This chapter hasn’t been translated into English yet, so here is the Russian original. Your browser can translate the page; the formulas and widgets work the same. Back to the English contents →

Часть IX · Горизонты Глава 58 из 60

Неевклидовы геометрии

Дневник путешествия по трём мирам. На плоскости сумма углов треугольника — ровно 180°, на сфере больше, а в мире Лобачевского меньше, и там через точку проходит бесконечно много параллельных.

1–2 курс 60 минут

Опирается на: 57 · Топология

Вы научитесь

почему пятый постулат нельзя вывести из остальных и как устроена геометрия, где он неверен
находить площадь треугольника на сфере и на плоскости Лобачевского по его углам
объяснять, почему у Земли нет карты без искажений и зачем часам GPS теория относительности

Линия IX · Горизонты

Вы здесь: 58 · Неевклидовы геометрии

Пересадки 16 · Начала Евклида

Прошлая глава оставила нас с восьмиугольником в руках. Если склеить его стороны по слову $aba^{-1}b^{-1}cdc^{-1}d^{-1}$, выйдет крендель с двумя дырками, и все восемь углов сойдутся в одну точку. Чтобы вокруг неё не осталось ни щели, ни складки, каждый угол должен быть $45^\circ$. Но на обычной плоскости у любого восьмиугольника сумма углов $1080^\circ$, и восьми углов по $45^\circ$ ему не собрать. Нужна другая плоскость. Искать её начали на две тысячи лет раньше, чем кому-то понадобился крендель, — с пятого постулата Евклида.

Эта глава — дневник путешествия по трём мирам. Первый — обычная плоскость, где сумма углов треугольника ровно $180^\circ$. Второй — сфера, где она больше. Третий — плоскость Лобачевского, где меньше, и там найдётся наш восьмиугольник.

Запись первая. Дома: постулат, который хотели доказать

В главе о «Началах» пятый постулат выглядел теоремой, которую Евклид забыл доказать. Там же выяснилось, что он равносилен аксиоме Плейфера: через точку вне прямой проходит не больше одной параллельной. Первые двадцать восемь предложений «Начал» обходятся без него, и среди них теорема о внешнем угле и её следствие: любые два угла треугольника в сумме меньше $180^\circ$. Две тысячи лет математики пытались вывести постулат из остальных четырёх.

Абсолютная геометрия — всё, что можно доказать без пятого постулата, из остальных аксиом (в строгой форме — из аксиом Гильберта без аксиомы о параллельных). Название придумал Янош Бойяи: теоремы абсолютной геометрии верны, какой бы ни оказалась судьба пятого постулата.

Самый упорный штурм предпринял итальянский иезуит Джованни Саккери. В 1733 году вышла его книга «Евклид, очищенный от всех пятен». Саккери строил четырёхугольник, который теперь носит его имя, и перебирал возможности для его верхних углов.

Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник $ABCD$, у которого углы $A$ и $B$ при основании прямые, а боковые стороны $AD$ и $BC$ равны. Его верхние углы $C$ и $D$ равны между собой: четырёхугольник симметричен относительно серединного перпендикуляра к основанию.

Если верхние углы прямые, выполняется пятый постулат. Гипотезу тупого угла Саккери честно опроверг. А гипотеза острого угла не поддавалась: он выводил из неё следствие за следствием, всё более странные, но противоречия не находил и в конце концов объявил её «противной природе прямой линии». Противоречия там не было. Саккери, сам того не зная, первым исследовал неевклидову геометрию и отказался от неё. Одно препятствие, впрочем, он поставил надёжно — и доказал это без пятого постулата.

В абсолютной геометрии сумма углов любого треугольника не больше $180^\circ$.

Угол треугольника при вершине $A$.

Его часть, отрезанная медианой $AE$ со стороны $B$; после построения она окажется углом при новой вершине $F$.

Другая часть, со стороны $C$, — угол нового треугольника при вершине $A$.

Пример: при $\alpha = 60^\circ$ одна из частей не больше $30^\circ$. После десяти повторений построения в треугольнике с той же суммой углов найдётся угол не больше $60^\circ / 2^{10} \approx 0{,}06^\circ$.

Хитрость в том, чтобы перестроить треугольник, не меняя суммы углов, но сделав один из углов вдвое меньше. Построение то же, что в доказательстве теоремы о внешнем угле в главе 16.

Пусть сумма углов треугольника $ABC$ равна $\alpha + \beta + \gamma$.

Отметим середину $E$ стороны $BC$ и продолжим медиану $AE$ за точку $E$ на такую же длину: $EF = AE$.

