Интеграл

Прошлая глава закончилась обратной задачей. Видеорегистратор записал показания спидометра за всю поездку, и в каждый момент мы знаем скорость машины. Какой путь она проехала? Производная превращает путь в скорость, а теперь нужно превращение в обратную сторону.

Пока скорость постоянна, задача решается в уме: $60$ км/ч в течение десяти минут — это $10$ км. На графике скорости этот ответ — площадь прямоугольника высотой $60$ км/ч и шириной $\frac16$ часа. Если первые пять минут машина шла со скоростью $30$ км/ч, а следующие пять — $90$, график состоит из двух ступенек, и путь равен сумме их площадей: $2{,}5 + 7{,}5 = 10$ км. А когда стрелка спидометра ни секунды не стоит на месте, разобьём поездку на короткие промежутки, на каждом будем считать скорость постоянной и сложим площади узких прямоугольников. Чем короче промежутки, тем точнее ответ, а в пределе путь равен площади под графиком скорости.

Так найти путь по скорости и найти площадь под кривой — одна и та же задача. Решает её идея, которую легко сказать: разрезать фигуру на тонкие полоски и сложить их площади. У этой идеи длинная жизнь. Она родилась в Сиракузах больше двух тысяч лет назад, в XVII веке ею резали всё подряд, от винных бочек до кривых любой степени, потом она встретилась с касательной и стала всесильной, а строгое определение получила только в 1854 году. Расскажем её биографию по порядку.

Рождение в Сиракузах

Архимед (около 287–212 годов до н. э.) отправил александрийскому математику Досифею трактат «Квадратура параболы». Квадратурой греки называли построение квадрата, равного по площади данной фигуре, а в широком смысле — точное вычисление площади. Многоугольники к тому времени умели перекраивать друг в друга, как в мастерской из главы 20. Архимед взялся за фигуру, ограниченную кривой: кусок плоскости, который хорда отсекает от параболы. Его называют параболическим сегментом.

Ответ Архимеда поразительно прост: сегмент ровно на треть больше вписанного в него треугольника. Вот точная формулировка.

Сумма бесконечной прогрессии $1 + \frac14 + \frac1{16} + \ldots$: каждое следующее поколение треугольников в доказательстве вчетверо меньше предыдущего. Площадь треугольника $ABC$, вписанного в сегмент. Для параболы $y = x^2$ эта площадь зависит только от ширины хорды по горизонтали: $h = b - a$, где $a$ и $b$ — абсциссы точек $A$ и $B$. Пример: хорда параболы $y = x^2$ между точками с абсциссами $-1$ и $2$. Здесь $h = 3$, $T = \frac{27}{8}$, и площадь сегмента $S = \frac43 \cdot \frac{27}{8} = \frac92$. Через два раздела мы получим это число совсем другим способом.

Архимед доказывает теорему, заполняя сегмент треугольниками: сначала один большой, потом в каждый из двух оставшихся кусков по треугольнику поменьше, потом четыре, восемь и так далее. Доказательство ниже следует его плану, но короче: где Архимед ссылался на свойства конических сечений, мы воспользуемся производной.

Хитрость в том, чтобы заполнять сегмент треугольниками поколение за поколением и доказать две вещи: каждое новое поколение вчетверо меньше предыдущего, а незаполненная часть тает. Возьмём параболу $y = x^2$ и точки $A$, $B$ на ней с абсциссами $a < b$; ширина хорды $h = b - a$.

