Часть VIII · Основания Глава 54 из 60
Мера и интеграл Лебега
Сколько весят все дроби отрезка? Ответ «ничего» заставил заново определить длину — и привёл к интегралу, которому по силам функция Дирихле, к множествам, которые нельзя измерить, к шару, из которого собирают два, и к кругу, разрезанному в квадрат.
Опирается на: 53 · Строгий анализ
Вы научитесь
- находить меру Лебега простых множеств и понимать, почему у одних множеств мера нулевая, а другие измерить нельзя
- считать интеграл Лебега через слои и знать, когда можно переходить к пределу под знаком интеграла
- объяснить, что на самом деле утверждают парадокс Банаха — Тарского и теорема Лацковича о квадратуре круга
2Можно ли разрезать круг на куски и сложить из них квадрат?
Прошлая глава кончилась на функции Дирихле, у которой нет интеграла Римана: в каждом куске любого разбиения есть и дроби, где она равна единице, и иррациональные числа, где она равна нулю. А между тем интуиция подсказывает ответ. Площадь под графиком — это высота $1$, умноженная на «длину» множества дробей отрезка $[0;\,1]$. Дробей бесконечно много, они есть на любом отрезке, но их можно пересчитать (глава 52), а точки отрезка — нельзя. Если множество дробей ничего не весит, интеграл равен нулю.
Чтобы превратить «ничего не весит» в теорему, придётся сказать, что такое длина произвольного множества точек. Для отрезка ответ ясен, для объединения нескольких отрезков тоже, а вот для множества дробей, канторовой пыли или множества чисел, в десятичной записи которых нет семёрок, — нет. Длину в начале XX века переопределили заново, и каждый шаг этой работы начинался с парадокса. Эта глава — пять парадоксов и их разгадки.
Дроби ничего не весят
Дроби есть на любом, даже самом крошечном, отрезке. И всё же вместе они занимают меньше места, чем любой отрезок.
Выпишем все дроби отрезка $[0;\,1]$ в последовательность: $r_1 = 0$, $r_2 = 1$, $r_3 = \frac12$, $r_4 = \frac13$, $r_5 = \frac23$, $r_6 = \frac14$, $r_7 = \frac34$, … — сначала со знаменателем $1$, потом $2$, $3$ и так далее, пропуская сократимые. Каждая дробь получит свой номер. Теперь накроем первую дробь интервалом длины $\frac{\varepsilon}{4}$, вторую — интервалом длины $\frac{\varepsilon}{8}$, $k$-ю — длины $\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}$. Все дроби накрыты, а сумма длин не больше $\frac\varepsilon4 + \frac\varepsilon8 + \ldots = \frac\varepsilon2$. Число $\varepsilon$ может быть сколь угодно малым: дроби умещаются в покрышку любой, самой ничтожной длины.
Множество $A \subset \mathbb R$ имеет меру нуль, если для любого $\varepsilon > 0$ его можно накрыть конечным или счётным набором интервалов с суммой длин меньше $\varepsilon$.
Любое конечное или счётное множество точек прямой имеет меру нуль.
Хитрость в том, чтобы делить бюджет $\varepsilon$, как Зенон делил путь: половину бюджета — не трогать, из второй половины отдать половину первой точке, четверть — второй, и так далее.
Картинка обманчива. Кажется, что интервалы, накрывшие все дроби, должны накрыть и весь отрезок: ведь дроби повсюду. Это не так, и виджет позволяет в этом убедиться.
Не любое множество имеет меру нуль. Если бы отрезок $[0;\,1]$ удалось накрыть интервалами общей длины $\frac12$, понятие длины потеряло бы смысл. Интуиция говорит, что так не бывает, но интуиция уже подводила: дроби тоже «заполняют» отрезок. Нужна теорема, и она опирается на полноту действительных чисел.
Если отрезок $[a;\,b]$ покрыт конечным или счётным набором интервалов, то сумма их длин больше $b - a$.
Сначала из бесконечного набора выберем конечный — здесь и нужна полнота, — а потом выложим выбранные интервалы цепочкой.
Эмиль Борель доказал это в диссертации, защищённой в 1894 году; позже стало ясно, что такое же рассуждение годится для любых, не только счётных, наборов интервалов. Из леммы следует, что отрезок не имеет меры нуль, а тогда он и не счётен — иначе его можно было бы накрыть интервалами общей длины $\frac12$. Получилось новое доказательство теоремы Кантора из главы 52: без диагонали, одной только длиной.
Пыль с весом и без
В канторовом множестве точек столько же, сколько на всём отрезке, а длина у него нулевая. А бывает пыль, в которой нет ни одного отрезка, а длина — половина.
