Передний край

Прошлая глава закончилась вопросом, на который никто не знает ответа: связно ли множество Мандельброта «в малом». Картинку можно нарисовать с любой точностью, а доказательства нет. Эта глава целиком состоит из таких мест — из края карты, за которым начинается неизвестное.

Курс начинался с ловушки: пять точек на окружности режут круг на 16 частей, шесть — на 31, хотя рука пишет 32. Из неё мы вынесли главное правило математики: сколько бы примеров ни подтверждало закономерность, это ещё не доказательство. Теперь, в конце, это правило видно в полную силу. Ниже гипотезы, проверенные на миллиардах миллиардов примеров и всё равно не доказанные, гипотезы, которые продержались десятилетия и рухнули, и доказательства, которые проверяет уже не только человек.

Глава устроена как карта неизведанного: сначала сама карта, потом три похода к её краю — к задаче для пятиклассника, к вопросу о том, что легче, найти или проверить, и к семи задачам на миллион. Потом о том, как математики работают сегодня. А в конце мы вернёмся к семи вопросам из первой главы и к карте всего курса.

Край карты

Открытая проблема — это утверждение, которое никто не сумел ни доказать, ни опровергнуть. Мы встречали их по дороге: гипотеза Гольдбаха в главе о простых числах, гипотеза Римана в главе 44, континуум-гипотеза в главе 52 (с ней, как выяснилось, случай особый). Математики умеют не только решать задачи, но и хорошо их ставить, и некоторые списки задач стали историческими событиями.

8 августа 1900 года на Международном конгрессе математиков в Париже Давид Гильберт прочитал доклад о задачах, которые достанутся новому веку. В докладе он успел рассказать о десяти, в напечатанном тексте их 23. Судьбы вышли разными. Третью, о разрезании многогранников, решил в том же 1900 году его ученик Макс Ден (глава 20). Седьмую, о трансцендентности чисел вроде $2^{\sqrt 2}$, — Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер в 1934–1935 годах. Десятую — Юрий Матиясевич в 1970 году, и ответ оказался отрицательным (глава 56). Первую, континуум-гипотезу, нельзя ни доказать, ни опровергнуть из обычных аксиом. А восьмая, куда входит гипотеза Римана, открыта до сих пор.

Через сто лет, 24 мая 2000 года, Математический институт Клэя объявил в Париже семь задач тысячелетия и назначил за каждую миллион долларов. Правила строгие: решение должно выйти в рецензируемом журнале, пройти не меньше двух лет и получить признание специалистов, и только тогда институт начинает его рассматривать.

Посмотрите на ползунок в положении 1900 и 2026. Больше всего островов появилось во второй половине XX века, и в их историях снова и снова повторяются три сюжета. Задачу решает новая теория, построенная совсем для другого, как модулярные формы для Великой теоремы Ферма. Задачу решает компьютер, перебрав огромное число случаев, как в задаче четырёх красок. Или задача оказывается не той, чем казалась: гипотезу опровергает пример, который никто не догадывался искать.

Задача для пятиклассника

Возьмите любое натуральное число. Если оно чётное, разделите пополам, если нечётное — умножьте на 3 и прибавьте 1. С результатом сделайте то же самое, и так далее. Из шестёрки получается $6 \to 3 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$, а дальше цикл $1 \to 4 \to 2 \to 1$. Немецкий математик Лотар Коллатц придумал эту игру в 1937 году и спросил: всегда ли она приходит к единице?

Число 27 делает 111 шагов и по дороге забирается до 9232, а 97, хоть и больше, делает 118 и поднимается до той же вершины. Из чисел до миллиона дольше всех идёт 837 799: 524 шага, с пиком почти в три миллиарда. На второй вкладке видно, что число шагов меняется от числа к числу беспорядочно, но облако точек расслоено на полосы. Полностью объяснить эти полосы никто не может.

