Конические сечения

Прошлая глава закончилась обещанием: рассечь конус плоскостью. Сделать это можно прямо сейчас, не выходя из комнаты. Включите фонарик и посветите на стену. Свет выходит из лампочки расходящимся конусом, а стена его режет. Направьте фонарик прямо на стену — пятно будет круглым. Наклоните его — пятно вытянется в овал. Наклоняйте дальше, и в какой-то момент дальний край пятна убежит в бесконечность: граница света станет незамкнутой кривой. А вечером посмотрите на стену рядом с торшером. Абажур выпускает свет вверх и вниз двумя конусами, и на стене они рисуют две кривые, которые смотрят в разные стороны.

Круг, овал, незамкнутая дуга и пара дуг — это кривые, которые древние греки назвали коническими сечениями. Ими занимались из чистого любопытства, без всякой пользы, почти две тысячи лет. А потом оказалось, что по этим кривым летают планеты, что ими собирают свет телескопы и радиосигнал антенны, а межзвёздный гость, заглянувший в Солнечную систему в 2017 году, прочертил одну из них. Проведём ночь в обсерватории и посмотрим, почему именно эти кривые.

Фонарик на стене

Начнём с того, что режем. Возьмём прямую — ось — и вторую прямую, которая пересекает её под острым углом $\alpha$. Будем вращать вторую прямую вокруг оси. Она заметёт поверхность из двух одинаковых воронок, соединённых вершинами. Это и есть конус, только не тот, что стоит на столе, а бесконечный и двойной. Прямые, из которых он соткан, называют образующими, угол $\alpha$ — половиной угла раствора.

Что получится, решает наклон плоскости. Плоскость, перпендикулярная оси, режет конус по окружности. Чуть наклонённая — по замкнутому овалу, эллипсу. Если плоскость параллельна одной из образующих, эта образующая её уже не пересечёт, и кривая уйдёт в бесконечность одной ветвью: это парабола. Если плоскость наклонена ещё круче, она режет обе воронки, и кривая распадается на две ветви гиперболы. Отдельный случай — плоскость через вершину: тогда вместо кривой получается точка, одна прямая или пара прямых. Такие сечения называют вырожденными и вспоминают о них, чтобы не удивляться.

Самое раннее из известных применений этих кривых связано с задачей, о которой рассказывала глава о «Началах», — удвоением куба. Около 350 года до нашей эры Менехм, ученик Евдокса, заметил: если кривые $x^2 = ay$ и $y^2 = 2ax$ пересекаются в точке $(x;\,y)$, то $x^4 = a^2y^2 = 2a^3x$, то есть $x^3 = 2a^3$. Ребро куба вдвое большего объёма найдено — правда, не циркулем и линейкой, а пересечением двух сечений конуса. До Аполлония такие кривые получали так: брали три разных конуса, остроугольный, прямоугольный и тупоугольный, и резали каждый плоскостью, перпендикулярной образующей.

Верёвка садовника

Сечение конуса — определение честное, но неудобное: чтобы нарисовать эллипс, не хочется строить конус. Садовники знают способ проще. В землю вбивают два колышка и привязывают к ним концы верёвки, которая длиннее расстояния между колышками. Заострённой палкой верёвку натягивают и обходят колышки кругом. Палка чертит на земле овальную клумбу.

У садовника колышки — фокусы $F_1$ и $F_2$, а сумма расстояний $MF_1 + MF_2$ — длина верёвки. Её принято обозначать $2a$, а расстояние между фокусами — $2c$. Если колышки вбить в одну точку, $c = 0$, получится окружность радиуса $a$: окружность — частный случай эллипса.

Чтобы считать, положим эллипс на координатную плоскость: фокусы — на ось $x$ симметрично относительно начала координат, $F_1(-c;\,0)$ и $F_2(c;\,0)$. Условие «сумма расстояний равна $2a$» можно записать через расстояние между точками, но получится уравнение с двумя корнями, и возводить его в квадрат дважды — удовольствие небольшое. Есть путь короче.

Хитрость в том, чтобы сначала найти не сами расстояния до фокусов, а их разность: она выражается через $x$ без единого корня.