Треугольники $ABE$ и $FCE$ равны по двум сторонам и углу между ними: $BE = CE$, $AE = FE$, а углы при $E$ вертикальные. Значит, $\angle CFE = \angle BAE = \alpha'$ и $\angle FCE = \angle ABE = \beta$. Пятый постулат не нужен: равенство треугольников и вертикальных углов доказывается без него.

Сложим углы треугольника $AFC$. При $A$ остался угол $\alpha''$, при $F$ — угол $\alpha'$, при $C$ — угол $\gamma + \beta$. Сумма $\alpha'' + \alpha' + \gamma + \beta = \alpha + \beta + \gamma$ — та же. А два угла $\alpha'$ и $\alpha''$ вместе составляют $\alpha$, поэтому один из них не больше $\frac{\alpha}{2}$.

Повторим построение $n$ раз, каждый раз от вершины с самым маленьким углом. Получится треугольник с той же суммой углов и углом не больше $\frac{\alpha}{2^n}$. Если бы сумма была $180^\circ + \varepsilon$ при $\varepsilon > 0$, возьмём $n$ таким, что $\frac{\alpha}{2^n} < \varepsilon$ (так можно по аксиоме Архимеда). Тогда два других угла вместе больше $180^\circ$ — а это запрещает следствие теоремы о внешнем угле (глава 16). Значит, сумма не больше $180^\circ$.

Остаются два варианта: сумма углов ровно $180^\circ$ или меньше. Саккери и позже Адриен Мари Лежандр показали, что если хотя бы у одного треугольника она ровно $180^\circ$, то у всех, и тогда верен пятый постулат. Поэтому неевклидова геометрия, если она существует, — это мир, где у всех треугольников сумма углов меньше $180^\circ$. Иоганн Генрих Ламберт в работе 1766 года (напечатали её только в 1786-м) заметил, что при этой гипотезе недостача до $180^\circ$ ведёт себя как площадь, и предположил, что такая геометрия могла бы жить на «мнимой сфере». Он был ближе к истине, чем кто-либо до Лобачевского.

Запись вторая. Сфера: параллельных нет

Прежде чем отправиться туда, где углов не хватает, побываем там, где их слишком много. Мы живём на шаре, и штурманы давно знают его геометрию.

Большой круг — сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр: экватор, любой меридиан. Кратчайший путь между двумя точками сферы идёт по дуге большого круга. Линии, которые на поверхности играют роль прямых — кратчайшие пути между своими близкими точками, — называют геодезическими. На сфере это большие круги.

Самолёт из Москвы в Ванкувер летит почти через Северный полюс: самая северная точка большого круга — $82{,}8^\circ$ северной широты. Этот путь короче $8200$ км, а если держать постоянный компасный курс, получится почти $10\,900$ км. Даже Мадрид и Нью-Йорк, лежащие почти на одной широте, большой круг соединяет дугой, уходящей на север, до $46^\circ$, и выигрывает около $170$ км.

Тяните вершины по глобусу; сцену можно поворачивать. «Три прямых угла» — треугольник с вершинами на полюсе и на экваторе. Выберите рейс: сплошная линия — большой круг, пунктир — постоянный курс.

Возьмём большие круги за прямые. Любые два из них пересекаются, причём в двух диаметрально противоположных точках, так что параллельных нет вовсе. Сумма углов треугольника больше $180^\circ$: у треугольника с вершинами на Северном полюсе и в двух точках экватора, разделённых четвертью оборота, все три угла прямые. Он занимает восьмую часть поверхности Земли — около $63{,}8$ миллиона квадратных километров.

Сфера ломает не только пятый постулат. Через две противоположные точки проходит бесконечно много «прямых», прямые конечны и замкнуты, и даже теорема о внешнем угле неверна. Поэтому сфера — не модель абсолютной геометрии, и теорема Саккери — Лежандра к ней не относится. Геометрию, где прямые конечны и любые две пересекаются, описал Бернхард Риман в знаменитой лекции 1854 года. А избыток суммы углов над $180^\circ$ на сфере точно измеряет площадь.

Сферический избыток треугольника — разность $\alpha + \beta + \gamma - \pi$ между суммой его углов и суммой углов плоского треугольника. Двуугольник с углом $\alpha$ — часть сферы между двумя половинами больших кругов, выходящими из одной точки под углом $\alpha$ и сходящимися в противоположной.

Площадь треугольника на сфере радиуса $R$ с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (в радианах) равна $S = (\alpha + \beta + \gamma - \pi)R^2$.