Точку $C$ возьмём посередине по горизонтали, с абсциссой $m = \frac{a+b}{2}$. Наклон хорды равен $\frac{b^2 - a^2}{b - a} = a + b$, а наклон касательной в $C$ — это производная функции $x^2$, то есть $2m = a + b$ (глава 26). Наклоны равны, поэтому касательная в $C$ параллельна хорде: это и есть точка из условия теоремы. Найдём площадь треугольника $ABC$. Проведём через $C$ вертикаль до хорды, до точки $M$. Отрезок $CM$ режет треугольник на два, для обоих он служит основанием, а их высоты, опущенные на эту вертикаль, равны $m - a$ и $b - m$ и в сумме дают $h$. Поэтому $T = \frac12 \cdot CM \cdot h$. Хорда — это прямая $y = (a + b)x - ab$, и над точкой $m$ она выше параболы на $(a + b)m - ab - m^2 = (m - a)(b - m) = \frac{h^2}{4}$. Значит, $T = \frac12 \cdot \frac{h^2}{4} \cdot h = \frac{h^3}{8}$: площадь зависит только от ширины хорды. Незаполненная часть тает. Вертикали через $A$ и $B$ вырезают из полосы между хордой и касательной параллелограмм, и сегмент лежит внутри него: на отрезке $[a;\,b]$ парабола не выше хорды, потому что $(a + b)x - ab - x^2 = (x - a)(b - x) \ge 0$, и не ниже касательной $y = 2mx - m^2$, потому что $x^2 - 2mx + m^2 = (x - m)^2 \ge 0$. Треугольник $ABC$ — ровно половина параллелограмма: основание $AB$ у них общее, а высота одна — расстояние между параллельными прямыми. Значит, треугольник занимает больше половины сегмента. То же верно для каждого из меньших сегментов, поэтому каждое поколение треугольников уменьшает незаполненную площадь больше чем вдвое. Следующее поколение. После треугольника $ABC$ остаются два сегмента, над хордами $AC$ и $CB$ шириной $\frac h2$. По формуле из второго шага треугольник в каждом из них имеет площадь $\frac{(h/2)^3}{8} = \frac T8$, оба вместе — $\frac T4$. Дальше будет четыре треугольника по $\frac{T}{64}$, то есть $\frac{T}{16}$, и так далее: каждое поколение вчетверо меньше предыдущего. После $k$ поколений треугольники занимают $T\left(1 + \frac14 + \ldots + \frac{1}{4^{k-1}}\right)$, а незаполненным остаётся меньше $\frac{S}{2^k}$ — меньше любого наперёд заданного числа, если $k$ велико. Значит, площадь сегмента равна сумме бесконечной прогрессии: $S = \frac{T}{1 - 1/4} = \frac43 T$ (глава 13). Для параболы $y = x^2$ заодно получилось $S = \frac43 \cdot \frac{h^3}{8} = \frac{h^3}{6}$.

Хорду параболы $y = x^2$ передвинули так, что её ширина по горизонтали выросла вдвое. Во сколько раз выросла площадь сегмента?

В $2$ раза В $4$ раза В $8$ раз Зависит от того, где хорда

$S = \frac{h^3}{6}$, поэтому при удвоении $h$ площадь растёт в $2^3 = 8$ раз. Хорда может быть наклонной и стоять где угодно: для параболы $y = x^2$ важна только её ширина.

Юность: век неделимых

Потом идея надолго уснула. Трактаты Архимеда переписывали, переводили на арабский и латынь, комментировали, но продолжить его работу почти два тысячелетия было некому. Разбудил её XVII век, и разбудил бесцеремонно.

В 1613 году астроном Иоганн Кеплер женился во второй раз и запасся к свадьбе вином. Виноторговец измерял бочки одним движением: вставлял мерный шест в отверстие посередине бочки до дальнего края днища и по длине вошедшей части объявлял объём, какой бы ни была форма бочки. Кеплер усомнился в таком способе и взялся считать сам. В 1615 году вышла его «Новая стереометрия винных бочек», где объёмы тел вращения находятся нарезкой на тонкие ломтики. Двадцать лет спустя Бонавентура Кавальери превратил нарезку в систему: фигура у него соткана из всех своих отрезков, как ткань из нитей, а тело сложено из всех своих плоских сечений, как книга из страниц. Его принцип о телах с равными сечениями мы уже применяли в главе 20.

Главным испытанием для новых методов стала площадь под кривой $y = x^n$. К середине века её умели находить несколько математиков: Кавальери, Ферма, Роберваль, Торричелли, каждый своим способом. Самый изящный приём принадлежит Пьеру Ферма, советнику парламента в Тулузе, чью теорему о нуле производной мы встречали в главе 27.

Хитрость в том, чтобы резать не на равные полоски, а на полоски, ширины которых убывают в геометрической прогрессии. Тогда и площади прямоугольников образуют прогрессию, а сумму прогрессии мы знаем. На рисунке $n = 2$ и $b = 1$.