Сколько шагов нужно числу 7, чтобы дойти до единицы?

$7 \to 22 \to 11 \to 34 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ — 16 шагов. По дороге число поднимается до 52.

Компьютеры проверили гипотезу для всех чисел до $2^{71} \approx 2{,}36 \cdot 10^{21}$: этот рекорд чешский учёный Давид Барина установил в январе 2025 года. Проверять каждое число честно, до самой единицы, было бы слишком долго. Проверщики пользуются простым наблюдением, и его стоит доказать: оно показывает, как математика превращает бесконечную проверку в конечную.

Идея: не вести каждое число до единицы, а только до первого меньшего числа — дальше его судьба уже известна.

Чётное число $n$ за один шаг превращается в $\frac n2 < n$. На чертеже — прыжок влево. Нечётное $n = 4k + 1$ превращается в $3n + 1 = 12k + 4$. Это прыжок далеко вправо. Число $12k + 4$ чётное, следующий шаг — $6k + 2$. И оно чётное: следующий шаг — $3k + 1$. При $k \ge 1$ это меньше $4k + 1 = n$: за три шага число опустилось ниже себя. Это пункт (б). С числами вида $4k + 3$ так не выходит. На чертеже это $n + 2 = 4k + 3$: первый шаг даёт $3(4k + 3) + 1 = 12k + 10$, второй — $6k + 5$, нечётное число, которое больше $4k + 3$, и траектория идёт дальше вверх. Такие числа и приходится проверять. Пункт (а) — индукция по $n$ (глава 13). Единица до единицы доходит. Пусть все числа меньше $n$ до неё доходят, а траектория $n$ опустилась до какого-то $m < n$. От $m$ дальше идёт траектория самого $m$, а она по предположению приходит к единице. Значит, приходит и $n$. Чтобы проверить гипотезу для всех $n \le N$, достаточно для каждого $n \equiv 3 \pmod 4$ из этого промежутка дождаться, когда траектория опустится ниже $n$. Уже этот шаг отсекает три четверти чисел; настоящие программы отсекают так почти все остальные, рассматривая остатки по модулю $2^{k}$ для больших $k$.

Почему же доказательства нет? Нечётный шаг умножает примерно на 3, чётный делит на 2, и если бы чётные и нечётные числа попадались как орёл и решка, в среднем за пару шагов число умножалось бы на $\frac34$ и быстро падало бы. Эта «вероятностная» картина объясняет, почему гипотеза выглядит верной, но ничего не доказывает: траектория одного числа — не монетка. Ближе всех к цели подошёл Теренс Тао. В 2019 году он доказал, что почти все траектории, в точном смысле плотности, опускаются ниже любой сколь угодно медленно растущей границы — например, ниже $\log\log\log\log n$. Почти все — не значит все. Есть и тревожный знак: в 1972 году Джон Конвей показал, что для некоторых похожих правил, где вместо «пополам» и «$3n + 1$» стоят другие линейные функции по остаткам, вопрос «придёт ли число к единице» алгоритмически неразрешим, в духе проблемы остановки. Говорят, Пал Эрдёш сказал о задаче Коллатца, что математика ещё не готова к таким вопросам.

Проверить легко, найти трудно

Вот игра на пару минут. Даны несколько чисел и цель. Нужно выбрать из них такие, чтобы сумма была ровно равна цели.

Если кто-то принесёт вам ответ, проверить его легко: сложить несколько чисел. А найти ответ самому трудно. У $n$ чисел $2^n$ подмножеств (глава 45), и с каждым новым числом их вдвое больше. Даже компьютер, проверяющий миллиард подмножеств в секунду, быстро сдаётся.

Перебор — не единственный способ. Есть хитрость, которая снимает с экспоненты половину.

