Часть VIII · Основания Глава 52 из 60
Бесконечности
Три собеседника Галилея спорят, чего больше: натуральных чисел или точек на отрезке. По дороге им попадутся гостиница, где всегда есть свободный номер, диагональ Кантора и башня бесконечностей без верхнего этажа.
Опирается на: 51 · Логика и множества
Вы научитесь
- доказывать, что множество счётно, и строить явную нумерацию
- объяснить диагональный аргумент Кантора и почему точек на отрезке больше, чем натуральных чисел
- сравнивать мощности множеств с помощью теоремы Кантора — Бернштейна
- понимать, почему нет самой большой бесконечности и что значит независимость континуум-гипотезы
4Чего больше: натуральных чисел или точек на отрезке?
Прошлая глава кончилась странностью. Сдвиг $n \mapsto n + 1$ укладывает все натуральные числа в их собственную часть $\{2, 3, 4, \dots\}$, не потеряв и не склеив ни одного. С конечными множествами так не бывает: там инъекция в множество того же размера обязана быть биекцией. Можно ли тогда вообще сравнивать бесконечности? Это четвёртый большой вопрос курса: чего больше — натуральных чисел или точек на отрезке?
Всерьёз его первым задал Галилео Галилей. В 1638 году в Лейдене вышла его последняя книга, «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук». Галилей писал её под домашним арестом в Арчетри и, как прежде «Диалог о двух главнейших системах мира», построил её как разговор трёх друзей. Сальвиати говорит за автора, Сагредо — умный и увлекающийся слушатель, Симпличио защищает Аристотеля и здравый смысл. Беседуют они о прочности балок и падении тел, но в первый день Сальвиати отвлекается на загадку о числах. Дадим им договорить. Одна вольность: пусть на столе у Сальвиати лежат работы Георга Кантора, написанные через двести пятьдесят лет. Начало разговора пересказано близко к Галилею, продолжение придумано, а математика в нём настоящая.
День первый. Квадраты и корни
Сальвиати. Квадратами мы зовём числа $1, 4, 9, 16, \dots$ — произведения числа на само себя. Все остальные числа не квадраты. Каких чисел больше: всех вместе или одних квадратов?
Симпличио. Всех, конечно. Квадраты — лишь часть чисел, а целое больше части. Так сказано ещё у Евклида.
Сальвиати. И чем дальше, тем квадраты реже. Среди первых ста чисел их десять, среди первых десяти тысяч — сто, среди первого миллиона — тысяча: доля падает с десятой до тысячной. Но спрошу иначе: сколько на свете квадратов? У каждого квадрата есть свой корень, у каждого корня — свой квадрат, и ни у одного квадрата нет двух корней. Значит, квадратов столько же, сколько корней. А корни — это все числа.
Сагредо. Выходит, квадратов и меньше всех чисел, и столько же. Что же из этого заключить?
Я не вижу другого решения, кроме как признать: всех чисел бесконечно много, квадратов бесконечно много, и корней их бесконечно много; количество квадратов не меньше количества всех чисел, а последнее не больше первого. И в конце концов, признаки «равно», «больше» и «меньше» неприложимы к бесконечным количествам, а только к конечным.
Сальвиати. Так я думал тогда. Но Кантор, в чьи бумаги я теперь заглядываю, поступил наоборот: не запретил сравнение, а принял его определение всерьёз. Вспомните пастуха, который не умеет считать. Утром он кладёт в мешок по камешку за каждую выпущенную овцу, вечером вынимает по камешку за каждую вернувшуюся. Если камешки и овцы кончились одновременно, их поровну, и никаких чисел не понадобилось.
Сагредо. Пары вместо счёта. И для бесконечных стад это тоже годится.
Множества $A$ и $B$ называют равномощными и пишут $|A| = |B|$, если между ними есть биекция. То общее, что есть у всех равномощных друг другу множеств, называют их мощностью. Для конечного множества мощность — это просто число элементов.
Множество квадратов $\{1, 4, 9, 16, \dots\}$ равномощно множеству $\mathbb N$ всех натуральных чисел.