Обозначим $r_1 = MF_1$ и $r_2 = MF_2$. Точка $M$ лежит на эллипсе, когда $r_1 + r_2 = 2a$. Опустим из $M$ перпендикуляр $MH$ на ось $x$; его основание — точка $H(x;\,0)$. Получились два прямоугольных треугольника $F_1HM$ и $F_2HM$ с общим катетом $MH = |y|$. Если $y = 0$ или $H$ попадает в фокус, треугольник сплющивается в отрезок, но равенства ниже верны и тогда. Вторые катеты — $F_1H = |x + c|$ и $F_2H = |x - c|$. По теореме Пифагора $r_1^2 = (x + c)^2 + y^2$ и $r_2^2 = (x - c)^2 + y^2$. Вычтем одно из другого: общий катет пропадёт, и $r_1^2 - r_2^2 = (x + c)^2 - (x - c)^2 = 4cx$. Разность квадратов раскладывается на множители: $r_1^2 - r_2^2 = (r_1 + r_2)(r_1 - r_2) = 2a\,(r_1 - r_2)$. Значит, $r_1 - r_2 = \frac{2cx}{a}$. Зная сумму и разность двух чисел, находим сами числа: $r_1 = a + \frac{c}{a}x$ и $r_2 = a - \frac{c}{a}x$. Расстояния до фокусов оказались линейными функциями от $x$. Заодно выясним смысл числа $b$. При $x = 0$ получаем $r_1 = r_2 = a$: точка эллипса на оси $y$ удалена от каждого фокуса на $a$. Треугольник с вершинами $O$, $F_2$ и этой точкой прямоугольный, гипотенуза в нём $a$, катет $c$, поэтому второй катет равен $\sqrt{a^2 - c^2} = b$. Эллипс пересекает ось $y$ в точках $(0;\,\pm b)$. Возведём в квадрат равенство $r_2 = a - \frac{c}{a}x$ и подставим $r_2^2 = (x - c)^2 + y^2$: $a^2 - 2cx + \frac{c^2}{a^2}x^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2$. Слагаемые $-2cx$ сокращаются, и остаётся $a^2 - c^2 = x^2\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right) + y^2$, то есть $b^2 = \frac{b^2}{a^2}x^2 + y^2$. Делим на $b^2$ и получаем $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Обратно, пусть $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Тогда $|x| \le a$ и $y^2 = b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2$. Подставим это в $(x - c)^2 + y^2$ и пройдём выкладку прошлого шага в обратную сторону: получится $\left(a - \frac{c}{a}x\right)^2$. Число $a - \frac{c}{a}x$ положительно, потому что $\frac{c}{a}|x| \le c < a$, поэтому $r_2 = a - \frac{c}{a}x$. Так же $r_1 = a + \frac{c}{a}x$, и $r_1 + r_2 = 2a$: точка лежит на эллипсе.

Большая полуось: половина длины верёвки и расстояние от центра до самых дальних точек эллипса, вершин $(\pm a;\,0)$. Малая полуось: эллипс пересекает ось $y$ в точках $(0;\,\pm b)$. Из этих точек до каждого фокуса ровно $a$. Половина расстояния между фокусами. При $c = 0$ фокусы сливаются, $b = a$, и уравнение становится уравнением окружности $x^2 + y^2 = a^2$. Пример: у эллипса $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ полуоси $a = 5$ и $b = 3$, поэтому $c = \sqrt{25 - 9} = 4$, фокусы — $(\pm 4;\,0)$. Проверка на точке $(0;\,3)$: до каждого фокуса $\sqrt{16 + 9} = 5$, вместе $10 = 2a$.

Эллипс — сплющенная окружность, и уравнение говорит об этом прямо. Если точка $(x;\,y)$ лежит на окружности $x^2 + y^2 = a^2$, то точка $\left(x;\,\frac{b}{a}y\right)$ лежит на эллипсе: подставьте и проверьте. Значит, эллипс получается из окружности сжатием к оси $x$ в $\frac{a}{b}$ раз. Поэтому круглое блюдце в солнечный день отбрасывает на пол эллиптическую тень.

Садовник вбил колышки на расстоянии $6$ м друг от друга и взял верёвку длиной $10$ м. Какой ширины получится клумба в самом узком месте? Ответ дайте в метрах.

Здесь $2a = 10$ и $2c = 6$, поэтому $a = 5$, $c = 3$ и $b = \sqrt{25 - 9} = 4$. Самое узкое место — малая ось, её длина $2b = 8$ м. Если получилось $4$, вы нашли полуось, то есть половину ширины.

Линейка, угольник и нить

Заменим в определении эллипса сумму на разность.

Разность обозначают $2a$, расстояние между фокусами — снова $2c$, но теперь $a < c$. Точки, которые ближе к $F_2$, образуют одну ветвь, ближе к $F_1$ — другую. Чертят гиперболу линейкой и нитью. Один конец линейки прикалывают к фокусу $F_1$ так, чтобы она могла вращаться. К другому концу линейки привязывают нить, которая короче линейки на $2a$, второй конец нити — к фокусу $F_2$. Карандаш прижимает нить к линейке. Отрезок линейки от $F_1$ до карандаша на $2a$ длиннее, чем путь по нити от карандаша до $F_2$, — это ровно определение. Во второй вкладке виджета выше такая линейка есть.