Для ста чисел это $100 \cdot 2^{50} \approx 10^{17}$ действий вместо $10^{30}$: работы в десять триллионов раз меньше, но при миллиарде действий в секунду это всё ещё несколько лет. Никто не знает способа, который справлялся бы с задачей за время, растущее с $n$ как многочлен, а не как экспонента. Никто не доказал и того, что такого способа нет. Это и есть знаменитый вопрос.

Всякая задача из P лежит в NP: подсказка не нужна, можно просто решить. Вопрос в обратном: равны ли классы, $\mathrm P = \mathrm{NP}$? Его поставил Стивен Кук в 1971 году, независимо от него к тому же пришёл Леонид Левин в СССР. Но первым, кажется, об этом задумался Курт Гёдель: в письме Джону фон Нейману 20 марта 1956 года он спрашивал, можно ли находить доказательства теорем за время, растущее как $n$ или $n^2$ от их длины, и замечал, что тогда творческую работу математика можно было бы полностью заменить машиной.

Главное открытие Кука и Левина в том, что среди задач NP есть самые трудные: достаточно быстро решить одну из них, и быстро решаются все.

Доказательство требует точного определения алгоритма через машину Тьюринга (глава 56) и занимает несколько страниц, поэтому здесь примем теорему без доказательства. Идея такая. Задача из NP — это проверяющая машина, которая за полиномиальное число шагов читает вход и подсказку. Всю работу этой машины, клетку ленты за клеткой и шаг за шагом, можно записать формулой полиномиального размера: переменные говорят, какой символ стоит в какой клетке в какой момент, а формула требует, чтобы каждый шаг подчинялся программе и в конце машина сказала «да». Подсказка, которую машина примет, существует ровно тогда, когда формула выполнима. Полное доказательство есть, например, в учебнике Майкла Сипсера «Introduction to the Theory of Computation».

В 1972 году Ричард Карп показал, что ещё 21 знаменитая задача NP-полна: среди них задача о рюкзаке, частный случай которой — наша сумма подмножества, раскраска графа в три цвета (глава 46) и поиск гамильтонова цикла. Потом к ним добавились тысячи других, от расписаний до судоку произвольного размера. Все они — одна задача в разных костюмах: найдите быстрый алгоритм для любой, и $\mathrm P = \mathrm{NP}$.

Допустим, завтра докажут, что $\mathrm P \ne \mathrm{NP}$. Станет ли от этого доказуемо надёжным шифр RSA?

Да: разложение на множители — задача из NP, значит, оно трудное Нет: из $\mathrm P \ne \mathrm{NP}$ не следует, что трудно именно разложение на множители Нет: RSA сразу станет ненадёжным

Разложение на множители лежит в NP, но специалисты не верят, что оно NP-полно: у него особая структура. Поэтому оно может оказаться лёгким, даже если $\mathrm P \ne \mathrm{NP}$. Вот почему надёжность шифров из главы 41 держится не на теоремах, а на том, что никто не нашёл быстрого способа. В обратную сторону связь есть: если бы $\mathrm P = \mathrm{NP}$ и быстрый алгоритм был практичным, пала бы вся криптография с открытым ключом.

Семь задач на миллион

P против NP — одна из семи задач тысячелетия. Вот все семь, со статусом на сентябрь 2026 года.

Гипотеза Римана. В главе 44 мы видели, что простые числа распределены почти как случайные и что точность закона их распределения определяют нули дзета-функции. Гипотеза утверждает, что все нетривиальные нули лежат на прямой $\operatorname{Re} s = \frac12$, то есть что ошибка закона не больше, чем у честной случайности. Дэвид Платт и Тимоти Траджиан в 2021 году строго проверили её для всех нулей до высоты $3 \cdot 10^{12}$ — это больше двенадцати триллионов нулей. На гипотезе Римана держатся сотни теорем, доказанных в виде «если гипотеза верна, то…».