Нужно предъявить биекцию. Её предложил сам Сальвиати: каждому числу — его квадрат.
Симпличио. Но тогда часть равна целому! Это же нелепость.
Сальвиати. Нелепость для конечных множеств — там это теорема из прошлой главы. Для бесконечных это их отличительная черта. Рихард Дедекинд в 1888 году так и определил: множество бесконечно, если оно равномощно какой-то своей части, не совпадающей с ним самим. Аксиома Евклида о целом и части верна для отрезков и фигур, а к множествам точек её применять нельзя.
Если «иметь поровну элементов» — разумное понятие, оно должно вести себя как равенство. Так и есть.
Равномощность рефлексивна, симметрична и транзитивна, то есть это отношение эквивалентности.
Идея: тождественное отображение, обратное к биекции и композиция биекций — снова биекции.
Рефлексивность: отображение $a \mapsto a$ — биекция $A$ на себя. Симметричность: если $f\colon A \to B$ — биекция, у неё есть обратное $f^{-1}\colon B \to A$, и оно тоже биекция, потому что его обратное — $f$ (теорема об обратимости). Транзитивность: пусть $f\colon A \to B$ и $g\colon B \to C$ — биекции. Композиция $g \circ f$ инъективна: из $g(f(a)) = g(f(a'))$ по инъективности $g$ следует $f(a) = f(a')$, а отсюда $a = a'$. И сюръективна: для $c \in C$ найдётся $b$ с $g(b) = c$, а для этого $b$ — такой $a$, что $f(a) = b$; тогда $g(f(a)) = c$.
День второй. Гостиница, где всегда есть место
Сагредо. Я слышал, что Давид Гильберт в лекции 1924 года рассказывал о гостинице с бесконечным числом номеров $1, 2, 3, \dots$ Все они заняты, и приходит новый гость.
Симпличио. Мест нет. Всё занято — значит, всё занято.
Сальвиати. А портье просит каждого гостя перейти из номера $n$ в номер $n + 1$. Никто не остался без комнаты, никто не делит её с соседом, а первый номер свободен.
Сагредо. А если подъедет автобус, в котором пассажиров столько же, сколько номеров?
Сальвиати. Тогда гость из номера $n$ переезжает в номер $2n$, и все нечётные номера освобождаются. Пассажир с местом $k$ получает номер $2k - 1$. А если автобусов бесконечная колонна, поможет формула, которую мы сейчас выведем. Историю о гостинице, кстати, прославил не Гильберт, а физик Георгий Гамов: он пересказал её в книге «Раз, два, три… бесконечность» (1947).
Множество называют счётным, если оно равномощно $\mathbb N$: его элементы можно выписать в последовательность $a_1, a_2, a_3, \dots$, где каждый встречается ровно один раз. Мощность счётного множества Кантор в 1895 году обозначил $\aleph_0$ — «алеф-нуль», по первой букве еврейского алфавита. Бесконечное множество, которое не счётно, называют несчётным.
Чётные числа, квадраты, степени двойки — счётные множества: нумерация готова. Целые числа тоже, хотя бесконечны в обе стороны: список $0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots$ никого не пропускает, и число $k > 0$ стоит в нём на месте $2k$, а число $-k$ — на месте $2k + 1$. Гостиница, в которой уже живут все натуральные числа, вмещает и пары. Это главный инструмент дня.
Множество $\mathbb N \times \mathbb N$ всех пар натуральных чисел счётно.
Хитрость в том, чтобы обходить таблицу не по строкам — первая строка никогда не кончится, — а по коротким диагоналям.
Какой номер получает пара $(2, 5)$ при обходе по диагоналям?
$p + q = 7$, на шести предыдущих диагоналях $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ пар, а на своей диагонали пара $(2, 5)$ вторая. Номер $15 + 2 = 17$. По формуле: $c(2, 5) = \frac{6 \cdot 5}{2} + 2 = 17$.
Дальше понадобится простая, но полезная лемма.
Любое бесконечное подмножество счётного множества счётно.
Идея: пройти по списку исходного множества и перенумеровать только те элементы, которые лежат в подмножестве.