Угол при вершине $A$ — угол между касательными к сторонам, в радианах.

Угол при вершине $B$.

Угол при вершине $C$.

Сумма углов плоского треугольника; скобка — избыток.

Квадрат радиуса: на большой сфере та же сумма углов даёт большую площадь.

Пример: у треугольника с тремя прямыми углами избыток $\frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$, и $S = \frac{\pi}{2}R^2$ — ровно восьмая часть площади сферы $4\pi R^2$. Для Земли, $R = 6371$ км, это $\frac{\pi}{2} \cdot 6371^2 \approx 63{,}8$ млн км². Маленький треугольник почти плоский: у треугольника со сторонами $69$, $85$ и $107$ км на Земле избыток около $15''$ — пятнадцати угловых секунд.

Хитрость в том, чтобы покрыть сферу тремя парами двуугольников и посчитать, сколько раз покрыт каждый кусок.

Площадь двуугольника пропорциональна его углу. Двуугольники с равными углами совмещаются поворотом, двуугольник с углом $\alpha + \beta$ режется на двуугольники с углами $\alpha$ и $\beta$, а площадь растёт вместе с углом — значит, она линейно зависит от угла. Угол $2\pi$ даёт всю сферу площади $4\pi R^2$ (глава 20), и двуугольник с углом $\alpha$ имеет площадь $\frac{\alpha}{2\pi} \cdot 4\pi R^2 = 2\alpha R^2$.

Продолжим стороны $AB$ и $AC$ до больших кругов. Они вырезают двуугольник с углом $\alpha$, содержащий наш треугольник, и такой же противоположный двуугольник у точки, противоположной $A$. Вместе — $4\alpha R^2$.

Так же стороны при вершине $B$ дают пару двуугольников площадью $4\beta R^2$.

И стороны при $C$ — пару площадью $4\gamma R^2$.

Шесть двуугольников покрывают всю сферу. Треугольник $ABC$ покрыт трижды — по разу двуугольником при каждой вершине; противоположный ему треугольник той же площади тоже трижды; остальная сфера — ровно один раз.

Сумма площадей двуугольников — это площадь сферы плюс два лишних покрытия обоих треугольников: $4(\alpha + \beta + \gamma)R^2 = 4\pi R^2 + 4S$. Отсюда $S = (\alpha + \beta + \gamma - \pi)R^2$.

Формулу опубликовал Альбер Жирар в 1629 году, а на четверть века раньше, в 1603-м, её нашёл, но не напечатал англичанин Томас Хэрриот. Гаусс в 1820-х годах руководил геодезической съёмкой Ганновера, и в неё входил большой треугольник между вершинами Брокен, Хоэр-Хаген и Инзельсберг — как раз со сторонами около $69$, $85$ и $107$ км. По распространённой легенде, Гаусс измерял его углы, чтобы проверить Евклида в масштабе гор; ставил ли он такую цель на самом деле, историки спорят.

Углы треугольника на сфере радиуса $3$ равны $90^\circ$, $90^\circ$ и $60^\circ$. Найдите его площадь (можно ответить через $\pi$, например 2pi).

Избыток $90^\circ + 90^\circ + 60^\circ - 180^\circ = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$. Площадь $\frac{\pi}{3} \cdot 3^2 = 3\pi \approx 9{,}42$. Такой треугольник — кусок «апельсиновой дольки» между двумя меридианами, отстоящими на $60^\circ$, от полюса до экватора.

Запись третья. Казань, 1826

В феврале 1826 года профессор Казанского университета Николай Лобачевский представил физико-математическому отделению доклад о началах геометрии. Рукопись не сохранилась. В 1829–1830 годах в журнале «Казанский вестник» вышла его работа «О началах геометрии». Лобачевский сделал то, на что не решились Саккери и Ламберт: принял отрицание пятого постулата как аксиому и стал строить новую геометрию, не дожидаясь противоречия. Противоречие так и не пришло, а геометрия получилась стройной, со своей тригонометрией. Коллеги в Казани её не поняли, отзывы в столице были насмешливыми.

Независимо от него к тем же выводам пришёл венгр Янош Бойяи; его «Приложение» вышло в 1832 году как дополнение к учебнику отца. Отец послал книгу своему другу Гауссу, и тот ответил, что хвалить её значило бы хвалить себя самого: он пришёл к тем же мыслям много лет назад. Гаусс действительно их не публиковал; в письме Бесселю 1829 года он признавался, что боится «крика беотийцев» — шума непонимающих.