Уравнения Навье — Стокса (Навье, 1822; Стокс, 1845) описывают движение вязкой жидкости — воды в трубе, воздуха вокруг крыла. Физики и инженеры решают их на компьютерах каждый день, но математика не знает, всегда ли у трёхмерных уравнений есть гладкое решение или жидкость за конечное время может прийти в состояние с бесконечной скоростью, «взорваться». Постановка Клэя, которую написал Чарльз Фефферман, засчитывает любой из вариантов: доказательство гладкости или пример взрыва, в том числе при гладкой внешней силе. 8 сентября 2026 года компания OpenAI объявила, что её система из множества работающих вместе моделей ИИ нашла доказательство именно такого взрыва — при специально построенной внешней силе, — и проверила его в Lean. Работа опирается на подход, который до этого развивали Диего Кордоба и Луис Мартинес-Сороа; за сутки до OpenAI о похожих результатах для родственных уравнений объявили Тристан Бакмастер и Левент Альпёге. Институт Клэя назвал задачу, по-видимому, решённой, но рассматривать её будет, как положено, не спеша. Главный для физиков вопрос — может ли взорваться жидкость без внешней силы — остаётся открытым. К тому времени, как вы это читаете, картина может проясниться.

Янг — Миллс и щель масс. Квантовая теория полей Янга — Миллса (1954) лежит в основе Стандартной модели физики частиц и прекрасно подтверждается опытами. Но строгой математической теории таких полей в четырёхмерном пространстве-времени нет. Задачу сформулировали Артур Джаффе и Эдвард Виттен: построить такую теорию и доказать, что у её частиц есть наименьшая положительная масса.

Гипотеза Ходжа — о многомерных пространствах, заданных многочленами. Она утверждает, что определённые топологические «формы» в них — классы Ходжа — всегда собираются из кусков, тоже заданных многочленами. Это вопрос о том, насколько алгебра видит топологию.

Гипотеза Бёрча — Суиннертон-Дайера — об эллиптических кривых из главы 44. Бесконечно ли много рациональных точек у кривой и «насколько» много, по гипотезе, можно прочитать по её дзета-функции в точке $s = 1$. Брайан Бёрч и Питер Суиннертон-Дайер пришли к ней в начале 1960-х годов, считая точки на одном из первых компьютеров, EDSAC-2 в Кембридже. В простейших случаях — когда дзета-функция кривой обращается в точке $s = 1$ в нуль не выше первого порядка — гипотеза доказана (Гросс и Загир, 1986; Колывагин, 1989).

Гипотеза Пуанкаре — единственная решённая. Всякое замкнутое трёхмерное многообразие, в котором любую петлю можно стянуть в точку, — это трёхмерная сфера (глава 57). Григорий Перельман выложил доказательство в 2002–2003 годах, отказался от Филдсовской премии в 2006 году и от премии Клэя в 2010-м.

Как работают математики сегодня

Образ одинокого гения за столом верен лишь наполовину. Перельман действительно работал один, а Эндрю Уайлс семь лет втайне доказывал теорему Ферма. Но всё больше задач решают вместе, и не только с людьми.

Вместе

В январе 2009 года Тимоти Гауэрс спросил в своём блоге, возможна ли математика «массового сотрудничества», и предложил задачу. Десятки людей обсуждали её в комментариях, и за шесть недель нашли новое доказательство плотностной теоремы Хейлса — Джеветта; статью подписали коллективным псевдонимом D. H. J. Polymath. В 2013 году Итан Чжан доказал, что простых чисел, отстоящих друг от друга не больше чем на 70 миллионов, бесконечно много. Проект «Полимат» вместе с идеями Джеймса Мейнарда уменьшил 70 миллионов до 246 (глава 3). До двойки, то есть до гипотезы о близнецах, пока не дошли.