Пусть $A = \{a_1, a_2, a_3, \dots\}$ — счётное множество, а $B \subset A$ бесконечно. Идём по списку $a_1, a_2, \dots$ и выписываем подряд те элементы, которые принадлежат $B$: первый встреченный получает номер $1$, следующий — $2$ и так далее. Каждый элемент $B$ стоит в списке $A$ на каком-то конечном месте, поэтому получит номер. Разные элементы получат разные номера. А номера не кончатся, потому что $B$ бесконечно. Это биекция между $\mathbb N$ и $B$.
Множество $\mathbb Q$ рациональных чисел счётно.
Идея: дробь — это пара чисел, а пар счётное множество.
Каждое положительное рациональное число единственным образом записывается несократимой дробью $\frac pq$ (глава 5). Сопоставим ему пару $(p, q)$. Разные числа получают разные пары, поэтому положительные рациональные числа равномощны бесконечному подмножеству $\mathbb N \times \mathbb N$ — тому, где $p$ и $q$ взаимно просты. По лемме оно счётно: $r_1, r_2, r_3, \dots$ Весь $\mathbb Q$ выпишем списком $0, r_1, -r_1, r_2, -r_2, \dots$, как выписывали целые числа.
Этот список — не единственный. В главе о дробях дерево Штерна — Броко содержало каждую положительную дробь ровно по одному разу, и достаточно читать его этаж за этажом, слева направо: этажи конечны, и до любой дроби очередь дойдёт.
Сагредо. Дроби стоят на прямой так густо, что между любыми двумя есть третья, а занумеровать их всё равно можно. А корни уравнений?
Сальвиати. Тоже. Это первое, что Кантор доказал о бесконечностях, в статье 1874 года.
Множество всех алгебраических чисел — корней многочленов с целыми коэффициентами, не равных тождественно нулю, — счётно.
Идея: каждому многочлену приписать натуральное число — «высоту» — так, чтобы многочленов каждой высоты было конечное число, и выписывать корни по высотам.
У многочлена $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ степени $n \ge 1$ с целыми коэффициентами и $a_n \ne 0$ назовём высотой число $h = n + |a_n| + \dots + |a_0|$. Многочленов данной высоты $h$ конечное число: степень не больше $h$, и каждый коэффициент — целое число от $-h$ до $h$. У каждого из них не больше $n$ корней (глава 14). Выпишем сначала корни всех многочленов высоты $2$, затем высоты $3$ и так далее, пропуская числа, которые уже встречались. На каждой высоте выписывается конечное число корней, поэтому любое алгебраическое число — корень некоторого многочлена некоторой высоты — рано или поздно получит номер. Получился список всех алгебраических чисел; он бесконечен, потому что в нём есть все целые числа.
Например, высоту $2$ имеют только многочлены $\pm x$ с корнем $0$. Высоту $3$ — многочлены $\pm 2x$, $\pm x \pm 1$ и $\pm x^2$, и новых корней у них два: $1$ и $-1$. На высоте $4$ появляются $\pm\frac12$ и $\pm 2$ — корни многочленов вроде $2x - 1$ и $x - 2$, — а заодно мнимые $\pm i$, корни $x^2 + 1$. Первые иррациональные числа приходят на высоте $5$: многочлен $x^2 - 2$ даёт $\pm\sqrt2$, а $x^2 - x - 1$ — золотое сечение $\frac{1 + \sqrt5}{2}$ и его пару $\frac{1 - \sqrt5}{2}$.
Симпличио. Вот видите. Числа, квадраты, дроби, корни — всё выстраивается в одну очередь. Значит, бесконечность одна, и прав был Галилей: сравнивать нечего.
Сальвиати. Приходите завтра со списком всех точек отрезка.
День третий. Диагональ
Симпличио. Принёс. Каждая точка отрезка — десятичная дробь $0{,}d_1 d_2 d_3 \dots$, и в моём списке они все.
Сальвиати. Прекрасно. Посмотрим на первую цифру первого числа, вторую цифру второго, третью цифру третьего — на диагональ. Я напишу число, у которого $k$-я цифра отличается от $k$-й цифры $k$-го числа вашего списка. Если там пятёрка, пишу четвёрку, иначе пишу пятёрку. С первым числом ваше расходится в первой цифре, со вторым — во второй, с каждым — хоть в одной.