Канторово множество из главы 52 получается, если из отрезка $[0;\,1]$ выбросить среднюю треть, из каждого из двух оставшихся отрезков — снова среднюю треть, и так без конца. Там же доказано, что точек в нём столько же, сколько на отрезке, и что выброшенные интервалы вместе имеют длину $1$.
Канторово множество имеет меру нуль.
После $n$ шагов построения канторово множество лежит в $2^n$ отрезках длины $\frac1{3^n}$. Заменим каждый отрезок интервалом вдвое длиннее с тем же центром: получится покрытие с суммой длин $2 \cdot \left(\frac23\right)^n$. Скептик называет $\varepsilon$; степени $\frac23$ стремятся к нулю, и при большом $n$ эта сумма меньше $\varepsilon$. Например, при $\varepsilon = 0{,}01$ годится $n = 14$: $2 \cdot \left(\frac23\right)^{14} \approx 0{,}0068$.
Канторово множество не содержит ни одного, даже крошечного, отрезка: после $n$ шагов его куски короче $\frac1{3^n}$. Может показаться, что без отрезков внутри длина и не бывает положительной. Но выбрасывать можно поменьше. Генри Смит в 1875 году, а потом Вито Вольтерра и сам Кантор строили множества, которые устроены так же, но весят больше.
Толстое канторово множество (множество Смита — Вольтерры — Кантора) — то, что остаётся от отрезка $[0;\,1]$, если на первом шаге выбросить из середины интервал длины $\frac14$, а на $n$-м шаге — из середины каждого из $2^{n-1}$ оставшихся отрезков интервал длины $\frac1{4^n}$.
Толстое канторово множество не содержит ни одного отрезка, а суммарная длина выброшенных из $[0;\,1]$ интервалов равна $\frac12$.
Сначала убедимся, что построение законно: выбрасывать есть откуда. На шаге $n$ выбрасываются $2^{n-1}$ интервалов длины $\frac1{4^n}$, всего $\frac{2^{n-1}}{4^n} = \frac12 \cdot \frac1{2^n}$, и за все шаги $\frac12\left(\frac12 + \frac14 + \ldots\right) = \frac12$. Значит, после любого числа шагов остаётся больше половины длины, разделённой поровну между $2^n$ отрезками: каждый длиннее $\frac1{2^{n+1}}$ и тем более длиннее следующего выбрасываемого интервала $\frac1{4^{n+1}}$. Сумма выброшенного равна $\frac12$ — это уже посчитано. А после $n$ шагов остаётся $2^n$ отрезков одной длины с суммой не больше $1$, так что каждый короче $\frac1{2^n}$. Любой отрезок положительной длины рано или поздно длиннее $\frac1{2^n}$ и не помещается ни в один из кусков — значит, в толстом канторовом множестве его нет.
Выброшено ровно полотрезка, и хочется сказать, что длина остатка — вторая половина. Но пока это только хочется: остаток не отрезок и не объединение отрезков, и правил, по которым вычитают бесконечно много интервалов, у нас нет. Их и придётся завести.
Правила для длины
Если длина есть у каждого множества точек, не меняется при сдвиге и складывается по счётному числу кусков, то длина отрезка $[0;\,1]$ одновременно равна нулю и бесконечности.
Площадь в главе 20 мы задавали правилами. Попробуем так же с длиной. Хотелось бы сопоставить каждому множеству $A \subset \mathbb R$ число $\mu(A) \ge 0$ (греческая буква «мю» — от слова «мера») так, чтобы: у отрезка $[a;\,b]$ оно было равно $b - a$; сдвинутое множество имело ту же длину; и длина объединения непересекающихся кусков была суммой длин кусков — не только для двух или трёх кусков, но и для счётного их числа.
Почему только счётное число кусков? Отрезок — объединение своих точек, каждая длины ноль, а сам он длины один. Сумм несчётного числа слагаемых не бывает, и счётная аддитивность — самое сильное требование, которое можно предъявить. Но и оно оказывается слишком сильным, если требовать, чтобы длина была у всех множеств.
Не существует способа сопоставить каждому множеству $A \subset \mathbb R$ число $\mu(A) \in [0;\,+\infty]$ так, чтобы $\mu([0;\,1]) = 1$, мера не менялась при сдвиге и была счётно-аддитивной.
Идея: построить множество $V$, у которого счётное число сдвигов не пересекается и укладывается между отрезками $[0;\,1]$ и $[-1;\,2]$. Тогда $\mu(V)$ не может быть ни нулём, ни положительным числом.
Назовём числа $x$ и $y$ из $[0;\,1]$ родственниками, если $x - y$ — рациональное число. Это отношение эквивалентности (глава 51), и отрезок распадается на классы родственников. По аксиоме выбора возьмём из каждого класса ровно по одному числу; множество выбранных чисел назовём $V$. Для каждой дроби $q \in [-1;\,1]$ рассмотрим сдвиг $V + q$.