Выкладка для гиперболы повторяет выкладку для эллипса слово в слово, только теперь $r_1 - r_2 = \pm 2a$, поэтому $r_1 + r_2 = \pm\frac{2cx}{a}$ и $r_2 = \pm\left(\frac{c}{a}x - a\right)$. Возведение в квадрат даёт то же равенство $a^2 - c^2 = x^2\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right) + y^2$, но теперь число $a^2 - c^2$ отрицательно, и естественно обозначить $b^2 = c^2 - a^2$.

Действительная полуось: вершины гиперболы — точки $(\pm a;\,0)$, а разность расстояний до фокусов равна $2a$. Мнимая полуось: на оси $y$ точек гиперболы нет, но $b$ задаёт наклон асимптот — прямых $y = \pm\frac{b}{a}x$, к которым ветви прижимаются всё теснее, уходя в бесконечность. Половина расстояния между фокусами $(\pm c;\,0)$. У гиперболы $c$ больше $a$. Пример: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$, здесь $a = 3$, $b = 4$, $c = \sqrt{9 + 16} = 5$, асимптоты $y = \pm\frac43 x$. Точка $\left(5;\,\frac{16}{3}\right)$ лежит на гиперболе: до фокуса $(5;\,0)$ от неё $\frac{16}{3}$, до фокуса $(-5;\,0)$ — $\sqrt{100 + \frac{256}{9}} = \frac{34}{3}$, разность $\frac{18}{3} = 6 = 2a$.

Асимптоты видны из уравнения. Перепишем его как $y^2 = \frac{b^2}{a^2}x^2 - b^2$: при больших $x$ вычитаемое $b^2$ ничтожно по сравнению с остальным, и $y$ почти равно $\pm\frac{b}{a}x$. Как «почти» превращается в точное утверждение, объяснит следующая глава.

С параболой фокус один, а вместо второго фокуса появляется прямая.

Инструмент для параболы — угольник и нить. Вдоль директрисы кладут рейку, по ней скользит угольник. К верхнему углу угольника привязывают нить длиной с его вертикальный катет, другой конец нити — к фокусу. Карандаш прижимает нить к катету. Нить от угла до карандаша и дальше до фокуса имеет длину катета. Кусок катета от угла до карандаша вместе с куском от карандаша до рейки — тоже длину катета. Первые куски общие, значит, от карандаша до фокуса столько же, сколько до рейки. Это третья вкладка виджета.

Поставим фокус в точку $F\left(\frac p2;\,0\right)$, а директрису — вертикально, $x = -\frac p2$; число $p > 0$ — расстояние от фокуса до директрисы. Для точки $M(x;\,y)$ расстояние до директрисы равно $\left|x + \frac p2\right|$, до фокуса — $\sqrt{\left(x - \frac p2\right)^2 + y^2}$. Приравняем квадраты: $x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4}$, откуда $y^2 = 2px$. Обратно, из $y^2 = 2px$ следует то же равенство квадратов, а равны и сами расстояния, потому что оба неотрицательны.

Параметр — расстояние от фокуса до директрисы. Чем он больше, тем шире раскрыта парабола. Директриса. Вершина параболы, начало координат, лежит ровно посередине между фокусом и директрисой. Пример: $y^2 = 8x$, здесь $2p = 8$, $p = 4$. Фокус $(2;\,0)$, директриса $x = -2$. Точка $(2;\,4)$ лежит на параболе: $16 = 8 \cdot 2$. До фокуса от неё $4$, до директрисы $2 + 2 = 4$.

А парабола из главы о квадратных уравнениях, график $y = x^2$, — она же, только повёрнутая: поменяйте местами $x$ и $y$, и получится $x^2 = 2py$ при $2p = 1$. Значит, у школьной параболы $y = x^2$ есть фокус $\left(0;\,\frac14\right)$ и директриса $y = -\frac14$. Проверим на точке $(1;\,1)$: до фокуса $\sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \frac54$, до директрисы $1 + \frac14 = \frac54$. Фокус есть и у любой параболы $y = ax^2 + bx + c$: она получается из $y = ax^2$ сдвигом, и фокус едет вместе с ней.

Найдите фокус параболы $y = \frac{x^2}{8}$. Ответ запишите координатами точки.

Перепишем уравнение: $x^2 = 8y = 2py$ при $p = 4$. Фокус лежит на оси симметрии выше вершины на $\frac p2 = 2$: это точка $(0;\,2)$, а директриса — прямая $y = -2$. Проверка на точке $(4;\,2)$ параболы: до фокуса $4$, до директрисы $2 + 2 = 4$.