Интервал $(0;\,1)$ несчётен: никакая последовательность $x_1, x_2, x_3, \dots$ не содержит всех его точек.
Будем доказывать сильнее: для любого списка чисел из $(0;\,1)$ предъявим число из $(0;\,1)$, которого в списке нет.
Самое убедительное в этом доказательстве — что его нельзя «починить». Добавьте найденное число в список, и диагональ сдвинется: получится новое число, которого нет в новом списке.
Почему тот же диагональный приём не доказывает, что несчётно множество рациональных чисел интервала $(0;\,1)$?
Диагональ строит число, которого нет в списке, но ничто не обещает, что это число — дробь. Для списка всех дробей из $(0;\,1)$ оно обязательно окажется иррациональным: ведь все дроби в списке есть. Противоречие появляется, только когда список обязан содержать все числа того вида, который выдаёт диагональ, — например, все точки интервала.
Интервал $(0;\,1)$ — только кусочек прямой, но точек в нём столько же, сколько на всей прямой. Это видно на картинке.
Интервал $(0;\,1)$ равномощен всей числовой прямой $\mathbb R$.
Хитрость в том, чтобы согнуть интервал в полуокружность и спроецировать её на прямую из центра.
Мощность множества $\mathbb R$ действительных чисел называют континуумом и обозначают готической буквой $\mathfrak c$. Отрезок, интервал, вся прямая — множества мощности континуум.
Точек на отрезке больше. Натуральных чисел счётное множество, мощности $\aleph_0$, а точек отрезка — континуум $\mathfrak c$. Любое натуральное число можно отправить в свою точку отрезка, но никакое сопоставление не покроет все точки: диагональ Кантора всегда найдёт непокрытую. Дробей и даже алгебраических чисел на отрезке столько же, сколько натуральных, а всех точек — больше.
Трансцендентные числа существуют, и их множество несчётно.
Идея: если бы трансцендентных чисел было не больше чем счётно, вся прямая оказалась бы объединением двух счётных списков.
Предположим, трансцендентные действительные числа образуют конечный или счётный список $t_1, t_2, \dots$ Действительные алгебраические числа — бесконечное подмножество счётного множества алгебраических, поэтому по лемме тоже счётны: $a_1, a_2, \dots$ Каждое действительное число либо алгебраическое, либо трансцендентное, так что список $a_1, t_1, a_2, t_2, \dots$ (когда список $t$ кончится, продолжаем одними $a$) содержит все действительные числа. Это противоречит несчётности $\mathbb R$.
Сагредо. Какой удивительный способ доказывать существование! Жозефу Лиувиллю в 1844 году пришлось строить трансцендентное число руками, Шарль Эрмит в 1873-м доказывал трансцендентность $e$ многими страницами выкладок. А тут доказано, что почти все числа трансцендентны, и ни одно не названо.
Сальвиати. Как в той истории про $\sqrt2^{\sqrt2}$ из прошлой главы: знать, что клад есть, не значит знать, где он зарыт. Хотя диагональ, если подумать, — вполне конкретный рецепт: дайте список алгебраических чисел, и она вычислит цифру за цифрой число, которого в нём нет.
День четвёртый. Башня без верхнего этажа
Симпличио. Хорошо, бесконечностей две: счётная и континуум. Континуум — последняя. Больше, чем точек на прямой, быть уже ничего не может.
Сальвиати. Возьмите любое множество $A$ и составьте множество всех его подмножеств, $\mathcal P(A)$. Для трёх элементов $\{1, 2, 3\}$ подмножеств восемь: $\varnothing$, три одноэлементных, три двухэлементных и само множество. Для $n$ элементов их $2^n$ — каждый элемент либо берём, либо нет. Для бесконечных множеств $\mathcal P(A)$ тоже всегда больше, чем $A$.