Сдвиги на разные дроби $q \ne q'$ не пересекаются: если бы $v + q = v' + q'$ для $v, v' \in V$, то $v - v' = q' - q$ — дробь, $v$ и $v'$ — родственники, а из каждого класса в $V$ взято одно число; значит, $v = v'$ и $q = q'$. Все сдвиги лежат в $[-1;\,2]$. И вместе они покрывают $[0;\,1]$: любое $x$ из отрезка — родственник какого-то $v \in V$, разность $x - v$ — дробь из $[-1;\,1]$, и $x$ лежит в соответствующем сдвиге.
Дробей в $[-1;\,1]$ счётное число. По счётной аддитивности и неизменности при сдвиге мера объединения всех сдвигов равна $\mu(V) + \mu(V) + \mu(V) + \ldots$ Из аддитивности следует и монотонность: если $A \subset B$, то $\mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \ge \mu(A)$. Поэтому $1 = \mu([0;\,1]) \le \mu(V) + \mu(V) + \ldots \le \mu([-1;\,2]) = 3$. Но сумма бесконечного числа одинаковых слагаемых равна нулю, если $\mu(V) = 0$, и бесконечности, если $\mu(V) > 0$. Ни то, ни другое не лежит между $1$ и $3$. Противоречие.
Джузеппе Витали опубликовал это в 1905 году. Множество $V$ нельзя нарисовать или задать формулой: оно выбирает по одному представителю из несчётного числа классов, и никакого правила выбора нет — есть только аксиома выбора, которая утверждает, что такое множество существует. В 1970 году Роберт Соловей показал, что без полной аксиомы выбора неизмеримого множества может и не найтись: есть модель теории множеств, где все множества прямой измеримы (если непротиворечива теория с так называемым недостижимым кардиналом). Так что жертвовать приходится одним из требований — и жертвуют требованием мерить всё.
Внешняя мера множества $A \subset \mathbb R$ — точная нижняя грань сумм длин по всем конечным или счётным наборам интервалов, которые покрывают $A$: $\mu^*(A) = \inf \sum_k |I_k|$.
Внешняя мера определена у всех множеств, монотонна ($A \subset B \Rightarrow \mu^*(A) \le \mu^*(B)$), не меняется при сдвиге, счётно-полуаддитивна: $\mu^*\bigl(\bigcup A_n\bigr) \le \sum \mu^*(A_n)$, — и для отрезка равна его длине.
Монотонность: всякое покрытие $B$ покрывает и $A$, поэтому точная нижняя грань для $A$ берётся по большему набору покрытий и не больше. Сдвиг: сдвинув покрытие, получаем покрытие сдвинутого множества с той же суммой длин. Полуаддитивность: если $\sum \mu^*(A_n)$ бесконечна, доказывать нечего. Иначе на допуск $\varepsilon$ покроем каждое $A_n$ интервалами с суммой длин меньше $\mu^*(A_n) + \frac{\varepsilon}{2^n}$ — так можно по определению точной нижней грани. Все эти интервалы вместе — счётный набор, он покрывает объединение, и сумма их длин меньше $\sum \mu^*(A_n) + \varepsilon$. Раз $\varepsilon$ любое, $\mu^*\bigl(\bigcup A_n\bigr) \le \sum \mu^*(A_n)$. Наконец, отрезок $[a;\,b]$ покрыт одним интервалом $(a - \delta;\,b + \delta)$ длины $b - a + 2\delta$ при любом $\delta > 0$, так что $\mu^*([a;\,b]) \le b - a$; а по лемме Бореля любое покрытие длиннее $b - a$.
Внешняя мера умеет всё, кроме главного: для непересекающихся множеств она складывается не всегда — теорема Витали это запрещает. Анри Лебег в диссертации 1902 года «Интеграл, длина, площадь» предложил мерить не все множества, а только «хорошие», и показал, что хороших достаточно для всего анализа.
Множество $A$ измеримо по Лебегу, если для любого $\varepsilon > 0$ его можно заключить в открытое множество $U$ (объединение интервалов) так, что $\mu^*(U \setminus A) < \varepsilon$: снаружи к множеству можно подобраться интервалами почти без лишнего. Для измеримых множеств внешнюю меру называют мерой Лебега и пишут просто $\mu(A)$.
Все интервалы и отрезки измеримы. Дополнение измеримого множества и объединение счётного числа измеримых множеств измеримы. На измеримых множествах мера Лебега счётно-аддитивна.