Возьмём число $r$ между $0$ и $1$ и отметим на оси точки $b$, $br$, $br^2$, $br^3$, … Они сгущаются к нулю и делят отрезок на бесконечно много кусков. Над куском $[br^{k+1};\,br^k]$ поставим прямоугольник высотой $(br^k)^n$ — значение функции на правом конце. Его ширина $br^k(1 - r)$, площадь $b^{n+1}(1 - r)\left(r^{n+1}\right)^k$. Функция $x^n$ возрастает, так что правый конец каждого куска — самое высокое место, и прямоугольники накрывают всю площадь под кривой. Их площади — геометрическая прогрессия со знаменателем $r^{n+1} < 1$, её сумма $U = \frac{b^{n+1}(1 - r)}{1 - r^{n+1}}$. Сократим на $1 - r$, раз $1 - r^{n+1} = (1 - r)(1 + r + r^2 + \ldots + r^n)$: получим $U = \frac{b^{n+1}}{1 + r + r^2 + \ldots + r^n}$. Прямоугольники с высотой по левому концу лежат под кривой. Каждый из них ниже «правого» соседа ровно в $r^n$ раз, ведь $(br^{k+1})^n = r^n(br^k)^n$. Поэтому их сумма $L = r^n U$, и площадь $S$ зажата: $r^n U \le S \le U$ при любом $r$. Двигаем $r$ к единице. Сумма $1 + r + \ldots + r^n$ из $n + 1$ слагаемых подходит к $n + 1$, множитель $r^n$ — к единице, поэтому обе границы подходят к $\frac{b^{n+1}}{n+1}$. Число $S$ от $r$ не зависит и всё время лежит между ними, значит, $S = \frac{b^{n+1}}{n+1}$. Площадь прямоугольника $b \times b^n$, в который вписана фигура под графиком. Какую долю прямоугольника занимает фигура: для прямой $y = x$ половину (это треугольник), для параболы $y = x^2$ треть, для кубической параболы четверть. Пример: при $n = 2$, $b = 1$ площадь равна $\frac13$. Сверим с Архимедом: хорда от $(0;\,0)$ до $(1;\,1)$ отсекает сегмент площадью $\frac{1^3}{6} = \frac16$, под хордой лежит треугольник площадью $\frac12$, и под параболой остаётся $\frac12 - \frac16 = \frac13$. Два способа, разделённые почти двумя тысячелетиями, дали одно число.

Прогрессия Ферма работает и для дробных показателей: например, под графиком $y = \sqrt{x}$ на $[0;\,1]$ лежит площадь $\frac{1}{3/2} = \frac23$. Не работает формула только при $n = -1$, где в знаменателе появляется ноль. К этой дыре мы вернёмся в самом конце главы.

Встреча с касательной

К 1660-м годам площади под многими кривыми были найдены, но каждая по-своему: для одной кривой — одна хитрость, для другой — другая. С касательными было то же самое. Исаак Барроу, учитель Ньютона в Кембридже, в «Геометрических лекциях» (1670) доказал геометрическую теорему, в которой задача о касательной и задача о площади оказываются двумя сторонами одной задачи. Ньютон в 1665–1666 годах и Лейбниц в 1670-х превратили эту связь в алгоритм, который работает для всех кривых сразу.

Зафиксируем левый край $a$ и будем двигать правый. Площадь под графиком от $a$ до $x$ — уже не число, а функция от $x$. В задаче о поездке это расстояние от старта в момент $x$. Площадь под осью, когда машина едет задним ходом, считается со знаком минус: езда назад уменьшает расстояние от старта. Физики сказали бы точнее: интеграл скорости — это перемещение, а пройденный путь, который считает одометр, равен интегралу модуля скорости.

Как быстро растёт накопленная площадь? Когда правый край сдвигается на маленькое $h$, к площади прибавляется узкая полоска шириной $h$ и высотой примерно $f(x)$. Значит, накопленная площадь растёт со скоростью $f(x)$: её производная равна самой функции. Это и есть связь, которую увидел Барроу. Сделаем рассуждение строгим. Для этого нам понадобятся три свойства площади под графиком: под постоянной функцией $c$ на отрезке длины $\ell$ лежит площадь $c\ell$; площади соседних кусков складываются; под меньшей функцией площадь не больше. Двумя разделами ниже площадь под графиком получит точное определение, и мы проверим, что эти свойства у неё действительно есть.

Лейбниц обозначал площадь под графиком от $a$ до $b$ так: $\int_a^b f(x)\,dx$. Произведение $f(x)\,dx$ — площадь бесконечно узкой полоски высотой $f(x)$ и шириной $dx$, а знак $\int$ — вытянутая буква S, первая буква латинского summa: площадь — сумма полосок. Если верхний край переменный, букву под интегралом меняют, чтобы не путать с краем: $\int_a^x f(t)\,dt$.

Идея — зажать узкую полоску между двумя прямоугольниками.