Множество подмножеств $\mathcal P(A)$ состоит из всех подмножеств $A$, включая $\varnothing$ и само $A$. Мощности сравнивают так: $|A| \le |B|$, если есть инъекция $A \to B$, и $|A| < |B|$, если $|A| \le |B|$, но биекции между $A$ и $B$ нет.
Для любого множества $A$ никакое отображение $f\colon A \to \mathcal P(A)$ не сюръективно. Поэтому $|\mathcal P(A)| > |A|$.
Это снова диагональ. Запишем, какие элементы лежат в каком подмножестве, таблицей из единиц и нулей — и перевернём её диагональ.
Множество $D$ — родственник множества Рассела из прошлой главы: «те, кто не содержит себя». Кантор сам заметил в 1899 году, что его теорема не даёт существовать «множеству всех множеств»: у такого множества $V$ подмножеств было бы больше, чем элементов, хотя каждое подмножество — тоже множество и лежит в $V$.
$A$ — часть множества $B$, не совпадающая с ним. Что можно сказать о мощностях?
Тождественное вложение — инъекция, поэтому $|A| \le |B|$. Строгого неравенства часть не гарантирует: квадраты — часть $\mathbb N$, интервал $(0;\,1)$ — часть прямой, а мощности равные. Строго больше становится, когда берут все подмножества.
Сагредо. Постойте. Мы нашли две инъекции — части в целое и целого в часть, как с интервалом и прямой. Всегда ли из этого следует, что мощности равны? Для чисел $a \le b$ и $b \le a$ дают $a = b$, но биекцию ведь ещё надо построить.
Сальвиати. Всегда. Кантор это утверждал, но доказать не смог. В 1897 году доказательство нашёл девятнадцатилетний Феликс Бернштейн, студент его семинара в Галле; Дедекинд доказал то же самое ещё в 1887-м, но не опубликовал.
Если есть инъекции $f\colon A \to B$ и $g\colon B \to A$, то есть и биекция между $A$ и $B$. Иначе говоря, из $|A| \le |B|$ и $|B| \le |A|$ следует $|A| = |B|$.
Идея: пройти от каждого элемента по стрелкам назад, к его «предкам», и по тому, где цепочка предков обрывается, решить, какой стрелкой его сочетать.
Теорема сразу окупается. Посмотрим, сколько подмножеств у натурального ряда.
$|\mathcal P(\mathbb N)| = |\mathbb R|$.
Идея: построить две инъекции, в одну сторону через десятичные дроби, в другую — через двоичные, и сослаться на теорему Кантора — Бернштейна.
Подмножеству $S \subset \mathbb N$ сопоставим число, у которого $k$-я цифра после запятой в десятичной записи равна $1$ при $k \in S$ и $0$ иначе. Цифры такого числа — только нули и единицы, девяток нет, поэтому его десятичная запись единственна, и разные подмножества дают разные числа: это инъекция $\mathcal P(\mathbb N) \to [0;\,1]$. В обратную сторону: числу $x \in [0;\,1)$ сопоставим множество номеров единиц в его двоичной записи, выбрав запись, которая не кончается бесконечным хвостом единиц. У разных чисел такие записи разные, и это инъекция $[0;\,1) \to \mathcal P(\mathbb N)$. По теореме Кантора — Бернштейна $|\mathcal P(\mathbb N)| = |[0;\,1)|$. Наконец, $(0;\,1) \subset [0;\,1) \subset \mathbb R$, а $(0;\,1)$ равномощен $\mathbb R$; вложения дают инъекции в обе стороны, и ещё раз по той же теореме $|[0;\,1)| = |\mathbb R|$.
Сагредо. А квадрат? В квадрате точек, наверное, континуум в квадрате, то есть больше.
Сальвиати. Кантор тоже так думал и три года пытался это доказать. А в июне 1877 года написал Дедекинду, что доказал обратное, и добавил по-французски: «Je le vois, mais je ne le crois pas» — «Вижу, но не верю». Возьмите точку $(x;\,y)$ квадрата, где $0 \le x < 1$ и $0 \le y < 1$, с десятичными записями $x = 0{,}x_1 x_2 x_3 \ldots$ и $y = 0{,}y_1 y_2 y_3 \ldots$ без хвостов из девяток и перемешайте цифры: $0{,}x_1 y_1 x_2 y_2 x_3 y_3 \ldots$ По этому числу обе координаты восстанавливаются, и хвоста из девяток у него нет. Это инъекция квадрата в отрезок, а отрезок вкладывается в квадрат как одна его сторона. Дальше работает теорема Кантора — Бернштейна: точек в квадрате столько же, сколько на отрезке. И в кубе, и в пространстве любой размерности.