Идея доказательства — и почему целиком оно здесь не поместится
Самый трудный шаг — аддитивность. Для объединения непересекающихся интервалов она следует из леммы Бореля, для открытых множеств — из того, что каждое из них раскладывается в объединение счётного числа непересекающихся интервалов, а для остальных измеримых множеств — из приближения открытыми множествами снаружи, с оценками вроде той, что в доказательстве полуаддитивности. Вместе с проверкой, что дополнения и счётные объединения не выводят из класса измеримых, это несколько страниц аккуратной работы с $\varepsilon$ и покрытиями, без новых идей. Современное изложение (по Каратеодори, 1914) есть в книге А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа» и в книге Теренса Тао «An Introduction to Measure Theory» (2011).
Семейство множеств с такими свойствами — замкнутое относительно дополнений и счётных объединений — называют сигма-алгеброй, а счётно-аддитивную функцию на нём — мерой.
Сигма-алгебра подмножеств множества $X$ — семейство, которое содержит $X$, вместе с каждым множеством содержит его дополнение, а вместе с каждым счётным набором — их объединение. Мера на сигма-алгебре — функция $\mu \ge 0$ (значение $+\infty$ разрешено), у которой $\mu(\varnothing) = 0$ и которая счётно-аддитивна.
Теперь толстое канторово множество получает честную длину. Его дополнение в отрезке — объединение выброшенных интервалов с суммой длин $\frac12$. По аддитивности $1 = \mu([0;\,1]) = \mu(\text{множества}) + \frac12$, и мера толстой пыли равна $\frac12$. Множество дробей имеет меру $0$, а множество иррациональных чисел отрезка — меру $1$: почти все числа иррациональны.
Свойство выполнено почти всюду, если оно выполнено во всех точках, кроме множества меры нуль. Функция Дирихле почти всюду равна нулю; функция Тома — тоже.
Точку отрезка $[0;\,1]$ называют «без семёрок», если в её десятичной записи нет цифры $7$. Какова мера множества таких точек?
После первой цифры остаются $9$ отрезков из $10$, то есть доля $\frac{9}{10}$; после второй — $\left(\frac{9}{10}\right)^2$, после $n$-й — $\left(\frac{9}{10}\right)^n$. Множество лежит в каждом из этих объединений отрезков, а $0{,}9^n \to 0$: при $n = 44$ это уже меньше $0{,}01$. Мера — ноль, хотя точек столько же, сколько на всём отрезке. Это десятичный родственник канторова множества.
Счёт по номиналам
У функции Дирихле нет интеграла — и её интеграл равен нулю.
Интеграл Римана режет на куски ось $x$ и в каждом куске берёт высоту наугад. Если функция в куске мечется, как функция Дирихле, выбор высоты решает всё, и суммы не сходятся. Лебег предложил резать ось значений. Сам он объяснял разницу так:
…мы действовали бы как торговец без системы, который считает монеты и купюры в том порядке, в каком они попадаются ему под руку. А мы поступаем как методичный торговец, который говорит: у меня $m(E_1)$ монет по одной кроне, это $1 \cdot m(E_1)$; у меня $m(E_2)$ монет по две кроны, это $2 \cdot m(E_2)$; у меня $m(E_5)$ монет по пять крон, это $5 \cdot m(E_5)$, и так далее. Оба способа приведут торговца к одному результату, потому что, как бы богат он ни был, купюр у него конечное число. Но для нас, кому приходится складывать бесконечное множество неделимых, разница между ними решающая.
Номиналы — это значения функции, а «число монет» данного номинала — мера множества, где функция принимает это значение. Для функции со многими значениями удобнее считать слоями: на каждой высоте $t$ взять множество $\{x : f(x) > t\}$ — там, где график выше уровня $t$, — и измерить его. Чтобы у такого множества была мера, от функции требуют немногого.
Функция $f$ измерима, если множество $\{x : f(x) > t\}$ измеримо при каждом $t$. Непрерывные функции измеримы: у них это множество — объединение не более чем счётного числа промежутков. Измерима и функция Дирихле: её слои — пустое множество, множество дробей или вся прямая. Измеримы и пределы измеримых функций: если $f_n(x) \to f(x)$ в каждой точке, то $\{f > t\} = \bigcup_{k} \bigcup_{N} \bigcap_{n \ge N} \{f_n > t + \frac1k\}$ — счётные объединения и пересечения измеримых множеств. Так же через слои проверяется, что измеримы суммы, наибольшие и наименьшие из измеримых функций; дальше мы этим пользуемся без напоминаний.
Интеграл Лебега измеримой функции $f \ge 0$ — число $\int f\,d\mu = \int_0^\infty \mu\{f > t\}\,dt$, возможно, равное $+\infty$. Функцию любого знака записывают как разность $f = f^+ - f^-$ двух неотрицательных (положительной и отрицательной частей) и полагают $\int f\,d\mu = \int f^+ d\mu - \int f^- d\mu$, если оба интеграла конечны; тогда $f$ называют интегрируемой по Лебегу.