Ветвь гиперболы и парабола очень похожи. Можно ли подобрать параболу так, чтобы она совпала с ветвью гиперболы?

Нет: ветвь гиперболы вдали почти прямая, а парабола загибается всё круче Да, если подходяще её сдвинуть и повернуть Да, если взять параболу с нужным параметром $p$ Это одна и та же кривая, просто разрезанная в разных местах конуса

Уходя в бесконечность, ветвь гиперболы прижимается к асимптоте $y = \frac{b}{a}x$: расстояние до этой прямой становится сколь угодно малым. У параболы такой прямой нет. Возьмём $y = x^2$ и любую прямую $y = kx + m$: разность $x^2 - kx - m$ при больших $x$ растёт без предела, так что парабола уходит от любой прямой. Прямолинейного хвоста у параболы нет, у гиперболы — есть.

Шары в конусе

У нас теперь два определения эллипса, и они не имеют друг с другом ничего общего. Первое — сечение конуса: там нет никаких фокусов. Второе — верёвка садовника: там нет никакого конуса. Почему это одна и та же кривая? Аполлоний знал ответ, но получал его долгими выкладками. В 1822 году бельгийский математик Жерминаль Данделен придумал рассуждение, которое помещается на одном чертеже.

Хитрость в том, чтобы заменить расстояния до фокусов отрезками образующей: у шара все касательные, проведённые из одной точки, равны.

Плоскость пересекает половину конуса по замкнутой кривой. Возьмём на ней любую точку $M$. Нужно найти две точки, сумма расстояний от которых до $M$ одна и та же для всех точек кривой. Впишем в конус шар над плоскостью и будем раздувать его, пока он не коснётся плоскости. Конус и шар симметричны относительно оси, поэтому шар касается конуса по окружности $k_1$, а плоскости — в одной точке $F_1$. По другую сторону плоскости впишем второй шар, тоже касающийся и конуса, и плоскости: окружность касания $k_2$, точка касания $F_2$. Отрезки касательных, проведённых к шару из одной точки, равны. Действительно, если $MT$ касается шара с центром $O$ и радиусом $r$ в точке $T$, то радиус $OT$ перпендикулярен касательной, и по теореме Пифагора $MT^2 = MO^2 - r^2$ — это число от выбора точки касания не зависит. Отрезок $MF_1$ лежит в плоскости, которая касается первого шара в $F_1$, значит, он касательный. Образующая, проходящая через $M$, касается первого шара в точке $P$ окружности $k_1$, так что $MP$ — тоже касательный отрезок. Поэтому $MF_1 = MP$. Точно так же для второго шара: $MF_2 = MQ$, где $Q$ — точка, в которой та же образующая касается окружности $k_2$. Плоскость сечения разделяет шары, поэтому $M$ лежит на образующей между $P$ и $Q$, и $MF_1 + MF_2 = MP + MQ = PQ$. Но $PQ$ — кусок образующей между плоскостями окружностей $k_1$ и $k_2$, а поворот вокруг оси переводит любую образующую в любую другую вместе с этими окружностями. Значит, $PQ$ у всех образующих одинаков, и сумма $MF_1 + MF_2$ постоянна: сечение — эллипс с фокусами $F_1$, $F_2$ и большой осью $2a = PQ$.

Для гиперболы работает то же рассуждение: шары сидят в разных половинах конуса, $M$ лежит уже не между $P$ и $Q$, и постоянной оказывается разность $|MF_1 - MF_2| = PQ$. У параболы шар только один. Зато у каждого шара есть ещё одна находка: плоскость, в которой лежит окружность касания, пересекает плоскость сечения по прямой. Это директриса. В виджете с конусом она нарисована пунктиром на плоском виде сечения.

Какое сечение получится при данном наклоне

Пусть $\beta$ — угол между плоскостью сечения и осью конуса, $\alpha$ — половина угла раствора. Возьмём точку $M$ сечения и шар, который касается плоскости в фокусе $F$, а конуса — по окружности $k$. Пусть $\pi$ — плоскость этой окружности, $d$ — прямая, по которой $\pi$ пересекает плоскость сечения. Как в доказательстве, $MF = MP$, где $P$ — точка образующей на $k$. Расстояние $h$ от $M$ до плоскости $\pi$ можно найти двумя способами. Вдоль образующей: она наклонена к оси под углом $\alpha$, поэтому $h = MP\cos\alpha$. Вдоль плоскости сечения: кратчайший путь из $M$ к прямой $d$ в этой плоскости — перпендикуляр $MD$, а он наклонён к оси под углом $\beta$, поэтому $h = MD\cos\beta$. Отсюда $\frac{MF}{MD} = \frac{MP}{MD} = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}$ — одно и то же число для всех точек сечения. Это эксцентриситет: $e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}$. Плоскость поперёк оси ($\beta = 90^\circ$) даёт $e = 0$, параллельная образующей ($\beta = \alpha$) — $e = 1$, параллельная оси ($\beta = 0$) — $e = \frac{1}{\cos\alpha} > 1$. В виджете с конусом $\alpha = 30^\circ$ и $\beta = 90^\circ - \varphi$, поэтому $e = \frac{\sin\varphi}{\cos 30^\circ}$.