Через точку вне прямой проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Плоскость Лобачевского, или гиперболическая плоскость, — плоскость, где верны все аксиомы абсолютной геометрии и аксиома Лобачевского вместо пятого постулата.

Как увидеть такую плоскость, если она не помещается в нашу? Нарисовать её карту, как рисуют карту Земли. Самая удобная карта придумана Анри Пуанкаре в 1882 году.

Модель Пуанкаре — карта плоскости Лобачевского внутри круга. Точки — точки внутри круга, край в плоскость не входит. Прямые — диаметры круга и дуги окружностей, перпендикулярных его краю. Углы между линиями на карте такие же, как на самой плоскости, а расстояния искажены: чем ближе к краю, тем сильнее сжаты.

Отражения в этой модели — инверсии относительно окружностей, на которых лежат её прямые; их обещала глава о симметрии. Инверсия сохраняет углы и переводит окружности, перпендикулярные краю, в такие же, так что прямые переходят в прямые. Расстояние от центра до точки карты, лежащей на расстоянии $r$ от центра, задаётся формулой модели.

Растёт от $1$ до $2$, пока точка карты идёт от центра к краю.

Стремится к нулю у края: знаменатель и делает край бесконечно далёким.

Пример: точка на полпути к краю, $r = 0{,}5$, находится на расстоянии $\ln 3 \approx 1{,}10$; при $r = 0{,}9$ — уже $\ln 19 \approx 2{,}94$, при $r = 0{,}99$ — $\ln 199 \approx 5{,}29$. До края не дойти никогда. Здесь кривизна плоскости равна $-1$; о кривизне — в записи шестой.

Запись четвёртая. Мир в круге

Поставим на карте прямую $a$ и точку $P$ вне её. Каждая прямая через $P$ либо пересекает $a$, либо нет, и граница между этими двумя семействами — две особые прямые, которые встречаются с $a$ только на краю круга, в бесконечно удалённых точках.

Поворачивайте прямую через $P$, двигая точку $Q$: оранжевая прямая пересекает $a$, синяя — нет. Две выделенные прямые — предельные параллельные, тонкие линии — часть бесконечного семейства прямых через $P$, которые с $a$ не встречаются.

Угол параллельности $\Pi(d)$ — угол между перпендикуляром, опущенным из точки $P$ на прямую $a$, и предельной параллельной через $P$, то есть прямой, которая встречается с $a$ только в бесконечно удалённой точке. Он зависит только от длины $d$ перпендикуляра.

На плоскости Лобачевского кривизны $-1$ угол параллельности на расстоянии $d$ удовлетворяет равенству $\operatorname{tg}\frac{\Pi(d)}{2} = e^{-d}$.

Угол между перпендикуляром к прямой и предельной параллельной.

Расстояние от точки до прямой.

Пример: при $d = 1$ получаем $\operatorname{tg}\frac{\Pi}{2} = e^{-1} \approx 0{,}368$ и $\Pi \approx 40{,}4^\circ$; при $d = 2$ — уже $15{,}4^\circ$. Вблизи прямой $\Pi(d)$ почти $90^\circ$, как у Евклида: в малом плоскость Лобачевского почти не отличить от обычной.

Расположим картинку удобно. Движением переведём прямую $a$ в горизонтальный диаметр, а основание перпендикуляра из $P$ — в центр модели. Тогда $P$ окажется на вертикальном радиусе: $P = (0;\,t)$.

Перпендикуляр из $P$ на $a$ — вертикальный радиус $PO$, его длина по формуле модели $d = \ln\frac{1 + t}{1 - t}$.

Предельная параллельная через $P$ идёт в конец $U = (1;\,0)$ прямой $a$. Это дуга окружности, перпендикулярной краю в точке $U$, поэтому радиус $ZU$ этой окружности касается края, и её центр $Z$ лежит на вертикали $x = 1$: $Z = (1;\,k)$.

Точка $P$ лежит на той же окружности: $ZP = ZU = k$, то есть $1 + (k - t)^2 = k^2$. Отсюда $k = \frac{1 + t^2}{2t}$.

Угол $\Pi$ — между направлением $PO$ вниз и касательной к дуге в $P$. Касательная перпендикулярна радиусу $ZP$, направленному вдоль $(-1;\,t - k) = \frac{1}{2t}(-2t;\,t^2 - 1)$, поэтому идёт вдоль $(1 - t^2;\,-2t)$. Значит, $\cos\Pi = \frac{2t}{1 + t^2}$ и $\sin\Pi = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.