Для обычных функций новый интеграл ничего не ломает.
Если функция $f \ge 0$ непрерывна на $[a;\,b]$, то её интеграл Лебега равен интегралу Римана.
Для ступенчатой функции столбики и слои — одни и те же прямоугольники, только разрезанные по-разному. Непрерывную функцию зажмём между ступеньками.
Функция $g$ на отрезке $[0;\,1]$ равна $x^2$ в иррациональных точках и $5$ — в рациональных. Найдите $\int_0^1 g\,d\mu$.
Функция $g$ отличается от $x^2$ только на множестве дробей, мера которого $0$. На любой высоте $t$ слои $g$ и $x^2$ отличаются лишь дробями, и их меры равны. Значит, интегралы равны: $\int_0^1 x^2\,dx = \frac13$. Изменение функции на множестве меры нуль интеграла Лебега не меняет. У Римана этой функции интеграла нет: суммы с точками-дробями не меньше $5$.
Меры множеств и интегралы через слои можно потренировать.
Предел под знаком интеграла
Функции стремятся к нулю в каждой точке, а площади под ними — к одной второй.
Бегущий горб из главы 53: $f_n(x) = n x (1 - x^2)^n$ на $[0;\,1]$. В каждой точке $f_n(x) \to 0$, а площадь под графиком равна $\frac{n}{2(n + 1)}$ и стремится к $\frac12$. Предел интегралов не равен интегралу предела. Для интеграла Римана беда ещё и в другом: предел интегрируемых функций бывает неинтегрируемым. Пусть $g_n$ равна единице в первых $n$ дробях отрезка и нулю в остальных точках: у каждой $g_n$ интеграл Римана есть и равен нулю, а их предел — функция Дирихле. Интеграл Лебега с пределами уживается гораздо лучше. Всё держится на одной лемме.
Если измеримые множества вложены, $A_1 \subset A_2 \subset \ldots$, то $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) = \lim\limits_{n \to \infty} \mu(A_n)$.
Разрежем объединение на кольца: $B_1 = A_1$, $B_n = A_n \setminus A_{n-1}$. Кольца не пересекаются, $A_n = B_1 \cup \ldots \cup B_n$, и объединение всех колец — объединение всех $A_n$. По счётной аддитивности $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) = \sum \mu(B_k)$, а сумма ряда — предел частичных сумм $\mu(B_1) + \ldots + \mu(B_n) = \mu(A_n)$.
Если измеримые функции растут, $0 \le f_1 \le f_2 \le \ldots$, и $f_n(x) \to f(x)$ в каждой точке, то $\int f_n\,d\mu \to \int f\,d\mu$.
Идея: при росте функций растут их слои, и лемма о непрерывности меры поднимает меры слоёв к пределу.
Зафиксируем высоту $t$. Слои $\{f_n > t\}$ вложены друг в друга, потому что функции растут, и их объединение — слой $\{f > t\}$: если $f(x) > t$, то при больших $n$ и $f_n(x) > t$, а если $f(x) \le t$, то все $f_n(x) \le f(x) \le t$. По лемме $\varphi_n(t) = \mu\{f_n > t\}$ растёт и стремится к $\varphi(t) = \mu\{f > t\}$.
Осталось перейти к пределу в интегралах по $t$. Интегралы $\int_0^\infty \varphi_n$ растут и не больше $\int_0^\infty \varphi$, значит, у них есть предел $I \le \int \varphi$. Обратно, возьмём $T > 0$ и разобьём $[0;\,T]$ на $m$ равных кусков с концами $t_j = \frac{jT}{m}$. Функция $\varphi_n$ не возрастает, поэтому на $j$-м куске она не меньше $\varphi_n(t_j)$, и $\int_0^\infty \varphi_n \ge \sum_{j=1}^m \varphi_n(t_j)\frac Tm$. При $n \to \infty$ правая часть — конечная сумма — стремится к $\sum_{j=1}^m \varphi(t_j)\frac Tm$, а эта сумма не меньше $\int_{T/m}^{T} \varphi$, потому что $\varphi$ не возрастает. Получили $I \ge \int_{T/m}^T \varphi$ при любых $T$ и $m$, и в пределе $I \ge \int_0^\infty \varphi$. Бесконечные значения здесь ничему не мешают: неравенства с $+\infty$ читаются естественно.
Для этой теоремы горб не помеха: его функции не растут, а бегут. Из неё следует самое нужное свойство интеграла — аддитивность, которую определение через слои не даёт даром.
Простая функция — измеримая функция с конечным числом значений: $c_1$ на множестве $A_1$, …, $c_k$ на $A_k$. Её слой на высоте $t$ — объединение тех $A_i$, где $c_i > t$, и, как для ступенчатой функции, $\int s\,d\mu = c_1\mu(A_1) + \ldots + c_k\mu(A_k)$ — это и есть «счёт по номиналам».