Одно число на все кривые

Директриса есть не только у параболы. Вернёмся к доказательству канонического уравнения. Там мимоходом выяснилось, что расстояния от точки эллипса до фокусов — линейные функции: $r_2 = a - \frac{c}{a}x$. Число $\frac{c}{a}$ заслуживает собственного имени.

Из доказательства канонического уравнения: $MF_2 = r_2 = a - \frac{c}{a}x = a - ex$. Вынесем $e$ за скобку: $a - ex = e\left(\frac{a}{e} - x\right)$. Проведём вертикальную прямую $x = \frac{a}{e}$. Так как $e < 1$, она правее вершины $(a;\,0)$ и эллипс не пересекает. Расстояние от $M(x;\,y)$ до этой прямой — длина горизонтального отрезка $MD$. Точка $M$ левее прямой, ведь $x \le a < \frac{a}{e}$, поэтому $MD = \frac{a}{e} - x$. Получилось $MF_2 = e \cdot MD$ для каждой точки эллипса. Для другого фокуса то же самое: $MF_1 = a + ex = e\left(x + \frac{a}{e}\right)$, а $x + \frac{a}{e}$ — расстояние до прямой $x = -\frac{a}{e}$.

Верно и обратное. Запишем условие $MF_2 = e \cdot MD$ в координатах: $(x - c)^2 + y^2 = (a - ex)^2$. Раскроем скобки, помня, что $ae = c$: $x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = a^2 - 2cx + e^2x^2$, откуда $x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2 - c^2 = b^2$. Так как $1 - e^2 = \frac{b^2}{a^2}$, это каноническое уравнение. Для гиперболы выкладка такая же, только $e > 1$ и прямая $x = \frac{a}{e}$ лежит между центром и вершиной. А для параболы это просто определение с $e = 1$.

Окружность в этом правиле стоит особняком: чем ближе $e$ к нулю, тем дальше уходит директриса.

Теперь можно расшифровать имена Аполлония. Поместим начало координат в вершину, ближайшую к фокусу, и направим ось $x$ к фокусу. Пусть $p$ — половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси; в виджете это расстояние от фокуса до общих точек семейства. Тогда все три кривые записываются одним уравнением.

Площадь прямоугольника со сторонами $x$ и $2p$. Греки мыслили площадями и сравнивали с этим прямоугольником квадрат со стороной $y$. Поправка. При $e < 1$ она положительна, и квадрат на $y$ меньше прямоугольника: по-гречески «недостаток», эллипсис. При $e = 1$ поправки нет, квадрат равен прямоугольнику — «приложение», парабола. При $e > 1$ поправка отрицательна, квадрат больше — «избыток», гипербола. Пример: эллипс $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ с $e = 0{,}8$ и $p = \frac{b^2}{a} = \frac95$. Если отсчитывать $x$ от вершины $(-5;\,0)$, уравнение превращается в $y^2 = 3{,}6x - 0{,}36x^2$. Проверка: при $x = 5$, в центре эллипса, $y^2 = 18 - 9 = 9$, и $y = \pm 3 = \pm b$.

Кстати, о школьных кривых. В главе о функциях график $y = \frac1x$ называли гиперболой. Это не метафора. Повернём координатные оси на $45^\circ$, как в главе о симметрии: $x = \frac{X - Y}{\sqrt2}$, $y = \frac{X + Y}{\sqrt2}$. Тогда $xy = \frac{X^2 - Y^2}{2}$, и уравнение $xy = 1$ превращается в $\frac{X^2}{2} - \frac{Y^2}{2} = 1$ — гиперболу с $a = b = \sqrt2$ и $c = 2$. Её фокусы в исходных координатах — точки $(\sqrt2;\,\sqrt2)$ и $(-\sqrt2;\,-\sqrt2)$. Проверим на точке $(1;\,1)$: до фокусов $2 - \sqrt2$ и $2 + \sqrt2$, разность $2\sqrt2 = 2a$.

