \frac{128}{x}$. Производная $S'(x) = 2x - \frac{128}{x^2}$ равна нулю при $x^3 = 64$, то есть $x = 4$; левее она отрицательна, правее положительна, это минимум. Бак $4 \times 4 \times 2$ дм: без крышки он получается вдвое ниже своей ширины.

Задание пятое: корень без кнопки

Последнее задание — изобретение для калькулятора. У него четыре действия и нет кнопки корня. Как найти $\sqrt2$, то есть корень уравнения $x^2 - 2 = 0$? Идея подсказана лупой из прошлой главы: вблизи любой точки график почти совпадает с касательной. Найти, где пересекает ось кривая, трудно, а где её пересекает прямая, легко. Заменим кривую касательной, найдём, где касательная пересекает ось, и повторим из новой точки.

Касательная к графику $y = f(x)$ в точке $x_n$ — прямая $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$. Она пересекает ось $x$ там, где $y = 0$, то есть при $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Это и есть следующее приближение.

Текущее приближение к корню. Невязка: насколько значение функции отличается от нуля. Чем она меньше, тем меньше шаг. Наклон касательной. Если он близок к нулю, касательная почти горизонтальна и уводит далеко; если равен нулю, шаг невозможен. Пример: для $f(x) = x^2 - 2$ получаем $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right)$. Из $x_0 = 1$: $x_1 = 1{,}5$, $x_2 = 1{,}41666\ldots$, $x_3 = 1{,}4142157\ldots$, $x_4 = 1{,}41421356237469\ldots$ — двенадцать верных цифр за четыре шага, одними сложениями и делениями.

Это тот самый вавилонский метод, или метод Герона, из главы о корне из двух: там мы получили его из прямоугольников и доказали, что ошибка на каждом шаге примерно возводится в квадрат. Теперь видно, откуда он берётся, и понятно, как построить такой же рецепт для любого уравнения. Для $\sqrt[3]{2}$ берём $f(x) = x^3 - 2$ и получаем $x_{n+1} = \frac{2x_n^3 + 2}{3x_n^2}$. Для уравнения $\cos x = x$, которое не решается никакой формулой, — $f(x) = \cos x - x$, и за четыре шага из $x_0 = 1$ находится корень $0{,}7390851\ldots$ Квадратичная сходимость — общее свойство метода.

Если ошибка уже меньше $\frac{m}{M} \cdot 10^{-k}$, следующая будет меньше $\frac{m}{M} \cdot 10^{-2k}$: число верных знаков примерно удваивается. Вблизи корня метод Ньютона — один из самых быстрых известных способов решать уравнения, и калькуляторы и компьютеры пользуются им или его родственниками.

Условия теоремы — не формальность. Начните метод для $x^3 - 2x + 2 = 0$ из нуля: касательная приведёт в единицу, а из единицы обратно в ноль, и так без конца. Для $\operatorname{arctg} x = 0$ из точки $x_0 = 1{,}5$ касательные с каждым шагом уводят всё дальше: теорема обещает успех только вблизи корня, а насколько близко, заранее не всегда ясно. На практике метод Ньютона часто совмещают с надёжным, но медленным делением пополам из главы о пределах.

Спор о патенте

У всякого конкурса изобретателей есть патентные споры, и у анализа тоже. В 1696 году в Париже вышел первый учебник дифференциального исчисления, «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий». Автором значился маркиз Гийом де Лопиталь. Маркиз был способным математиком и в предисловии поблагодарил Лейбница и братьев Бернулли. После его смерти Иоганн Бернулли заявил, что большая часть книги — его собственные результаты, и ему не очень поверили. Опубликованная в XX веке переписка показала, что Бернулли говорил правду: по договору 1694 года он за ежегодное жалованье присылал маркизу свои открытия, а тот мог распоряжаться ими как угодно. Самое знаменитое из них так и вошло в историю под именем Лопиталя. Оно помогает вычислять пределы вида «ноль на ноль».

Например, $\lim\limits_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = \frac{1/1}{1} = 1$, а $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} = \frac{3 \cdot 4}{1} = 12$. Есть и более сильная версия: если $f$ и $g$ стремятся к нулю, а предел отношения производных $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ существует, то к тому же числу стремится и $\frac{f(x)}{g(x)}$. Её доказывают через обобщение теоремы Лагранжа, теорему Коши о среднем, и она работает, даже когда $f'(a)$ и $g'(a)$ не существуют или равны нулю. Это разобрано в главе о строгом анализе.

Можно ли найти предел $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2}$ по правилу Лопиталя?

Да, он равен $1$ Нет: это не неопределённость «ноль на ноль», предел просто равен $\frac12$ Нет, и предела не существует

В нуле числитель равен $1$, знаменатель $2$, функция непрерывна, и предел равен $\frac12$. Правило Лопиталя применимо только к неопределённостям. Похожая ловушка — «доказать» по Лопиталю, что $\frac{\sin x}{x} \to 1$: для этого нужна производная синуса в нуле, а её мы в прошлой главе вывели как раз из этого предела. Получается рассуждение по кругу.

Куда дальше

Все задачи этой главы шли в одну сторону: знаем функцию — находим скорость её изменения, а по скорости — где функция наибольшая. Жизнь часто ставит обратную задачу. Видеорегистратор записал показания спидометра за всю поездку: в каждый момент мы знаем скорость, а счётчик километров сломался. Какой путь проехала машина? Если бы скорость была постоянной, хватило бы умножения. Но стрелка всё время двигалась. Теорема Лагранжа уже подсказала, что функция определяется своей производной с точностью до постоянной; осталось научиться её восстанавливать. Этим займётся глава об интеграле.