Для измеримых $f, g \ge 0$ выполнено $\int (f + g)\,d\mu = \int f\,d\mu + \int g\,d\mu$. Как следствие, для измеримых $f_k \ge 0$ интеграл ряда равен ряду интегралов: $\int \sum_k f_k\,d\mu = \sum_k \int f_k\,d\mu$.
Для простых функций это счёт по номиналам. Если $s$ равна $c_i$ на $A_i$, а $u$ равна $d_j$ на $B_j$, то сумма $s + u$ равна $c_i + d_j$ на кусочках $A_i \cap B_j$, и $\sum_{i,j} (c_i + d_j)\,\mu(A_i \cap B_j) = \sum_i c_i \mu(A_i) + \sum_j d_j \mu(B_j)$, потому что мера $A_i$ складывается из мер её кусочков $A_i \cap B_j$. Любая измеримая $f \ge 0$ — предел растущих простых функций $s_n = \min\bigl(n;\ \frac{\lfloor 2^n f \rfloor}{2^n}\bigr)$: значения округляются вниз до кратных $\frac{1}{2^n}$ и обрезаются на высоте $n$. Возьмём такие $s_n \uparrow f$ и $u_n \uparrow g$; тогда $s_n + u_n \uparrow f + g$, и по теореме о монотонной сходимости в равенстве $\int (s_n + u_n) = \int s_n + \int u_n$ можно перейти к пределу. Для ряда: частичные суммы растут, интеграл конечной суммы равен сумме интегралов, и снова работает теорема о монотонной сходимости.
Последнее утверждение — то самое, которым в главе 48 считали среднее число возвращений прохожего: математическое ожидание суммы бесконечного числа неотрицательных слагаемых равно сумме их ожиданий.
Для измеримых $f_n \ge 0$ выполнено $\int \liminf\limits_{n \to \infty} f_n\,d\mu \le \liminf\limits_{n \to \infty} \int f_n\,d\mu$.
Здесь $\liminf$ последовательности — предел её «нижних огибающих»: положим $h_k(x) = \inf_{n \ge k} f_n(x)$. Функции $h_k$ растут с $k$, и их предел по определению и есть $\liminf f_n$. При любом $n \ge k$ имеем $h_k \le f_n$, а значит, $\int h_k \le \int f_n$ и $\int h_k \le \inf_{n \ge k} \int f_n$. Переходим к пределу при $k \to \infty$: слева по теореме о монотонной сходимости получается $\int \liminf f_n$, справа — $\liminf \int f_n$.
Пусть измеримые функции $f_n$ сходятся к $f$ в каждой точке и все они по модулю не больше одной интегрируемой функции: $|f_n| \le g$, $\int g\,d\mu < \infty$. Тогда $\int f_n\,d\mu \to \int f\,d\mu$.
Разберём главный случай $0 \le f_n \le g$; функции любого знака разбиваются на положительную и отрицательную части, и для каждой рассуждение то же. Лемма Фату для $f_n$ даёт $\int f \le \liminf \int f_n$. Лемма Фату для неотрицательных функций $g - f_n$, которые стремятся к $g - f$, даёт $\int (g - f) \le \liminf \int (g - f_n)$. По теореме об интеграле суммы $\int (g - f_n) = \int g - \int f_n$ и $\int (g - f) = \int g - \int f$, где $\int g$ — конечное число. Сократив его, получаем $\limsup \int f_n \le \int f$. Вместе: $\limsup \int f_n \le \int f \le \liminf \int f_n$, так что предел интегралов существует и равен $\int f$.
Теорему Лебег доказал в 1908 году; в диссертации 1902 года был её частный случай для ограниченных функций. Бегущий горб её не нарушает: наименьшая функция, которая больше всех $f_n$ сразу, у нуля ведёт себя как $\frac{1}{e x}$ — площадь под ней бесконечна, и интегрируемой мажоранты нет. Условие короче и проще равномерной сходимости из главы 53, а работает везде, где нужно переставить предел и интеграл: в теории вероятностей, в рядах Фурье, в теореме Риса — Фишера о полноте пространства $L^2$ (глава 55).
Шар из шара
Шар можно разрезать на пять кусков и, только двигая и поворачивая их, сложить из них два таких же шара.
Теорема Витали показала, что неизмеримые множества существуют. В 1924 году Стефан Банах и Альфред Тарский показали, на что они способны в пространстве. Их конструкция опирается на удивительный объект алгебры — группу, которая сама себя удваивает.