Зеркала и антенны

Слово «фокус» по-латыни значит «очаг». В геометрию его ввёл Иоганн Кеплер в 1604 году, в книге об оптике, — за пять лет до того, как опубликовал открытие эллиптических орбит. Название точное: если сделать зеркало в форме параболы и направить его на Солнце, в фокусе можно зажечь огонь. Доказательство этого сохранилось в трактате Диокла «О зажигательных зеркалах», написанном около 200 года до нашей эры. Чтобы понять, почему так происходит, нужно знать, как свет отражается от кривого зеркала. Луч отражается так же, как от плоского зеркала, касающегося кривой в точке падения: угол падения равен углу отражения, и углы отсчитываются от касательной.

Остаётся понять, что такое касательная к эллипсу. Для окружности это прямая, которая касается её в одной точке и внутрь не заходит. Для эллипса скажем так же. Точки, у которых сумма расстояний до фокусов меньше $2a$, лежат внутри, больше — снаружи; прямая, проходящая через точку $M$ эллипса, называется касательной, если все остальные её точки лежат снаружи. Для произвольной кривой так не скажешь, и общее определение касательной придётся ждать до главы о производной. Для конических сечений его хватит.

Проведём через $M$ прямую с равными углами и докажем, что она и есть касательная. Хитрость, как в задаче Герона о кратчайшем пути, — отразить один из фокусов.

Проведём через $M$ прямую $\ell$, которая образует равные углы с $MF_1$ и $MF_2$ (на чертеже они отмечены). Угол между $\ell$ и $MF_2$ не нулевой, так что $F_2$ на $\ell$ не лежит. Продолжим $F_1M$ за точку $M$. Угол между этим продолжением и $\ell$ вертикален углу между $\ell$ и $MF_1$, значит, равен углу между $\ell$ и $MF_2$. Поэтому отражение относительно $\ell$ переводит луч $MF_2$ в продолжение отрезка $F_1M$. Образ фокуса, точка $F_2'$, лежит на этом продолжении, и $MF_2' = MF_2$: отражение сохраняет расстояния. Возьмём на $\ell$ любую другую точку $X$. Она лежит на оси отражения, поэтому $XF_2 = XF_2'$. По неравенству треугольника $XF_1 + XF_2' \ge F_1F_2'$, и равенство бывает, только если $X$ лежит на отрезке $F_1F_2'$. Но $F_1F_2' = F_1M + MF_2' = F_1M + MF_2 = 2a$, а прямая $\ell$ пересекает прямую $F_1F_2'$ только в точке $M$. Значит, для $X \ne M$ получаем $XF_1 + XF_2 = XF_1 + XF_2' > 2a$: точка $X$ лежит снаружи эллипса. Все точки $\ell$, кроме $M$, снаружи — это касательная. Она образует равные углы с $MF_1$ и $MF_2$, поэтому луч, пришедший из $F_1$ в $M$, по закону отражения уходит вдоль $MF_2$, в другой фокус.

Лучи из одного фокуса не только собираются в другом, но и приходят туда одновременно: длина каждого пути $F_1M + MF_2$ равна $2a$. На этом держатся «шепчущие залы» с эллиптическим сводом: встаньте в один фокус, и шёпот из другого слышен так, будто говорят рядом, хотя люди посередине ничего не разбирают. На том же с начала 1980-х годов работают литотрипторы, которые дробят камни в почках без разреза. Искровой разряд в одном фокусе эллипсоидального отражателя создаёт ударную волну, отражатель собирает её в другом фокусе, а пациента укладывают так, чтобы там оказался камень.

Внутри параболы лежат точки, которые ближе к фокусу, чем к директрисе, снаружи — те, что ближе к директрисе. Касательная, как и у эллипса, — прямая через точку $M$, все остальные точки которой лежат снаружи.

По определению параболы $MF = MH$: треугольник $FMH$ равнобедренный. Проведём $\ell$ — биссектрису угла $FMH$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине — одновременно высота и медиана (глава о треугольнике), то есть серединный перпендикуляр к основанию $FH$. Поэтому отражение относительно $\ell$ меняет местами $F$ и $H$. Возьмём на $\ell$ другую точку $X$. Она лежит на серединном перпендикуляре к $FH$, значит, $XF = XH$. Опустим из $X$ перпендикуляр $XK$ на директрису. Наклонная $XH$ длиннее перпендикуляра $XK$, если только $H$ и $K$ не совпадают. А совпасть они могли бы, только если $X$ лежит на прямой $MH$; но $\ell$ пересекает её лишь в $M$, ведь угол между ними — половина угла $FMH$, и он не нулевой. Значит, $XF = XH > XK$: точка $X$ дальше от фокуса, чем от директрисы, то есть снаружи. Все точки $\ell$, кроме $M$, снаружи, так что $\ell$ — касательная. Луч, идущий параллельно оси, падает в точку $M$ вдоль прямой $HM$. Отражение относительно $\ell$ переводит прямую $MH$ в прямую $MF$, поэтому отражённый луч проходит через фокус.

