Часть V · Линейная алгебра Глава 35 из 60
Матрицы как преобразования
Четыре числа в два столбца умеют повернуть плоскость, растянуть её, перекосить, отразить в зеркале или сплющить в прямую. Научимся читать матрицу как чертёж деформации: собирать деформации в цепочки, отменять их и по одному числу узнавать, во сколько раз меняется площадь.
Опирается на: 15 · Комплексные числа 22 · Векторы и координаты
Вы научитесь
- по матрице видеть преобразование, а по преобразованию записывать матрицу: столбцы — образы векторов e₁ и e₂
- умножать матрицы как композицию преобразований и помнить, почему порядок важен
- понимать определитель как множитель площади со знаком и находить обратную матрицу 2 × 2
Прошлая глава закончилась самым простым отображением комплексной плоскости — умножением на число. Умножить на $a = p + qi$ значит повернуть плоскость вокруг нуля на угол $\arg a$ и растянуть в $|a|$ раз. Единица при этом уходит в точку $a$, то есть в $(p;\,q)$, а мнимая единица $i$ — в $ia = -q + pi$, в точку $(-q;\,p)$: тот же отрезок, повёрнутый на прямой угол. Клетчатая сетка переходит в клетчатую. Клетки становятся крупнее и поворачиваются, но остаются квадратами.
У такого отображения два рычага, и они связаны: куда повернёшь первый, туда же, на четверть оборота дальше, встанет второй. Разомкнём эту связь. Пусть точка $(1;\,0)$ уходит куда угодно и точка $(0;\,1)$ тоже куда угодно, независимо от первой. Клетки перестанут быть квадратами: они вытянутся, перекосятся, вывернутся наизнанку, а то и сплющатся в отрезок. Все эти деформации — повороты, растяжения, отражения, сдвиги, проекции — записываются четырьмя числами в два столбца. Глава устроена как мастерская: разберём, как такая запись работает, научимся собирать деформации в цепочки и отменять их, а в конце выйдем в пространство.
Одна договорённость перед работой. С этой главы векторы обозначаем жирными буквами, $\mathbf v$ вместо $\vec v$, как принято в линейной алгебре. Координаты вектора пишем столбцом: $\mathbf v = \left(\begin{smallmatrix} v_1 \\ v_2 \end{smallmatrix}\right)$, а в строке текста, чтобы не ломать её, — через точку с запятой: $(1;\,-1)$ означает столбец $\left(\begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \end{smallmatrix}\right)$. Единичные векторы осей, которые в главе 22 звались $\vec i$ и $\vec j$, теперь называются $\mathbf e_1 = (1;\,0)$ и $\mathbf e_2 = (0;\,1)$.
Два рычага
Какие преобразования плоскости мы будем изучать? Умножение на комплексное число подсказывает ответ. Оно уважает сложение и умножение на действительные числа: $a(z + w) = az + aw$ и $a(cz) = c(az)$. Этих двух свойств и потребуем.
Отображение $L$, которое векторам сопоставляет векторы, называют линейным, если для любых векторов $\mathbf u$, $\mathbf v$ и любого числа $c$
$$L(\mathbf u + \mathbf v) = L\mathbf u + L\mathbf v, \qquad L(c\mathbf v) = c\,L\mathbf v.$$
Линейное отображение плоскости в себя (или пространства в себя) называют ещё линейным преобразованием.
Из определения сразу видно, как ведёт себя такое преобразование. Начало координат остаётся на месте: $L\mathbf 0 = L(0 \cdot \mathbf v) = 0 \cdot L\mathbf v = \mathbf 0$. Прямая, которая проходит через точку $\mathbf p$ в направлении $\mathbf d$, состоит из точек $\mathbf p + t\mathbf d$, и они переходят в точки $L\mathbf p + t\,L\mathbf d$. Это снова прямая с направлением $L\mathbf d$, если $L\mathbf d \ne \mathbf 0$, или одна точка, если $L\mathbf d = \mathbf 0$. У параллельных прямых направление общее, поэтому и образы у них параллельны. Точки, идущие по прямой через равные шаги $t = 0, 1, 2, \dots$, переходят в точки через равные шаги. Значит, клетчатая сетка превращается в сетку из одинаковых параллелограммов, а начало координат стоит на месте. Это и есть портрет линейного преобразования.
Какое из этих преобразований плоскости не линейное?