По формуле половинного угла $\operatorname{tg}\frac{\Pi}{2} = \frac{\sin\Pi}{1 + \cos\Pi} = \frac{1 - t^2}{(1 + t)^2} = \frac{1 - t}{1 + t} = e^{-d}$.

Сколько прямых, не пересекающих прямую $a$, проходит на плоскости Лобачевского через точку $P$ вне её?

Аксиома Лобачевского требует хотя бы двух, а из неё следует, что их бесконечно много: каждая прямая через $P$, которая образует с перпендикуляром к $a$ угол от $\Pi(d)$ до $180^\circ - \Pi(d)$, с $a$ не встречается. Крайние из них — две предельные параллельные.

На каком расстоянии от прямой угол параллельности равен $60^\circ$ (кривизна $-1$)? Ответ можно записать через логарифм, например ln(2), или числом с тремя знаками после запятой.

По формуле Лобачевского $e^{-d} = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$, откуда $d = \ln\sqrt3 = \frac{\ln 3}{2} \approx 0{,}549$. Чем ближе точка к прямой, тем ближе угол параллельности к прямому.

В том же круге легко увидеть, почему треугольникам здесь не хватает углов.

Сумма углов любого треугольника на плоскости Лобачевского меньше $180^\circ$.

Хитрость в том, чтобы поставить одну вершину в центр модели: тогда две стороны станут прямыми отрезками, и треугольник можно сравнить с обычным.

Движения плоскости Лобачевского переводят любую точку в любую, поэтому пусть вершина $A$ — центр модели. Движения не меняют ни углов, ни длин, так что сумма углов останется прежней.

Стороны $AB$ и $AC$ лежат на диаметрах, то есть изображаются прямыми отрезками. Угол $\alpha$ между ними на карте такой же, как на самом деле.

Сторона $BC$ — дуга окружности с центром $Z$, перпендикулярной краю: $|Z|^2 = 1 + \rho^2$, где $\rho$ — радиус окружности. Для точек $X$ окружности $|X - Z|^2 = \rho^2$, откуда $X \cdot Z = \frac{1 + |X|^2}{2}$. Для середины $M$ хорды $BC$ получаем $M \cdot Z = \frac{2 + |B|^2 + |C|^2}{4} > \frac{|B|^2 + 2B \cdot C + |C|^2}{4} = |M|^2$, потому что $B \cdot C < 1$. Значит, $Z$ лежит за хордой $BC$, по другую сторону от $A$, и дуга $BC$ выгнута к $A$.

Поэтому дуга идёт внутри обычного треугольника $ABC$, и её касательные в точках $B$ и $C$ отклоняются от хорды внутрь. Углы $\beta$ и $\gamma$ меньше углов обычного треугольника с теми же вершинами (пунктир).

Угол при $A$ совпадает, а два других меньше, чем в обычном треугольнике, где сумма $180^\circ$. Значит, $\alpha + \beta + \gamma < 180^\circ$.

Вот и ответ на обещание главы о «Началах»: квадратов у Лобачевского нет.

На плоскости Лобачевского сумма углов четырёхугольника меньше $360^\circ$. В частности, нет четырёхугольников с четырьмя прямыми углами — ни прямоугольников, ни квадратов.

Разрежем четырёхугольник диагональю.

Диагональ $AC$ режет четырёхугольник $ABCD$ на треугольники $ABC$ и $ACD$.

Углы при $B$ и $D$ целиком достаются одному из треугольников, а углы при $A$ и $C$ диагональ делит на две части, по одной в каждом треугольнике. Поэтому сумма углов четырёхугольника равна сумме углов двух треугольников.

Каждая из этих сумм меньше $180^\circ$, значит, вместе меньше $360^\circ$. Четыре прямых угла дали бы ровно $360^\circ$. У четырёхугольника Саккери поэтому верхние углы острые — «гипотеза острого угла» оказалась правдой этого мира.

Тяните вершины треугольника: сумма углов всегда меньше $180^\circ$, а недостача и есть площадь. Переключитесь на замощения и тяните картинку — вы пойдёте по плоскости Лобачевского.

Запись пятая. Площадь — это недостача

Ламберт угадал: чем больше треугольник, тем больше ему не хватает до $180^\circ$, и недостача складывается, как площадь. Если разрезать треугольник на два отрезком из вершины, то два угла у основания отрезка вместе дают $180^\circ$, и недостачи частей в сумме равны недостаче целого.

Дефект треугольника на плоскости Лобачевского — недостача $\pi - (\alpha + \beta + \gamma)$. У треугольника могут быть и вершины на краю модели, в бесконечности; угол при такой вершине равен нулю. Треугольник, у которого все три вершины бесконечно удалены, называют идеальным.