С компьютером

В 1976 году Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен доказали теорему о четырёх красках (глава 46), сведя её к проверке почти двух тысяч конфигураций, которую выполнил компьютер за больше чем тысячу часов работы. Многие математики были недовольны: доказательство, которое нельзя прочитать, казалось не вполне доказательством. В 1998 году Томас Хейлс доказал гипотезу Кеплера о плотнейшей укладке шаров, и снова с огромным перебором; рецензенты журнала после нескольких лет работы написали, что уверены в правильности на 99 процентов. Мы видели такие доказательства и в этом курсе: постоянную Фейгенбаума и аттрактор Лоренца в главе 59, пятого усердного бобра в главе 56.

С программой, которая проверяет

Ответом на сомнения стали программы, проверяющие доказательства целиком, от аксиом. Доказательство записывают на особом языке так, что каждый шаг — применение правила логики или уже проверенной теоремы, и программа принимает его, только если все шаги законны.

Вот как это выглядит в миниатюре. Числа строятся из нуля и операции «следующее число» $\mathrm S$, как в аксиомах Пеано (глава 56): $1 = \mathrm S(0)$, $2 = \mathrm S(\mathrm S(0))$. Сложение задано двумя правилами. Докажем, что $2 + 2 = 4$.

Четыре шага для $2 + 2 = 4$ выглядят смешно, но так устроена любая формальная проверка: большие теоремы состоят из тысяч лемм, леммы — из таких шагов, и машина проверяет каждый. Ложное утверждение она не примет, как ни старайся. Ошибиться может только тот, кто записал формулировку: машина докажет ровно то, что написано, поэтому людям остаётся проверить, что написано то, что имели в виду.

Систему Lean начал Леонардо де Моура в Microsoft Research в 2013 году. Сообщество математиков собрало для неё библиотеку mathlib, в которой уже сотни тысяч формально проверенных определений и теорем. В декабре 2020 года Петер Шольце, лауреат Филдсовской премии, предложил проверить в Lean главную теорему своей с Дастином Клаузеном новой теории, в которой сам не был полностью уверен. «Эксперимент с жидким тензором» завершили в июле 2022 года: теорема верна. В 2024 году Кевин Баззард начал пятилетний проект формализации доказательства Великой теоремы Ферма. А в сентябре 2026 года компания Anthropic сообщила, что её модель Claude за 11 дней, почти самостоятельно, построила первое полное компьютерно проверенное доказательство теоремы Ферма: около 13 миллионов строк на Lean и почти тридцать тысяч промежуточных теорем. Оно идёт историческим путём Уайлса и Тейлора, а не той обновлённой дорогой, которую прокладывает проект Баззарда, но без его заделов и без mathlib не обошлось бы. Баззард сам скомпилировал код и проверил: теорема Ферма выведена из одних стандартных аксиом.

С искусственным интеллектом

Ещё в 2024 году системы AlphaProof и AlphaGeometry 2 компании Google DeepMind набрали на задачах Международной математической олимпиады 28 баллов из 42, уровень серебряной медали. Задачи им переводили на язык Lean люди, и на некоторые ушли дни. В июле 2025 года модель Gemini Deep Think решила пять задач из шести олимпиады того года обычным языком, за положенные четыре с половиной часа, и координаторы олимпиады официально оценили решения на 35 баллов — уровень золотой медали. Экспериментальная модель OpenAI показала тот же результат по оценке бывших медалистов.

Олимпиадные задачи решены заранее, а исследовательские — нет. В 2025–2026 годах системы ИИ помогли закрыть ряд задач из собрания Пала Эрдёша: иногда находили забытое решение в литературе, иногда — новое доказательство, которое потом проверяли люди и программы вроде Lean. В мае 2026 года модель OpenAI опровергла гипотезу Эрдёша 1946 года о единичных расстояниях: Эрдёш считал, что среди $n$ точек плоскости пар на расстоянии ровно 1 бывает лишь чуть больше $n$, а модель нашла расстановки, где их порядка $n^{1 + c}$ с постоянным $c > 0$. Затем пришёл сентябрь 2026 года и заявка на задачу тысячелетия о Навье — Стокса.