Накопленная площадь $\Phi(x)$ — это площадь под графиком от $a$ до $x$. Сдвинем правый край на $h$; пусть сначала $h > 0$. Площади соседних кусков складываются, поэтому площадь от $a$ до $x + h$ равна $\Phi(x)$ плюс площадь полоски над отрезком $[x;\,x + h]$. Значит, приращение $\Phi(x + h) - \Phi(x)$ — это площадь полоски. Возьмём любое $\varepsilon > 0$. Функция $f$ непрерывна в точке $x$, поэтому при достаточно малом $h$ все её значения на отрезке $[x;\,x + h]$ отличаются от $f(x)$ меньше чем на $\varepsilon$ (глава 25): над полоской график не выходит из коридора между $f(x) - \varepsilon$ и $f(x) + \varepsilon$. Под меньшей функцией площадь не больше, а под постоянной она равна высоте, умноженной на ширину. Поэтому полоска зажата между двумя прямоугольниками: $\bigl(f(x) - \varepsilon\bigr)h \le \Phi(x + h) - \Phi(x) \le \bigl(f(x) + \varepsilon\bigr)h$. Поделим на $h$: отношение $\frac{\Phi(x + h) - \Phi(x)}{h}$ отличается от $f(x)$ не больше чем на $\varepsilon$. При $h < 0$ полоска лежит слева от $x$, её площадь входит в приращение со знаком минус, и после деления на отрицательное $h$ получается та же оценка. Какое бы $\varepsilon$ нам ни назвали, при всех достаточно малых $h$ отношение отличается от $f(x)$ не больше чем на $\varepsilon$. Это и значит, что его предел при $h \to 0$ равен $f(x)$: $\Phi'(x) = f(x)$.

Теорема говорит: накопленная площадь — функция, производная которой равна $f$. Такие функции заслуживают имени.

Первообразных у функции много: к $\frac{x^3}{3}$ можно прибавить любую постоянную, и производная не изменится. Других первообразных, кроме этих сдвигов, на промежутке нет.

Теперь всё готово для главного вычислительного правила анализа.

Нижний предел: откуда начинаем копить площадь. Верхний предел: где останавливаемся. Подынтегральная функция, высота полоски; $dx$ — её ширина. Приращение любой первообразной. Прибавленная к $F$ постоянная сократится, поэтому годится любая. Разность часто пишут как $F(x)\Big|_a^b$. Пример: $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac13$ — результат Ферма в одну строку. Сегмент Архимеда из первого раздела: хорда между точками $(-1;\,1)$ и $(2;\,4)$ — прямая $y = x + 2$, и $\int_{-1}^{2} \left(x + 2 - x^2\right)dx = \left(\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac92$. А площадь под одной аркой синусоиды — $\int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos \pi + \cos 0 = 2$, ровно два.

Первообразные находим, читая таблицу производных справа налево. Каждая формула ниже верна на любом промежутке, где функция определена. Запись $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ без пределов означает все первообразные сразу.

Вычислите $\int_1^2 \left(3x^2 - 2x\right)dx$.

Первообразная для $3x^2$ — это $x^3$, для $2x$ — $x^2$. Значит, $F(x) = x^3 - x^2$, и интеграл равен $F(2) - F(1) = (8 - 4) - (1 - 1) = 4$.

Чему равен $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$?

$-2$ $0$ Такого числа нет: площадь бесконечна $2$

Формула Ньютона — Лейбница требует, чтобы $f$ была непрерывна на всём отрезке, а у $\frac{1}{x^2}$ в нуле разрыв, и график уходит в бесконечность. Уже от $\varepsilon$ до $1$ площадь равна $\frac1\varepsilon - 1$ и неограниченно растёт при $\varepsilon \to 0$. Такие интегралы мы разберём в последнем разделе.

Паспорт от Римана

Полтора века интегралом пользовались, не спрашивая, что такое площадь под графиком. Для гладких кривых физики и инженеров это сходило с рук. Но в начале XIX века ряды Фурье стали порождать функции причудливее любых кривых, и вопрос «что именно мы складываем» стал неизбежен. В 1829 году Петер Густав Лежён Дирихле привёл функцию, которая равна $1$ в рациональных точках и $0$ в иррациональных: где у неё «площадь под графиком»? Огюстен Коши в 1823 году определил интеграл непрерывной функции как предел сумм, а Бернхард Риман в 1854 году, в работе о тригонометрических рядах, опубликованной уже после его смерти, дал определение для любой функции. Им пользуются и сейчас.

Разобьём отрезок $[a;\,b]$ точками $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$ на куски длиной $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ и в каждом куске выберем любую точку $\xi_i$.

$\Delta$ — длина самого длинного куска. Предел берётся, когда все куски становятся сколь угодно короткими. Высота $i$-го прямоугольника — значение функции в любой точке $\xi_i$ куска. Результат не должен зависеть от того, какую точку выбрать. Ширина куска, $x_i - x_{i-1}$. Пример: $f(x) = x^2$ на $[0;\,1]$, десять равных кусков. С точками на правых концах сумма равна $\frac{1^2 + 2^2 + \ldots + 10^2}{1000} = 0{,}385$, с серединами кусков — $0{,}3325$, а интеграл равен $\frac13 = 0{,}333\ldots$

Суммы Римана — не только определение, но и способ считать. Первообразную удаётся найти далеко не всегда, и тогда интеграл вычисляют по суммам. Так делают калькуляторы и компьютеры, и разные способы выбирать точки дают очень разную точность.