На плоскости Лобачевского кривизны $-\frac{1}{R^2}$ площадь треугольника с углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ равна $S = (\pi - \alpha - \beta - \gamma)R^2$.

Угол при вершине $A$.

Угол при вершине $B$.

Угол при вершине $C$.

Сумма углов плоского треугольника; скобка — дефект.

Масштаб, связанный с кривизной $-\frac{1}{R^2}$; в модели Пуанкаре выше $R = 1$.

Пример: у треугольника с углами $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$ при $R = 1$ площадь $\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}79$. Площадь любого треугольника меньше $\pi R^2$ — столько у идеального, как бы далеко ни разбегались вершины. Формула та же, что на сфере, с противоположным знаком.

Доказательство Гаусса. Нам понадобятся три свойства модели: движения сохраняют площади; движением любую точку можно перевести в любую, а любые три бесконечно удалённые точки — в любые три; площадь идеального треугольника равна $\pi$ (её вычисление — в раскрывашке ниже).

Обозначим $\Delta(\theta)$ площадь треугольника с одной обычной вершиной, где угол равен $\pi - \theta$, и двумя бесконечно удалёнными. Все такие треугольники с одним $\theta$ равны: поставим обычную вершину в центр, стороны станут диаметрами под углом $\pi - \theta$, и третья сторона определена однозначно.

Возьмём идеальный треугольник и точку $P$ внутри и соединим $P$ с тремя бесконечными вершинами. Получатся три треугольника типа $\Delta$ с углами $\varphi_1 + \varphi_2 + \varphi_3 = 2\pi$ при $P$, то есть $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = 3\pi - 2\pi = \pi$. Значит, $\Delta(\theta_1) + \Delta(\theta_2) + \Delta(\theta_3) = \pi$ для любых положительных $\theta_i$ с суммой $\pi$. Для $u(\theta) = \Delta(\theta) - \theta$ это значит $u(\theta_1) + u(\theta_2) + u(\theta_3) = 0$. Сравнив тройки $(x, y, \pi - x - y)$ и $\bigl(\pi - x - y, \frac{x + y}{2}, \frac{x + y}{2}\bigr)$, получаем $u(x) + u(y) = 2u\bigl(\frac{x + y}{2}\bigr)$: непрерывная $u$ линейна, $u(\theta) = k\theta + m$. При $\theta \to 0$ треугольник сплющивается в прямую, и $u \to 0$, так что $m = 0$; тогда из первого равенства $k\pi = 0$. Получаем $\Delta(\theta) = \theta$.

Теперь треугольник $ABC$. Продолжим его стороны по кругу: $AB$ за $B$, $BC$ за $C$, $CA$ за $A$ — до края. Три бесконечно удалённые точки образуют идеальный треугольник, а он разрезан на $ABC$ и три треугольника типа $\Delta$: при вершине $A$ угол между продолжением $CA$ и стороной $AB$ равен $\pi - \alpha$, и так же при $B$ и $C$.

Складываем площади: $\pi = S + \Delta(\alpha) + \Delta(\beta) + \Delta(\gamma) = S + \alpha + \beta + \gamma$, то есть $S = \pi - \alpha - \beta - \gamma$. При кривизне $-\frac{1}{R^2}$ все площади умножаются на $R^2$.

Почему площадь идеального треугольника равна π

Удобнее считать в другой карте — верхней полуплоскости $y > 0$, где прямые — вертикальные лучи и полуокружности с центрами на оси $x$, а площадь элемента $dx\,dy$ равна $\frac{dx\,dy}{y^2}$ (в эту карту модель Пуанкаре переводит дробно-линейное отображение, сохраняющее углы). Все идеальные треугольники равны, поэтому возьмём треугольник с вершинами $-1$, $1$ и бесконечностью: над полуокружностью $x^2 + y^2 = 1$ между лучами $x = \pm 1$. Его площадь

$$\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1 - x^2}}^{\infty}\frac{dy}{y^2}\,dx = \int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin 1 - \arcsin(-1) = \pi.$$

В замощении $\{5, 4\}$ из виджета выше у каждой вершины сходятся четыре правильных пятиугольника, так что их углы прямые. Найдите площадь такого пятиугольника (кривизна $-1$; можно ответить через $\pi$).

Диагонали из одной вершины режут пятиугольник на три треугольника, и дефекты складываются: площадь равна $(5 - 2)\pi - 5 \cdot \frac{\pi}{2} = 3\pi - \frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571$. На обычной плоскости правильный пятиугольник с прямыми углами невозможен: там его углы равны $108^\circ$.