Верно и обратное: лампа в фокусе даёт после отражения строго параллельный пучок. Так устроены прожектор и старые автомобильные фары. А спутниковая тарелка пользуется самой теоремой: сигнал со спутника, висящего на высоте тридцати шести тысяч километров, приходит почти параллельными лучами, и тарелка собирает его в конвертер, стоящий в фокусе. У домашних тарелок конвертер обычно висит сбоку, а не напротив центра. Такая тарелка вырезана из большого параболического зеркала не посередине, а с края: фокус остаётся там же, где был, и конвертер не заслоняет тарелке сигнал. А в солнечной печи в Одейо, во французских Пиренеях, параболическое зеркало высотой больше пятидесяти метров собирает солнечный свет в пятно, где температура превышает $3000\ ^\circ$С.

Сферическое зеркало, то есть кусок окружности в разрезе, собирает лучи только приблизительно. Вблизи оси окружность почти совпадает с параболой, а дальше лучи промахиваются и складываются в ту самую яркую кривую с остриём. Поэтому зеркала больших телескопов шлифуют не по сфере. Космический телескоп «Хаббл» устроен по схеме Ричи — Кретьена: и большое, и малое зеркала у него гиперболические.

Зачем телескопу гипербола

У гиперболы своё оптическое свойство: касательная в точке $M$ делит пополам угол $F_1MF_2$. Доказательство такое же, как для эллипса, только отражать нужно в биссектрисе $\ell$ самого угла $F_1MF_2$. Образ $F_2'$ фокуса $F_2$ ляжет на луч $MF_1$, и $MF_2' = MF_2$. Для точки $X \ne M$ на $\ell$ по неравенству треугольника $|XF_1 - XF_2| = |XF_1 - XF_2'| < F_1F_2' = |MF_1 - MF_2| = 2a$, строго, потому что $X$ не лежит на прямой $F_1F_2'$. Все точки $\ell$, кроме $M$, оказываются между ветвями, где разность расстояний меньше $2a$, и $\ell$ — касательная. Отсюда следует: луч, летящий к фокусу $F_2$, отражается от ветви и проходит через $F_1$. В телескопе системы Кассегрена (1672) большое параболическое зеркало собирает свет звезды к своему фокусу, но на пути стоит маленькое выпуклое гиперболическое зеркало, у которого с большим зеркалом общий фокус. Оно отправляет пучок назад, через отверстие в большом зеркале, ко второму своему фокусу, где стоит окуляр или камера. Труба получается намного короче.

Орбиты

До Кеплера астрономы были уверены, что небесные тела движутся по окружностям, а если окружности не помогают, то по окружностям, насаженным на окружности. Кеплеру достались лучшие наблюдения своего времени — многолетние записи Тихо Браге, и несколько лет он пытался уложить в круговую схему орбиту Марса. Лучшая из его моделей расходилась с наблюдениями на восемь угловых минут, примерно четверть видимого диаметра Луны. Кеплер доверял точности Тихо и потом писал, что одни эти восемь минут указали путь к преобразованию всей астрономии. В «Новой астрономии» (1609) он сформулировал два закона: планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце, и отрезок от Солнца до планеты за равные промежутки времени заметает равные площади. Третий закон появился в 1619 году: квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей. Марс удалён от Солнца в среднем в $1{,}524$ раза дальше Земли, и его год длиннее земного в $1{,}881$ раза: $1{,}524^3 \approx 3{,}54 \approx 1{,}881^2$.

Почему эллипс заметили только у Марса? Потому что орбиты планет почти круглые. У Марса $e \approx 0{,}093$, и его малая полуось короче большой всего на $0{,}44\,\%$: $\sqrt{1 - e^2} \approx 0{,}9956$. На глаз такую орбиту от окружности не отличить. Выдаёт её другое: Солнце сидит не в центре, а в фокусе, сдвинутом на $9\,\%$ большой полуоси.

Кеплер вывел свои законы из наблюдений. Почему они верны, объяснил Исаак Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687). Первое же предложение первой книги — закон площадей, и доказательство там — чертёж.

Ньютон заменяет плавное притяжение последовательностью мгновенных толчков, и всё сводится к треугольникам с равными основаниями и высотами.