Не всякая функция интегрируема. У функции Дирихле в любом куске есть и рациональные, и иррациональные точки: выберем все $\xi_i$ рациональными — сумма равна $b - a$, иррациональными — нулю. Суммы не подходят ни к какому одному числу, и интеграла Римана нет. В 1902 году Анри Лебег придумал интеграл посильнее, которому по силам и такая функция; он ждёт нас в главе 54. А вот для функций, которые только растут или только убывают, интегрируемость доказывается одной картинкой.

Идея: зажать все суммы Римана между нижней и верхней суммой и увидеть, что зазор между ними складывается в один узкий столбик. Пусть $f$ возрастает; для убывающей всё зеркально.

Разобьём отрезок на куски, каждый из которых не длиннее $\delta$. Функция возрастает, поэтому на каждом куске она меньше всего на левом конце. Прямоугольники с высотами $f(x_{i-1})$ дают нижнюю сумму $L$. Прямоугольники с высотами $f(x_i)$ на правых концах дают верхнюю сумму $U$. Любая сумма Римана для того же разбиения лежит между ними, потому что $f(x_{i-1}) \le f(\xi_i) \le f(x_i)$. Разность $U - L$ — это коробочки вдоль графика: над $i$-м куском коробочка шириной $\Delta x_i$ и высотой $f(x_i) - f(x_{i-1})$. Сдвинем коробочки вправо, к краю $b$, не меняя высоты. Верх каждой коробочки — низ следующей, поэтому они встают друг на друга в один столбик от $f(a)$ до $f(b)$. Ширина каждой не больше $\delta$, так что $U - L \le \bigl(f(b) - f(a)\bigr)\delta$. Любая нижняя сумма не больше любой верхней: у двух разбиений есть общее измельчение, а при добавлении точек нижняя сумма может только вырасти, верхняя — только уменьшиться. По свойству полноты действительных чисел (глава 53) между всеми нижними и всеми верхними суммами лежит число $I$. Сумма Римана и $I$ находятся между одними и теми же $L$ и $U$, поэтому отличаются не больше чем на $\bigl(f(b) - f(a)\bigr)\delta$, а это меньше любого $\varepsilon$ при малом $\delta$. Значит, $f$ интегрируема и $I = \int_a^b f(x)\,dx$.

Непрерывные функции тоже интегрируемы, но доказательство требует более тонкого понятия равномерной непрерывности и отложено до главы 53. Там же будет доказано, что у непрерывной функции на отрезке есть наибольшее и наименьшее значения. Мы будем пользоваться обоими фактами. А три свойства, на которые опиралась основная теорема, из определения следуют сразу.

Вернёмся к вычислениям. Чаще всего точнее других в исследователе выше способ Симпсона: он заменяет график на каждой паре соседних кусков параболой, проведённой через три точки, — снова парабола Архимеда.

Длина куска $h = \frac{b - a}{n}$; число кусков $n$ чётное, $f_k$ — значение функции в точке $a + kh$. Значения на концах отрезка — с весом $1$. Средние точки пар — с весом $4$. Стыки соседних пар — с весом $2$: каждый стык принадлежит двум параболам. Пример: $\int_0^\pi \sin x\,dx$ при $n = 4$: $\frac{\pi}{12}\left(0 + 4\left(\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\right) + 2 \cdot 1 + 0\right) = \frac{\pi\left(4\sqrt2 + 2\right)}{12} \approx 2{,}00456$. Ошибка меньше пяти тысячных, а трапеции по тем же пяти точкам дают $1{,}896$ и ошибаются на десятую.

Откуда веса $1$, $4$, $1$? Сдвинем пару кусков так, чтобы её середина оказалась в нуле, и пусть парабола $q(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ проходит через точки с абсциссами $-h$, $0$, $h$. По формуле Ньютона — Лейбница $\int_{-h}^{h} q(x)\,dx = \frac{2\alpha h^3}{3} + 2\gamma h$: слагаемое с $\beta$ пропало, потому что площади над $[-h;\,0]$ и над $[0;\,h]$ у нечётной функции $\beta x$ взаимно уничтожаются. А $q(-h) + 4q(0) + q(h) = 2\alpha h^2 + 6\gamma$, и $\frac h3$ от этого — ровно тот же интеграл. Если добавить к параболе слагаемое $\delta x^3$, обе стороны не изменятся: кубы на $-h$ и $h$ тоже взаимно уничтожаются. Поэтому формула Симпсона точна не только для парабол, но и для любых многочленов третьей степени.