Что это значит для математики, спорят сами математики. Теренс Тао сначала назвал новые результаты о взрыве замечательным достижением, но вскоре добавил, что метод OpenAI не переносится на аналитические, то есть «природные», внешние силы и что ИИ может менять математику не только к лучшему. Многих беспокоит и другое: ответы могут начать приходить раньше, чем люди успеют вынести из задач методы и понимание, которые обычно рождаются по дороге к ответу. Доказательство — не только сертификат истинности, но и объяснение, почему что-то верно. Спрашивать, какие вопросы интересны, и понимать ответы по-прежнему приходится людям.

Что открыли вчера

Кроме громких споров, у передового края есть тихие, уже проверенные победы. Несколько из последних лет.

В 2016 году Марина Вязовская доказала, что в восьмимерном пространстве плотнее всего шары укладываются по решётке $E_8$, а через несколько дней вместе с Генри Коном, Абхинавом Кумаром, Стивеном Миллером и Даниилом Радченко — что в 24-мерном лучшая укладка даёт решётка Лича. В трёхмерном пространстве та же задача — гипотеза Кеплера — потребовала компьютера и сотен страниц; в размерностях 8 и 24 Вязовская нашла короткое и красивое доказательство с помощью модулярных форм. В 2022 году она стала второй женщиной, получившей Филдсовскую премию.

В 2024 году группа под руководством Денниса Гайцгори и Сэма Раскина выложила доказательство геометрической гипотезы Ленглендса — пять статей почти на тысячу страниц. Это один из краеугольных камней программы Ленглендса, огромной сети гипотез, связывающих теорию чисел, симметрии и анализ.

В феврале 2025 года Хун Ван и Джошуа Заль доказали гипотезу Какеи в трёхмерном пространстве. Множество, содержащее отрезок длины 1 в каждом направлении, может иметь нулевой объём — это показал Абрам Безикович ещё в 1920-х годах, — но теперь известно, что его размерность всё равно равна трём: такое множество не может быть «тоньше» объёма. В 2026 году Хун Ван получила Филдсовскую премию вместе с Юй Дэном, Джоном Пардоном и Джейкобом Цимерманом.

А в октябре 2024 года Никита Гладков, Игорь Пак и Александр Зимин опровергли гипотезу о двухъярусной кровати (Питер Кастелейн, 1985). Она касалась случайных путей в графе и казалась настолько очевидной, что её пытались доказать почти сорок лет. Контрпример — граф с 7222 вершинами, а нарушение равно примерно $10^{-6500}$: ни один эксперимент его бы не заметил. Та же мораль, что у круга Мозера из первой главы, только с шестью с половиной тысячами нулей после запятой.

Семь ответов

В первой главе мы задали семь вопросов. Звучали они почти по-детски, а ответы потребовали всего курса. Вот они вместе.

Правило знаков — не договорённость. Если отрицательные числа подчиняются распределительному закону, иначе нельзя: из $0 = (-1)\bigl(1 + (-1)\bigr) = -1 + (-1)(-1)$ следует $(-1)(-1) = 1$ (глава 2). На плоскости умножение на $-1$ — разворот на $180^\circ$, и два разворота дают полный оборот (глава 15).

Ножницами — нельзя, даже по кривым (глава 20). Циркулем и линейкой построить равный кругу квадрат тоже нельзя: $\pi$ трансцендентно (глава 6, глава 43). А разрезать на конечное число кусков, которые не вырежешь ножницами, и сложить квадрат одними сдвигами можно: Лацкович, 1990, около $10^{50}$ кусков (глава 54).

Формулы в радикалах для уравнения пятой степени нет: Абель доказал это в 1824 году, а Галуа объяснил причину — перестановки пяти корней «запутываются» так, что никакое конечное число этажей радикалов их не распутает (глава 14, глава 43).