Разобьём время на равные промежутки. Пусть в течение каждого тело летит прямолинейно и равномерно, а в конце промежутка получает мгновенный толчок, направленный к $S$. За первый промежуток тело прошло из $A$ в $B$. Не будь толчка, за второй промежуток тело прошло бы такой же путь по той же прямой, из $B$ в $c$, и $Bc = AB$. У треугольников $SAB$ и $SBc$ равные основания на одной прямой и общая вершина $S$, а значит, общая высота. Их площади равны: площадь треугольника — половина основания на высоту. Толчок в $B$ добавляет к перемещению слагаемое, направленное к $S$. Перемещения складываются по правилу параллелограмма, и тело попадает в точку $C$, для которой отрезок $cC$ параллелен $BS$. У треугольников $SBc$ и $SBC$ общее основание $SB$, а вершины $c$ и $C$ лежат на прямой, параллельной $SB$, то есть на одном расстоянии от неё. Высоты равны, площади равны. Выходит, треугольники $SAB$ и $SBC$ равновелики, и так на каждом следующем шаге: за равные промежутки — равные площади. Ньютон делает промежутки всё короче, ломаная приближается к плавной орбите, а равенство площадей переходит на неё. Что значит «приближается» и почему свойство переживает такой переход, объясняет следующая глава.

В доказательстве не участвовали ни эллипс, ни закон всемирного тяготения: закон площадей верен для любой силы, направленной к одной точке. А то, что при силе, убывающей как квадрат расстояния, орбита оказывается коническим сечением, Ньютон доказал отдельно, и для этого нужен анализ. Там же выясняется, что эллипс — не единственный вариант. Тело, прилетевшее издалека с большой скоростью, пройдёт мимо Солнца по гиперболе и улетит навсегда. Так в 2017 году пролетел Оумуамуа, первый замеченный гость из другой звёздной системы: эксцентриситет его пути около $1{,}2$. А в 2019 году Геннадий Борисов разглядел в телескоп, построенный своими руками, межзвёздную комету с $e \approx 3{,}4$.

Из закона площадей легко получить, во сколько раз планета в перигелии, ближайшей к Солнцу точке, быстрее, чем в афелии, самой далёкой. В обеих этих точках скорость перпендикулярна радиусу, и за маленькое время $\Delta t$ радиус заметает почти прямоугольный треугольник с катетами $r$ и $v\,\Delta t$, площадью около $\frac12 rv\,\Delta t$. Площади за равное время равны, поэтому $r_{\min}v_{\max} = r_{\max}v_{\min}$, а $r_{\min} = a - c$ и $r_{\max} = a + c$. Отсюда

$$\frac{v_{\max}}{v_{\min}} = \frac{r_{\max}}{r_{\min}} = \frac{a + c}{a - c} = \frac{1 + e}{1 - e}.$$

У Земли $e \approx 0{,}0167$, и отношение равно примерно $1{,}034$: около $147{,}1$ млн км до Солнца в перигелии и $152{,}1$ млн км в афелии. У кометы Галлея, $e \approx 0{,}967$, — почти шестьдесят: у Солнца она несётся со скоростью около $55$ км/с, а за орбитой Нептуна ползёт меньше чем километр в секунду.

Когда Земля ближе всего к Солнцу?

Летом, в июле: поэтому и жарко В начале января В дни равноденствий Расстояние всё время одно и то же

Перигелий Земля проходит в первых числах января, афелий — в начале июля. Времена года устраивает наклон земной оси, а не расстояние: разница в $3\,\%$ на погоду почти не влияет. Зато по закону площадей Земля в январе движется быстрее, и зимняя половина года в северном полушарии короче летней: от осеннего равноденствия до весеннего проходит около $179$ суток, от весеннего до осеннего — около $186$.

Комета летит по эллипсу с эксцентриситетом $0{,}6$. Во сколько раз её скорость у Солнца больше, чем в самой дальней точке орбиты?

$\frac{1 + e}{1 - e} = \frac{1{,}6}{0{,}4} = 4$. Во столько же раз афелий дальше от Солнца, чем перигелий: если $a = 5$, то $c = 3$, и расстояния равны $2$ и $8$.

Журнал наблюдений

Ночь в обсерватории подходит к концу. Сведём находки в одну таблицу: у каждой кривой каноническое уравнение, фокусы и эксцентриситет.

В тренажёре три уровня: эллипсы, параболы, гиперболы вперемешку с вопросом «что это за кривая?».

Куда дальше

Касательную к эллипсу и параболе мы нашли хитростью: через отражение и неравенство треугольника. Но попробуйте провести касательную к графику $y = x^3 - x$ или к синусоиде. Фокусов у этих кривых нет, и хитрость не сработает. С движением то же самое. Закон площадей говорит, что в перигелии планета быстрее, но какова её скорость в сам момент прохождения перигелия? Средняя скорость — путь, делённый на время. Скорость «в момент» — путь, пройденный за нулевое время, делённый на нулевое время: $\frac00$. Ньютон и Лейбниц научились обращаться с такими дробями через бесконечно малые величины, и полтора века им пеняли, что это логически незаконно. Как сделать это законно, рассказывает глава о пределах.