Интеграл $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$ считают по четырём кускам. Какой способ ошибётся меньше: прямоугольники с высотой в серединах кусков или трапеции?

Середины Трапеции Одинаково

Середины дают $2{,}0523$ (ошибка $+0{,}052$), трапеции — $1{,}8961$ (ошибка $-0{,}104$): вдвое хуже и с другим знаком. Так бывает для любой гладкой функции при мелком разбиении, и формула Симпсона этим пользуется: с $2n$ кусками она равна $\frac{2M + T}{3}$, где $M$ и $T$ — суммы по серединам и по трапециям для $n$ кусков, и ошибки почти гасят друг друга: для синуса выходит $2{,}00027$.

Ремесло

Производную любой формулы находят механически, по правилам главы 26. С первообразными не так: здесь больше ремесла, чем правил. Сумму интегрируют по слагаемым, постоянный множитель выносят (это свойство 1 из прошлого раздела, прочитанное для первообразных), а дальше в дело идут два главных приёма. Оба — правила дифференцирования, прочитанные справа налево.

На практике ищут внутри подынтегральной функции кусок $u = g(x)$, производная которого тоже стоит множителем. В $\int 2x\cos\left(x^2\right)dx$ таким куском будет $u = x^2$: $du = 2x\,dx$, и интеграл превращается в $\int \cos u\,du = \sin u + C = \sin\left(x^2\right) + C$. Частный случай, который встречается постоянно, — линейная замена: $\int f(kx + b)\,dx = \frac1k F(kx + b) + C$. Например, $\int \cos 3x\,dx = \frac13\sin 3x + C$: без множителя $\frac13$ производная ответа была бы втрое больше.

Вычислите $\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$.

Замена $u = x^2$, $du = 2x\,dx$, то есть $x\,dx = \frac12 du$. Пределы: при $x = 0$ будет $u = 0$, при $x = 1$ — $u = 1$. Получаем $\frac12 \int_0^1 e^u\,du = \frac12\left(e - 1\right) \approx 0{,}859$.

Второй приём превращает правило произведения в правило для интегралов. У него есть честная картинка: две площади, которые складываются в уголок между прямоугольниками.

Идея: нарисовать на плоскости с осями $u$ и $v$ кривую, которую пробегает точка $\bigl(u(x);\,v(x)\bigr)$, и увидеть обе площади из формулы сразу. Пусть сначала $u$ и $v$ положительны и возрастают.

Когда $x$ пробегает $[a;\,b]$, точка $\bigl(u(x);\,v(x)\bigr)$ чертит кривую от $P_1 = (u_1;\,v_1)$ до $P_2 = (u_2;\,v_2)$, где $u_1 = u(a)$, $u_2 = u(b)$ и так же для $v$. Площадь под кривой, до оси $u$, — это $\int_{u_1}^{u_2} v\,du$. На языке $x$ полоска под кривой над отрезком от $u(x)$ до $u(x + dx)$ имеет высоту $v(x)$ и ширину $u'(x)\,dx$, так что по формуле замены эта площадь равна $\int_a^b v(x)u'(x)\,dx$. Площадь слева от кривой, до оси $v$, по той же причине равна $\int_{v_1}^{v_2} u\,dv = \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$. Вместе две области заполняют большой прямоугольник $u_2 \times v_2$ без маленького $u_1 \times v_1$: $\int v\,du + \int u\,dv = u_2v_2 - u_1v_1$. Перенеся одну площадь в правую часть, получаем формулу. Картинка требовала, чтобы $u$ и $v$ росли. В общем случае та же формула получается за строчку: по правилу производной произведения (глава 26) $(uv)' = u'v + uv'$, и формула Ньютона — Лейбница, применённая к обеим частям, даёт $u(x)v(x)\Big|_a^b = \int_a^b u'v\,dx + \int_a^b uv'\,dx$. Множитель, который упрощается при дифференцировании: многочлен, логарифм, арктангенс. Множитель, который легко проинтегрировать, вместе с $dx$: $dv = v'(x)\,dx$. Первообразная этого множителя; постоянную здесь можно не писать. $du = u'(x)\,dx$. Пример: $\int x e^x\,dx$. Берём $u = x$, $dv = e^x dx$, тогда $du = dx$, $v = e^x$ и $\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = e^x(x - 1) + C$. Проверка: $\bigl(e^x(x - 1)\bigr)' = e^x(x - 1) + e^x = x e^x$. Так же $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$ при $u = \ln x$, $dv = dx$.