Свободная группа с двумя образующими $F_2$ — множество слов из букв $a$, $a^{-1}$, $b$, $b^{-1}$, в которых буква никогда не стоит рядом с обратной к себе, вместе с пустым словом $e$. Умножение — приписать второе слово к первому и сократить соседние пары вроде $a\,a^{-1}$. Например, $(ab^{-1}a) \cdot (a^{-1}ba) = aa$. Это группа (глава 40), и других соотношений между $a$ и $b$ в ней нет.
Обозначим $W(a)$ множество слов, начинающихся с буквы $a$; так же $W(a^{-1})$, $W(b)$, $W(b^{-1})$. Вместе с пустым словом эти четыре куска составляют всю группу.
$F_2 = W(a) \cup a\,W(a^{-1})$ и $F_2 = W(b) \cup b\,W(b^{-1})$. Иначе говоря, два куска из четырёх после сдвига умножением дают всю группу, и два оставшихся — тоже всю группу.
Нарисуем группу деревом: слово — путь от центра, каждая буква — шаг в своём направлении, и шаги всё короче. Умножение на $a$ слева переносит центр дерева и всё раздувает одну ветку.
Дальше дело техники, хоть и изощрённой. Возьмём два поворота пространства на угол $\arccos\frac13$ вокруг двух перпендикулярных осей. Ни одно несократимое слово из них и обратных к ним не даёт тождественного поворота, так что они порождают копию свободной группы. Точки сферы разбиваются на орбиты: в одну орбиту попадают точки, которые переводятся друг в друга этими поворотами. Аксиома выбора берёт из каждой орбиты по точке, и разбиение группы переносится на сферу. Остаётся разобраться со счётным множеством точек, которые какой-то поворот оставляет на месте, и перейти от сферы к шару по радиусам.
Шар в пространстве можно разбить на конечное число кусков и сложить из них, двигая и поворачивая куски, два шара того же радиуса.
Идея доказательства — и почему целиком оно здесь не поместится
Шаги перечислены выше: свободная группа поворотов, выбор представителей орбит, перенос разбиения на сферу без неподвижных точек, поглощение счётного множества неподвижных точек и переход к шару. Каждый шаг требует аккуратной работы; например, свободу группы поворотов доказывают, разбирая матрицы поворотов по модулю $3$. Всё вместе — полтора десятка страниц. Полное изложение — в книге Стэна Вэгона «Парадокс Банаха — Тарского» (1985). Феликс Хаусдорф в 1914 году доказал удвоение сферы без счётного множества точек, Банах и Тарский довели дело до шара. Рафаэль Робинсон в 1947 году показал, что хватает пяти кусков, а четырёх — нет.
Объём при этом не удваивается — у кусков его просто нет. Будь все пять кусков измеримы, их объёмы сложились бы и в один шар, и в два, и объём шара равнялся бы удвоенному объёму шара. Парадокс доказывает не то, что математика противоречива, а то, что неизмеримые множества неизбежно ведут себя дико: у них нет объёма, который сохранялся бы при разрезании.
На плоскости такого не бывает. В 1923 году Банах построил функцию на всех подмножествах плоскости, которая совпадает с площадью на измеримых множествах, не меняется при движениях и складывается по конечному числу кусков, — только не по счётному. С ней плоский «парадокс удвоения» невозможен: площадь двух кругов вдвое больше площади одного, как бы ни были нарезаны куски. Причина — в группе движений плоскости: она слишком близка к коммутативной (разрешима) и не содержит свободной подгруппы с двумя образующими.
Круг и квадрат
Круг нельзя разрезать ножницами и сложить из кусков квадрат. Но разрезать его на куски и сложить квадрат одними сдвигами — можно.
В главе 20 мы доказали, что круг не превращается в квадрат прямыми разрезами, и узнали, что не помогут и разрезы по любым кривым (Дубинс, Хирш и Каруш, 1963). В главе 6 и главе 43 — что квадрат той же площади нельзя построить циркулем и линейкой. Оставался последний вариант, который в 1925 году предложил Тарский: разрешить куски, которые являются любыми множествами точек, лишь бы их было конечное число, и разрешить их двигать. Круг и квадрат с равными площадями — равносоставлены ли они в таком широком смысле?
Плоскость, в отличие от пространства, не даёт сделать из одного круга два: мера Банаха это запрещает. Поэтому речь могла идти только о фигурах одинаковой площади, и шанс оставался. Шестьдесят пять лет задача не поддавалась.
Окончательный ответ: можно. В 1990 году венгерский математик Миклош Лацкович доказал, что круг можно разрезать на конечное число кусков и сложить из них квадрат той же площади, причём куски даже не нужно поворачивать — только сдвигать. Кусков около $10^{50}$, а доказательство опирается на аксиому выбора, так что куски существуют, но нарисовать их нельзя, и про их измеримость в этом доказательстве ничего не известно. Площадь при этом не нарушается: площади круга и квадрата равны, а на плоскости удвоения не бывает. Ножницами, циркулем и линейкой — нельзя; «облаками точек» — можно.