Симпличио. Но тогда нет разницы между линией и плоскостью!
Сальвиати. По числу точек — нет. Разница в том, как точки расположены: непрерывной биекции между отрезком и квадратом не существует. Размерность — свойство не мощности, а формы, и о ней расскажет глава о топологии.
Теперь видна вся лестница. Начнём с $\aleph_0$ и будем брать множество подмножеств: $\aleph_0 < 2^{\aleph_0} = \mathfrak c < 2^{\mathfrak c} < 2^{2^{\mathfrak c}} < \dots$ Множество всех функций из $\mathbb R$ в $\mathbb R$ уже на втором этаже: его мощность $2^{\mathfrak c}$. Каждый этаж строго выше предыдущего по теореме Кантора, и последнего этажа нет.
День пятый. Пыль
Сагредо. Счётное множество тоньше континуума. Выходит, если выбросить из отрезка почти всю длину, останется что-то счётное?
Сальвиати. Проверим. Выбросим из отрезка $[0;\,1]$ среднюю треть — интервал $(\frac13;\,\frac23)$. Из каждого из двух оставшихся отрезков снова выбросим среднюю треть, и так без конца. То, что уцелеет, Кантор описал в 1883 году; похожие множества до него строили Генри Смит и Вито Вольтерра.
Канторово множество — точки отрезка $[0;\,1]$, которые остаются после бесконечного повторения этой операции. После $n$ шагов от отрезка остаются $2^n$ отрезков длины $\frac1{3^n}$.
Сумма длин выброшенных интервалов равна $1$, а само канторово множество $C$ равномощно отрезку: $|C| = \mathfrak c$.
Идея: длину сосчитать геометрической прогрессией, а мощность — через троичную запись: точки $C$ записываются одними нулями и двойками, и если двойки заменить единицами, получится двоичная запись любой точки отрезка.
Длина. На шаге $k$ выбрасываются $2^{k-1}$ интервалов длины $\frac{1}{3^k}$, всего $\frac{2^{k-1}}{3^k}$. Сумма по всем шагам — геометрическая прогрессия с первым членом $\frac13$ и знаменателем $\frac23$ (глава 13): $\frac13 + \frac29 + \frac4{27} + \dots = \frac{1/3}{1 - 2/3} = 1$.
Мощность. Запишем точки отрезка в троичной системе: $x = 0{,}t_1 t_2 t_3 \ldots_3$, где $t_k \in \{0, 1, 2\}$. Первый шаг выбрасывает точки, у которых первая цифра обязана быть единицей, то есть интервал $(\frac13;\,\frac23)$. Точка пережила $k - 1$ шагов, если её первые $k - 1$ цифр можно выбрать из нулей и двоек, и $k$-й шаг выбрасывает те из них, у которых $k$-я цифра обязана быть единицей. Поэтому $C$ — это ровно точки, которые можно записать без единиц (у концов вроде $\frac13 = 0{,}1_3 = 0{,}0222\ldots_3$ такая запись есть). Запись из нулей и двоек у точки единственна. Сопоставим двоичной строке $b_1 b_2 b_3 \ldots$ точку $0{,}(2b_1)(2b_2)(2b_3)\ldots_3$ множества $C$. Разные строки дают разные точки, поэтому, выбрав у каждой точки отрезка одну двоичную запись, получим инъекцию $[0;\,1] \to C$. А $C \subset [0;\,1]$ — инъекция в обратную сторону. По теореме Кантора — Бернштейна $|C| = |[0;\,1]| = \mathfrak c$.