Для дробей из многочленов есть свой приём — разложение на простейшие дроби: $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac12\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$, и $\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac12 \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$. Решатель интегралов разберёт по шагам и такие, и многие другие интегралы, объясняя каждый ход.

Все тренажёры курса собраны на странице практики.

Профессии

Вооружённая формулой Ньютона — Лейбница, идея пошла работать. Всюду, где величина складывается из маленьких кусков — объём из слоёв, работа из коротких перемещений, среднее из мгновенных значений, — её считают интегралом. Начнём с объёма, заодно выполнив обещание из главы 20.

Идея: нарезать тело на тонкие слои, заменить каждый слой монетой и зажать объём между двумя стопками монет.

Разрежем тело плоскостями $x = x_k$, перпендикулярными оси, на слои толщиной не больше $\Delta x$. Сечение плоскостью $x$ — круг радиуса $f(x)$ и площади $\pi f(x)^2$. Заменим каждый слой монетой — прямым цилиндром радиуса $f(x_k)$ и той же толщины. Объём монеты $\pi f(x_k)^2\,\Delta x_k$, а объём стопки — сумма Римана для функции $\pi f(x)^2$. Зажмём каждый слой. Пусть $m_k$ и $M_k$ — наименьшее и наибольшее значения $f$ на $k$-м куске (у непрерывной функции они есть). Слой содержит цилиндр радиуса $m_k$ и сам содержится в цилиндре радиуса $M_k$, а тело внутри другого тела имеет не больший объём (глава 20). Поэтому $\sum \pi m_k^2\,\Delta x_k \le V \le \sum \pi M_k^2\,\Delta x_k$. Обе крайние суммы — суммы Римана непрерывной функции $\pi f^2$ (с точками, где $f$ наименьшая и наибольшая), и при измельчении обе подходят к $\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$. Объём зажат между ними, значит, он и равен этому интегралу. Площадь сечения: круг радиуса $f(x)$. Толщина слоя. Объём — сумма бесконечно тонких монет. Пример: конус с радиусом основания $r$ и высотой $h$ получается вращением прямой $f(x) = \frac{r}{h}x$ на $[0;\,h]$, и $V = \pi\frac{r^2}{h^2}\int_0^h x^2\,dx = \pi \frac{r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac13\pi r^2 h$ — треть цилиндра, как в главе 20. Шар радиуса $R$ — вращение полуокружности $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$: $V = \pi\int_{-R}^{R}\left(R^2 - x^2\right)dx = \pi\left(2R^3 - \frac{2R^3}{3}\right) = \frac43\pi R^3$.

Для тела любой формы рассуждение то же: объём равен $\int_a^b S(x)\,dx$, где $S(x)$ — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси $x$. В общем виде это утверждение строго доказывают в теории меры (глава 54; это частный случай теоремы Фубини), а для тел вращения мы его только что доказали. Из этой формулы сразу следует принцип Кавальери: если у двух тел на каждой высоте сечения равной площади, то под интегралом стоят одинаковые функции, и объёмы равны.

Вторая профессия — механика. Постоянная сила $F$ на пути $s$ совершает работу $Fs$. Если сила меняется, путь режут на короткие отрезки, на каждом считают силу постоянной, и в пределе работа равна $\int_a^b F(x)\,dx$. Пружину по закону Гука растягивает сила $F = kx$, пропорциональная удлинению, и работа при растяжении от нуля до $x$ равна $\int_0^x kt\,dt = \frac{kx^2}{2}$ — площадь треугольника под графиком силы.

Жёсткость пружины $k = 200$ Н/м. Какую работу (в джоулях) нужно совершить, чтобы растянуть её от $0{,}1$ м до $0{,}2$ м?

$A = \int_{0{,}1}^{0{,}2} 200x\,dx = 100x^2\Big|_{0{,}1}^{0{,}2} = 100 \cdot (0{,}04 - 0{,}01) = 3$ Дж. Первые десять сантиметров стоили бы только $1$ Дж: каждый следующий сантиметр даётся тяжелее.

Третья профессия — среднее. Среднее арифметическое $n$ чисел — их сумма, делённая на $n$. У функции значений бесконечно много, и сумму заменяет интеграл.

Длина отрезка: «сколько значений» мы усредняем. Мгновенные значения, сложенные интегралом. Пример: среднее значение $\sin x$ на $[0;\,\pi]$ равно $\frac{2}{\pi} \approx 0{,}637$. Напряжение в розетке меняется по синусоиде: $U(t) = U_0 \sin(100\pi t)$, пятьдесят колебаний в секунду. Надпись «$220$ В» означает не амплитуду $U_0$, а корень из среднего значения $U^2$. Среднее значение $\sin^2$ за полпериода равно $\frac12$, ведь $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ и $\int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \frac\pi2$. Значит, $\frac{U_0}{\sqrt2} = 220$ и $U_0 = 220\sqrt2 \approx 311$ В — столько на пиках синусоиды.