Линейное преобразование обязано оставлять начало координат на месте, а перенос сдвигает его в точку $(1;\,0)$. Проверка по определению: $L(\mathbf u + \mathbf v) = \mathbf u + \mathbf v + \mathbf e_1$, а $L\mathbf u + L\mathbf v = \mathbf u + \mathbf v + 2\mathbf e_1$. Переносы живут в соседнем классе аффинных преобразований: линейное плюс сдвиг на постоянный вектор.
Главное свойство линейного преобразования: оно целиком определяется тем, куда уходят два вектора $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$. Два рычага управляют всей плоскостью.
Если $L$ — линейное преобразование плоскости, то для любого вектора $\mathbf v = (v_1;\,v_2)$
$$L\mathbf v = v_1\,L\mathbf e_1 + v_2\,L\mathbf e_2.$$
Обратно, для любых двух векторов $\mathbf a_1$ и $\mathbf a_2$ формула $L\mathbf v = v_1\mathbf a_1 + v_2\mathbf a_2$ задаёт линейное преобразование, которое переводит $\mathbf e_1$ в $\mathbf a_1$, а $\mathbf e_2$ в $\mathbf a_2$.
Хитрость в том, чтобы прочитать вектор как маршрут по клетчатой сетке. Линейное преобразование переносит маршрут на свою, косую сетку шаг за шагом.
Значит, линейных преобразований плоскости ровно столько, сколько пар векторов $(\mathbf a_1, \mathbf a_2)$, и каждое задаётся четырьмя числами — координатами этих векторов. Возьмите рычаги в руки.
Чертёж в два столбца
Раз преобразование задают два вектора, их координаты удобно записать рядом: первый столбцом слева, второй столбцом справа.
Матрица — прямоугольная таблица чисел. Матрица линейного преобразования плоскости $A$ — таблица $2 \times 2$, в первом столбце которой стоят координаты вектора $A\mathbf e_1$, а во втором — координаты $A\mathbf e_2$:
$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad A\mathbf e_1 = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}, \quad A\mathbf e_2 = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}.$$
Элемент в строке $i$ и столбце $j$ обозначают $a_{ij}$.
Матрицу и преобразование обозначают одной буквой: $A\mathbf v$ — это образ вектора $\mathbf v$. По теореме о двух рычагах он вычисляется так.
Правая часть формулы даёт привычное правило «строка на столбец»: чтобы получить $i$-ю координату $A\mathbf v$, пройдите по $i$-й строке матрицы и по столбцу $\mathbf v$, перемножая числа попарно, и сложите. Это скалярное произведение строки на вектор. Но думать полезнее столбцами: результат — комбинация столбцов матрицы с коэффициентами из $\mathbf v$.
Самая скромная матрица ничего не двигает: она оставляет $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$ на месте.
Единичная матрица $E = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ — матрица тождественного преобразования: $E\mathbf v = \mathbf v$ для любого $\mathbf v$. В англоязычных книгах её обозначают $I$. Такие же матрицы с единицами на главной диагонали и нулями вне её бывают любого размера $n \times n$.
Найдите $A\mathbf v$ для $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ и $\mathbf v = (2;\,1)$.
Столбцами: $A\mathbf v = 2\,(1;\,3) + 1\,(-2;\,0) = (2 - 2;\ 6 + 0) = (0;\,6)$. Строками — то же самое: $1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 0$ и $3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 6$.
Линейное преобразование переводит $\mathbf e_1$ в $(2;\,1)$, а $\mathbf e_2$ в $(-1;\,3)$. Куда оно переводит вектор $(3;\,-2)$?
Матрица не нужна, хватит теоремы о двух рычагах: образ равен $3\,(2;\,1) - 2\,(-1;\,3) = (6 + 2;\ 3 - 6) = (8;\,-3)$.
Каталог деформаций
Теперь любое знакомое преобразование можно записать матрицей, почти не считая: достаточно спросить, куда оно отправит $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$. Поворот на угол $\varphi$ переводит $\mathbf e_1$ в $(\cos\varphi;\,\sin\varphi)$, а $\mathbf e_2$ — в $(-\sin\varphi;\,\cos\varphi)$; ровно это и было доказано в главе о симметрии. Остальные строки каталога получаются так же.