История на этом не кончилась. В 2017 году Лукаш Грабовский, Андраш Мате и Олег Пихурко доказали, что куски можно сделать измеримыми, и тогда площади кусков буквально складываются в площадь квадрата. В том же году Эндрю Маркс и Спенсер Ангер обошлись без аксиомы выбора: их куски — борелевские множества, которые можно описать явно, хотя кусков понадобилось около $10^{200}$. В работе 2022 года (напечатана в 2026-м) Мате, Джонатан Ноэль и Пихурко добились кусков, у которых граница имеет нулевую площадь. Вырезать их по-прежнему нельзя — это запрещает теорема 1963 года, — но они уже совсем не похожи на неописуемые облака Витали.
Что на самом деле доказывает парадокс Банаха — Тарского?
Будь у всех множеств объём, аддитивный хотя бы по конечному числу кусков и неизменный при движениях, из разбиения шара на пять кусков следовало бы, что объём шара равен удвоенному. Поэтому такого объёма в пространстве нет, и неизмеримые множества — плата за аксиому выбора. На плоскости и на прямой такой объём есть (Банах, 1923), и парадокса там нет.
Вероятность — это мера
Случайная точка отрезка обязательно куда-то попадает, хотя вероятность попасть в любую заданную точку равна нулю.
В 1933 году Андрей Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» поставил теорию вероятностей на фундамент теории меры. Исходы — точки множества $\Omega$, события — множества из сигма-алгебры, вероятность — мера $P$ с $P(\Omega) = 1$. Третья аксиома Колмогорова — счётная аддитивность (глава 47), и без неё не построить вероятность даже для бесконечной серии бросков монеты.
Вот как она строится. Бросим честную монету бесконечно много раз и запишем орёл как $1$, решку как $0$. Получится бесконечная двоичная запись некоторого числа $x = 0{,}x_1x_2x_3\ldots_2$ из отрезка $[0;\,1]$. У двоично-рациональных чисел вроде $\frac12 = 0{,}1000\ldots_2 = 0{,}0111\ldots_2$ записей две, но таких чисел счётное число, и на вероятностях это не сказывается. Все исходы, у которых первые $n$ бросков заданы, соответствуют двоичному отрезку длины $\frac1{2^n}$, и вероятность их как раз $\frac1{2^n}$. Поэтому вероятность любого события, описанного бросками, — это мера Лебега соответствующего множества чисел, и все её свойства, включая счётную аддитивность, достаются даром. Случайная серия бросков — то же самое, что случайная точка отрезка.
Парадокс разрешается аддитивностью: вероятность попасть в точку равна нулю, но точек несчётно много, и складывать их вероятности нельзя. Вероятность попасть в дробь — ноль: дроби имеют меру нуль. Про события вероятности $1$ говорят, что они происходят почти наверное. Эмиль Борель в 1909 году доказал, что почти каждое число отрезка нормально: в его записи по любому основанию все цифры и все блоки цифр встречаются с одинаковой частотой. В терминах монеты это закон больших чисел: доля орлов почти наверное стремится к $\frac12$. И всё же ни про одно «знаменитое» число — $\sqrt2$, $\pi$, $e$ — нормальность не доказана; явные нормальные числа приходится строить нарочно, вроде $0{,}123456789101112\ldots$ Дэвида Чамперноуна (1933).
Точку выбирают случайно и равномерно на отрезке $[0;\,1]$. С какой вероятностью она попадёт в толстое канторово множество?
Вероятность — это мера. Мера толстого канторова множества равна $1 - \frac12 = \frac12$: из отрезка выброшены интервалы суммарной длины $\frac12$. Значит, вероятность $\frac12$ — хотя в этом множестве нет ни одного отрезка. Для обычного канторова множества ответ был бы $0$.
Куда дальше
Лебег дал интеграл, с которым пределы уживаются: функции, которые почти всюду сходятся и не выходят за одну интегрируемую мажоранту, переносят предел под знак интеграла. Он же подсказал, как смотреть на функции по-новому. Если две функции совпадают почти всюду, их интегралы одинаковы, и различать их незачем: можно считать их одной и той же точкой. Расстояние между такими точками — площадь между графиками, $\int |f - g|\,d\mu$, или $\sqrt{\int (f - g)^2\,d\mu}$, если хочется теоремы Пифагора. Получается пространство, у которого бесконечно много измерений и в котором последовательности, сходящиеся «сами в себе», имеют пределы — ровно благодаря теоремам этой главы. Можно ли работать с функциями как с векторами — мерить углы, проектировать, раскладывать по базису? Это глава 55.