Канторово множество не содержит ни одного, даже крошечного, отрезка, его суммарная «длина» равна нулю, а точек в нём столько же, сколько на всей прямой. Число $\frac14 = 0{,}0202\ldots_3$ лежит в нём, хотя не служит концом ни одного из выброшенных интервалов. Что значит «длина ноль» для такого множества и как измерить длину странных множеств, объясняет глава о мере. А самоподобие — каждый кусок устроен как целое, только в три раза мельче — сделает канторово множество первым экспонатом главы о фракталах.
Какова суммарная длина отрезков, оставшихся после пяти шагов построения канторова множества? Ответ дайте дробью.
После пяти шагов остаются $2^5 = 32$ отрезка длины $\frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$, всего $\frac{32}{243} \approx 0{,}13$. Каждый шаг умножает длину на $\frac23$, и $\left(\frac23\right)^5 = \frac{32}{243}$.
День шестой. Вопрос без ответа
Сагредо. Между $\aleph_0$ и $\mathfrak c$ есть что-нибудь? Множество на прямой, которое больше счётного, но меньше континуума?
Сальвиати. Кантор в 1878 году предположил, что нет: любое бесконечное подмножество прямой либо счётно, либо равномощно всей прямой. Это континуум-гипотеза. Он искал доказательство до конца жизни. В 1900 году Давид Гильберт поставил её первой в своём списке проблем нового века.
Континуум-гипотеза — утверждение: не существует множества $X$, для которого $\aleph_0 < |X| < \mathfrak c$.
Ответ пришёл в два приёма и оказался таким, какого не ждал никто. В 1940 году Курт Гёдель показал, что континуум-гипотезу нельзя опровергнуть, пользуясь аксиомами ZFC из прошлой главы: он построил внутри теории множеств «мир», где выполнены все аксиомы и гипотеза тоже. В 1963 году Пол Коэн придумал метод форсинга и построил мир, где выполнены все аксиомы, а гипотеза ложна. Значит, и доказать её из ZFC нельзя. Оба результата верны при условии, что сама ZFC непротиворечива. За эту работу Коэн получил Филдсовскую премию 1966 года.
Симпличио. То есть вы не знаете ответа.
Сальвиати. Хуже и интереснее: мы знаем, что наши аксиомы его не знают. Утверждение о множествах точек прямой, которое принятые правила не решают ни в одну сторону. Можно добавить гипотезу к аксиомам, можно добавить её отрицание — оба пути свободны от противоречий, если противоречий нет в самой ZFC. Какие аксиомы считать верными, математики спорят до сих пор. А что в арифметике бывают истинные, но недоказуемые утверждения, объясняет глава о Гёделе.
Сагредо. Кантору, говорят, при жизни досталось за его бесконечности.
Сальвиати. Досталось. Леопольд Кронекер считал его теорию вредной, и многие коллеги соглашались. Но в 1926 году Гильберт написал фразу, которую с тех пор повторяют все: «Никто не изгонит нас из рая, который создал для нас Кантор».
Симпличио. Рай, где в гостинице всегда есть свободный номер. Пожалуй, я туда перееду — но из номера $n$ в номер $n + 1$ меня пусть не гоняют.
Домашнее задание Симпличио
Три уровня: найти номер в списке — целых чисел или гостей отеля; номер пары при обходе по диагоналям и пару по номеру; и узнать, какая бесконечность перед вами — конечная, счётная, континуум или ещё больше.
Куда дальше
Весь разговор держался на действительных числах. Мы брали десятичные записи, склеивали $0{,}4999\ldots$ и $0{,}5$, сжимали вложенные отрезки, называли прямую «множеством точек» — и ни разу не сказали, что такое действительное число. В главе 6 мы честно признали, что определение нестрогое: как складывать бесконечные записи, если переносы могут прийти «из бесконечности»? В XIX веке оказалось, что без строгого ответа анализ не удержать: существуют непрерывные функции, у которых нет производной ни в одной точке, и ряды непрерывных функций, сходящиеся к разрывной. Рихард Дедекинд в 1872 году построил действительные числа из дробей — разрезами прямой. Что такое действительное число и какие «очевидные» факты анализа пришлось доказывать заново — глава 53.