Точек на отрезке больше: натуральных чисел счётное множество, а точек отрезка — континуум, и диагональ Кантора всегда найдёт точку, которой не хватило номера (глава 52). Есть ли что-то между — вопрос, на который обычные аксиомы не отвечают.

Шифр держится на действиях, которые легко выполнить и, насколько известно, трудно обратить: возведение в степень по модулю против разложения на множители и дискретного логарифма (глава 41), умножение точки эллиптической кривой против логарифма на кривой (глава 44). «Насколько известно» — не оговорка: трудность обращения не доказана, и она упирается в вопросы того же рода, что P против NP.

Уравнения атмосферы детерминированы, но хаотичны: малые ошибки измерений растут экспоненциально, и каждая новая верная цифра продлевает прогноз лишь на фиксированный срок, а из-за движений всех масштабов предел около двух недель не отодвинуть никакой точностью (глава 31, глава 59).

Да. В любой непротиворечивой системе аксиом, которую можно выписать механически и в которой есть арифметика, найдутся истинные, но недоказуемые в ней утверждения о числах (Гёдель, 1931; глава 56). Недоказуемость относительна системе аксиом: новая аксиома закрывает старую дыру и открывает новую.

Конечная

На главной странице курс нарисован как схема метро: десять линий, 61 станция, пересадки там, где идея одной части работает в другой. Вот та же схема в последний раз, со всем, что вы прочитали. Станция «Передний край» — конечная курса, но не линии: пути идут дальше, в области, куда учебник уже не помещается.

Что читать дальше

Если курс понравился, вот с чего продолжить. Книги — для разных уровней, все существуют и переведены на русский, кроме отмеченных.

• Рихард Курант, Герберт Роббинс, «Что такое математика?» — классика, на которую равнялся этот курс.
• Яков Перельман, «Живая математика» и Мартин Гарднер, «Математические головоломки и развлечения» — чтобы не терять лёгкости.
• Владимир Арнольд, «Задачи для детей от 5 до 15 лет» — короткие задачи, над которыми думают и взрослые.
• Иэн Стюарт, «Величайшие математические задачи» — открытые и недавно решённые проблемы, популярно и точно.
• Саймон Сингх, «Великая теорема Ферма» и Джон Дербишир, «Простая одержимость» — истории теоремы Ферма и гипотезы Римана.
• Джеймс Глик, «Хаос. Создание новой науки» и Бенуа Мандельброт, «Фрактальная геометрия природы» — к главе 59.
• Дуглас Хофштадтер, «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» — к главе 56.
• Стивен Строгац, «Nonlinear Dynamics and Chaos» и «The Princeton Companion to Mathematics» под редакцией Тимоти Гауэрса — на английском; первая — учебник для студентов, вторая — энциклопедия всей современной математики, написанная самими математиками.
• Natural Number Game (Кевин Баззард и соавторы) и Mathematics in Lean (Джереми Авигад и Патрик Массо) — бесплатные онлайн-курсы на английском, где сложение из аксиом Пеано доказывают в Lean, как в виджете выше.
• Сайты «Математические этюды» (etudes.ru) и «Задачи» (problems.ru), видео 3Blue1Brown — для глаз и для рук.

Куда дальше

Следующей главы нет: эта — последняя. Но курс не кончается. В каталоге тем главы можно отобрать по теме и уровню и пройти курс заново другой дорогой, например только по доказательствам или только по приложениям. Решатели разберут по шагам вашу собственную задачу — от квадратного уравнения и производной до собственных чисел матрицы. Тренажёры, как сумма подмножества из этой главы, придумывают задачи без конца и принимают ответ в любой верной форме. А если хочется начать сначала, первая глава ждёт с тем же вопросом: сколько частей получится, если точек на окружности шесть? Теперь вы знаете, почему 31, и знаете, что за этим числом стоит вся математика: заметить, усомниться и доказать.