Причуды: труба Торричелли

У любой сильной идеи есть странности. У интеграла главная из них связана с бесконечностью: иногда можно сложить бесконечно длинную полосу и получить конечное число.

Показатель, от которого всё зависит. При $p > 1$ по формуле Ньютона — Лейбница $\int_1^B \frac{dx}{x^p} = \frac{1 - B^{1-p}}{p - 1}$, и $B^{1-p} \to 0$. При $p = 1$ интеграл $\int_1^B \frac{dx}{x} = \ln B$ растёт без предела, при $p < 1$ — тем более: интеграл расходится. Значение. Чем ближе $p$ к единице, тем оно больше, но пока $p > 1$, оно конечно. Пример: $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^2} = 1$. Бесконечно длинная полоса под графиком $\frac{1}{x^2}$ имеет площадь ровно $1$, а полоса под $\frac1x$, которая на вид почти такая же, бесконечна.

Несобственные интегралы нужны не только для парадоксов. Чтобы увести тело массы $m$ с поверхности Земли навсегда, против силы тяготения $\frac{GMm}{r^2}$ нужно совершить работу $\int_R^{+\infty} \frac{GMm}{r^2}\,dr = \frac{GMm}{R}$, где $R$ — радиус Земли, $M$ — её масса, $G$ — гравитационная постоянная. Путь бесконечный, а работа конечная. Приравняв её кинетической энергии $\frac{mv^2}{2}$, получим вторую космическую скорость $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11{,}2$ км/с.

Теперь сама странность. В 1643 году Эванджелиста Торричелли, ученик Галилея и изобретатель ртутного барометра, вращал вокруг оси $x$ график $y = \frac1x$ при $x \ge 1$ и получил бесконечно длинную трубу с раструбом.

Современников это ошеломило: тело бесконечной длины с конечным объёмом. Обычно парадокс рассказывают как историю про маляра: трубу можно доверху залить $\pi$ литрами краски, а покрасить её поверхность не хватит никакой краски. Но ведь налитая краска касается всей внутренней поверхности, то есть красит её? Противоречия нет. Реальный слой краски имеет толщину, а в узком конце трубы, где радиус меньше этой толщины, слой просто не помещается: налитая краска покрывает стенки слоем, который становится всё тоньше и тоньше. Математическая краска бесконечно тонкого слоя не имеет объёма вовсе, и площадь с объёмом измеряют разное. Посмотрите в виджете, как медленно растёт площадь: при каждом удлинении трубы в десять раз она прибавляет почти одно и то же, около $2\pi\ln 10 \approx 14{,}5$, — как логарифм.

Сходится ли интеграл $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^{1{,}01}}$?

Нет, ведь функция почти такая же, как $\frac1x$ Да, и он равен $100$ Да, примерно $1$

При $p = 1{,}01$ формула даёт $\frac{1}{0{,}01} = 100$. Граница между «сходится» и «расходится» проходит ровно по $p = 1$, и чем ближе к ней, тем больше площадь, но при любом $p > 1$ она конечна.

Куда дальше

Формула $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ из первых разделов работает для всех показателей, кроме одного: при $n = -1$ в знаменателе ноль. Первообразная $\frac1x$ нам известна — это $\ln|x|$, — но откуда здесь логарифм? Посмотрите на гиперболу $y = \frac1x$ глазами Ферма. Разобьём отрезок $[1;\,q^k]$ точками $1, q, q^2, \ldots, q^k$ и поставим над каждым куском прямоугольник высотой по левому концу. Ширина $j$-го прямоугольника $q^j(q - 1)$, высота $\frac{1}{q^j}$, площадь $q - 1$ — у всех одна и та же. Площадь под гиперболой считает шаги, то есть растёт, как логарифм: умножение правого края на $q$ прибавляет к площади одно и то же. Это заметили Грегуар де Сен-Венсан и Альфонс Антонио де Сараса в 1640-х годах. Но логарифм по какому основанию? При каком $x$ площадь под гиперболой от $1$ до $x$ равна единице? И второй вопрос, который задаёт производная: существует ли функция, которая совпадает со своей производной — растёт в каждый момент ровно с той скоростью, каково её значение? Оба ответа выводят на одно и то же число, $2{,}71828\ldots$, — героя следующей главы.