Теперь вернёмся к восьмиугольнику. Правильный восьмиугольник с углами $45^\circ$ на плоскости Лобачевского существует: такие восьмиугольники по восемь у каждой вершины замощают плоскость, их видно в виджете выше. Его площадь по той же формуле — дефект восьмиугольника, $(8 - 2)\pi - 8 \cdot \frac{\pi}{4} = 4\pi$. Склеив его стороны, получаем крендель, на котором действует геометрия Лобачевского. И площадь $4\pi$ равна $-2\pi\chi$ для кренделя с $\chi = -2$: это частный случай теоремы Гаусса — Бонне, которая связывает кривизну поверхности с её эйлеровой характеристикой.

Остался главный вопрос: вдруг в геометрии Лобачевского всё-таки прячется противоречие, просто очень далеко? В 1868 году Эудженио Бельтрами построил первую модель — внутри евклидовой геометрии, как модель Пуанкаре. Все аксиомы Лобачевского в модели выполняются, и если бы из них вывелось противоречие, оно перевелось бы в противоречие обычной евклидовой геометрии. Значит, пятый постулат не следует из остальных: две тысячи лет попыток доказать его были обречены. Модели Бельтрами развили Феликс Клейн (1871) и Пуанкаре (1882).

Целиком плоскость Лобачевского в наше пространство не помещается: в 1901 году Давид Гильберт доказал, что в нём нет гладкой поверхности постоянной отрицательной кривизны, по которой можно уйти сколь угодно далеко, не наткнувшись на край. Кусок же сделать можно, и связать тоже: в 1997 году латвийский математик Дайна Тайминя придумала, как вязать гиперболическую плоскость крючком, добавляя петли в каждом ряду, — получается гофрированная «капуста», похожая на коралл. А Мауриц Эшер по рисунку Гарольда Коксетера создал в 1958–1960 годах гравюры «Предел — круг», где рыбы, ангелы и черти одного размера мельчают к краю модели Пуанкаре. Похожие узоры строит слой «Гиперболические замощения» в «Узорах».

Запись шестая. Что чувствует муравей

Отличит ли муравей, живущий на поверхности, сферу от плоскости и от плоскости Лобачевского, не выходя наружу? Да: пусть он очертит окружность — отмерит от точки по всем направлениям одно и то же расстояние $r$ и посчитает длину получившейся линии. На плоскости выйдет $2\pi r$. На сфере радиуса $R$ точки на расстоянии $r$ от полюса лежат на параллели радиуса $R\sin\frac{r}{R}$, и длина меньше: $2\pi R\sin\frac{r}{R}$. На плоскости Лобачевского — больше: $2\pi R\operatorname{sh}\frac{r}{R}$. Для окружности радиуса $1000$ км на Земле недостача — около $26$ км из $6283$.

Гауссова кривизна поверхности в точке — число $K$, которое показывает, насколько окружности вокруг этой точки короче или длиннее плоских.

Длина окружности радиуса $r$ на плоскости.

Длина окружности радиуса $r$ на поверхности — всех точек на расстоянии $r$ от данной, если мерить по поверхности.

Недостача растёт как куб радиуса; делим на него, чтобы получить число.

Пример: на сфере $2\pi r - 2\pi R\sin\frac{r}{R} \approx 2\pi R \cdot \frac{(r/R)^3}{6} = \frac{\pi r^3}{3R^2}$ (глава 30: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$), поэтому $K = \frac{1}{R^2}$. У плоскости $K = 0$, у плоскости Лобачевского $K = -\frac{1}{R^2}$. Формулу нашли Жозеф Бертран, Шарль Дигэ и Виктор Пюизё в 1848 году.

Главное открытие Гаусса — «замечательная теорема» (Theorema Egregium) 1827 года. Кривизну поверхности, лежащей в пространстве, можно посчитать и снаружи: взять в точке два главных направления изгиба и перемножить кривизны сечений вдоль них. Гаусс доказал, что это произведение совпадает с кривизной, которую муравей измеряет изнутри. Поэтому она не меняется, если поверхность изгибать, не растягивая. Из-за неё пиццу держат, согнув кусок поперёк: у плоского теста кривизна ноль, и если кусок изогнут в одном направлении, то в другом изгиба быть не может — кончик не обвиснет. По той же причине лист бумаги можно свернуть в трубку, но нельзя без складок обернуть вокруг мяча.

Никакой кусок сферы нельзя отобразить на плоскость так, чтобы все расстояния, измеренные по сфере, сохранились.

Сравним длины окружностей: на сфере они короче, чем на плоскости, а карта без искажений расстояний обязана сохранять и длины.

Возьмём точку $N$ на сфере радиуса $R$ и все точки на расстоянии $r$ от неё, если мерить по сфере. Они образуют окружность радиуса $R\sin\frac{r}{R}$ — на чертеже она видна сбоку, сплющенной. Её длина $2\pi R\sin\frac{r}{R}$.

Так как $\sin x < x$ при $x > 0$, эта длина меньше $2\pi r$.

Пусть карта сохраняет расстояния. Тогда окружность переходит в точки на расстоянии ровно $r$ от образа $N$, то есть на плоскую окружность радиуса $r$, причём разные точки — в разные. Непрерывный и взаимно однозначный образ окружности в окружности — вся окружность: иначе он был бы дугой, а окружность дуге не гомеоморфна (глава 57). Длина кривой — предел длин вписанных ломаных, а длины звеньев карта сохраняет. Значит, длина образа равна $2\pi R\sin\frac{r}{R}$.

Но длина плоской окружности радиуса $r$ равна $2\pi r$, а мы получили меньшее число. Противоречие.

Никакая карта куска сферы не сохраняет одновременно углы и отношения площадей.

Если карта сохраняет углы, то в каждой точке маленькие фигуры лишь поворачиваются и растягиваются в одно и то же число раз $k$ во всех направлениях (этим свойством конформных отображений мы пользовались в главе 34). Площади маленьких фигур умножаются на $k^2$. Если к тому же карта сохраняет отношения площадей, то $k^2$ одинаково во всех точках, и после изменения масштаба можно считать $k = 1$. Тогда маленькие отрезки сохраняют длину, а с ними длины всех кривых и все расстояния по поверхности. Это запрещает предыдущая теорема.

Картографы выбирают, чем пожертвовать. Французский картограф Николя Огюст Тиссо в 1859 году предложил рисовать на карте, во что превращаются одинаковые маленькие кружки на глобусе. На карте Меркатора (1569), сохраняющей углы, кружки остаются кружками, но к полюсам раздуваются: потому Гренландия выглядит соразмерной Африке, хотя меньше её примерно в $14$ раз. На равновеликой карте кружки сохраняют площадь, но сплющиваются.

Одинаковые кружки радиусом $7^\circ$ на глобусе и их изображения в четырёх проекциях. Тяните выделенный кружок: внизу видно, во сколько раз растянуты площади и на сколько искажены углы.

Запись седьмая. Часы на орбите

В 1915 году Альберт Эйнштейн закончил общую теорию относительности. В ней тяготение — искривление пространства-времени, и геометрия, которую Гаусс и Риман строили для поверхностей, стала языком физики. Разговор этот не отвлечённый: вы носите его следствие в кармане.

Спутники GPS летают на высоте около $20\,200$ км. Там тяготение слабее, чем у поверхности Земли, и часы на спутнике идут быстрее: за сутки они уходят вперёд примерно на $45$ микросекунд. Из-за скорости спутника, около $3{,}9$ км/с, по специальной теории относительности они отстают примерно на $7$ микросекунд. Итог — около $38$ микросекунд в сутки. Свет за это время проходит около $11$ км, и без поправки ошибка определения места накапливалась бы примерно на $10$ км в сутки. Поэтому эталонную частоту часов на спутниках заранее занижают: $10{,}22999999543$ МГц вместо $10{,}23$ МГц, и на орбите они идут в ногу с земными.

Пятый постулат — не теорема, а выбор. Уберите его, и останутся три самостоятельные геометрии: плоскость, сфера и плоскость Лобачевского. Их различает кривизна, которую можно измерить изнутри: по сумме углов треугольника или по длине окружности.

Куда дальше

У плоскости Лобачевского есть свойство, которого нет у сферы: близкие прямые разбегаются. Выпустите из одной точки две прямые под малым углом: на плоскости расстояние между ними растёт пропорционально пройденному пути, а у Лобачевского — экспоненциально. В 1898 году Жак Адамар изучал бильярдные шары, катящиеся по поверхностям отрицательной кривизны, и понял, что крошечная ошибка в направлении удара быстро делает путь шара непредсказуемым. Правила движения простые и точные, а предсказать далёкое будущее нельзя. Это была первая хаотическая система в математике. Почему так бывает и с погодой, и с населением кроликов, и с двойным маятником — в следующей главе.