| Преобразование | Матрица |
|---|---|
| Гомотетия с коэффициентом $k$ | $\left(\begin{smallmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{smallmatrix}\right)$ |
| Растяжение вдоль оси $x$ в $k$ раз | $\left(\begin{smallmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ |
| Поворот на угол $\varphi$ | $\left(\begin{smallmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{smallmatrix}\right)$ |
| Отражение в прямой через $O$ под углом $\alpha$ к оси $x$ | $\left(\begin{smallmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{smallmatrix}\right)$ |
| Сдвиг вдоль оси $x$ | $\left(\begin{smallmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ |
| Ортогональная проекция на прямую через $O$ под углом $\alpha$ | $\left(\begin{smallmatrix} \cos^2\alpha & \sin\alpha\cos\alpha \\ \sin\alpha\cos\alpha & \sin^2\alpha \end{smallmatrix}\right)$ |
| Умножение на $p + qi$ | $\left(\begin{smallmatrix} p & -q \\ q & p \end{smallmatrix}\right)$ |
Проекция на прямую с единичным вектором $\mathbf u = (\cos\alpha;\,\sin\alpha)$ переводит вектор $\mathbf v$ в его тень $(\mathbf u \cdot \mathbf v)\,\mathbf u$ (глава 22). Для $\mathbf v = \mathbf e_1$ тень равна $\cos\alpha \cdot \mathbf u = (\cos^2\alpha;\,\sin\alpha\cos\alpha)$ — это первый столбец. Отражение переводит $\mathbf v$ в $2(\mathbf u \cdot \mathbf v)\,\mathbf u - \mathbf v$: тень, отложенная дважды, минус сам вектор; отсюда столбцы $(2\cos^2\alpha - 1;\ 2\sin\alpha\cos\alpha) = (\cos 2\alpha;\ \sin 2\alpha)$ и $(\sin 2\alpha;\ -\cos 2\alpha)$, совпадающие с формулой из главы 23. Последняя строка — прошлая глава: $(p + qi)(x + yi) = (px - qy) + (qx + py)i$, поэтому $\mathbf e_1$ уходит в $(p;\,q)$, а $\mathbf e_2$ в $(-q;\,p)$.
Сдвиг вдоль оси $x$ с коэффициентом $k$ — преобразование $(x;\,y) \mapsto (x + ky;\ y)$. Каждая точка смещается параллельно оси $x$, и тем дальше, чем выше она стоит. Так перекашивается стопка бумаги, если толкнуть её верхний лист. Не путайте сдвиг с параллельным переносом, который в обиходе тоже зовут сдвигом: перенос двигает все точки одинаково, а сдвиг оставляет ось $x$ на месте.
Сдвиг хорошо показывает, как устроено линейное преобразование. Площадь при нём не меняется: квадрат превращается в параллелограмм с тем же основанием и той же высотой (глава о площади). А углы и длины меняются, и потому сдвиг не движение. В мастерской выше он — одна из заготовок.
Конвейер
Поставим два преобразования друг за другом: сначала $B$, потом $A$. Вектор $\mathbf v$ сначала уходит в $B\mathbf v$, а тот — в $A(B\mathbf v)$. Цепочка снова линейна: $A(B(\mathbf u + \mathbf v)) = A(B\mathbf u + B\mathbf v) = A(B\mathbf u) + A(B\mathbf v)$, и так же с множителем. Значит, у неё есть своя матрица.
Произведение матриц $AB$ — матрица преобразования «сначала $B$, потом $A$»: $(AB)\mathbf v = A(B\mathbf v)$ для любого $\mathbf v$.
Буквы читаются справа налево, как в записи $f(g(x))$ из главы о функциях: ближе к вектору стоит то, что действует первым.
$j$-й столбец матрицы $AB$ равен $A$, умноженной на $j$-й столбец матрицы $B$. В координатах элемент в строке $i$ и столбце $j$ — это $i$-я строка $A$, умноженная на $j$-й столбец $B$.
Столбцы матрицы — образы векторов $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$. По определению произведения $(AB)\mathbf e_j = A(B\mathbf e_j)$, а $B\mathbf e_j$ — это $j$-й столбец $B$. Остаётся умножить $A$ на этот столбец по правилу «строка на столбец».
Пример показывает главную странность матричной арифметики: $AB$ и $BA$ бывают разными. Надеть носки и потом ботинки — не то же, что ботинки и потом носки. Зато скобки можно расставлять как угодно.
Для любых матриц $A$, $B$, $C$ одного размера $(AB)C = A(BC)$.
Обе части — матрицы одного и того же преобразования. Для любого вектора $\mathbf v$ по определению произведения $\bigl((AB)C\bigr)\mathbf v = (AB)(C\mathbf v) = A\bigl(B(C\mathbf v)\bigr)$ и $\bigl(A(BC)\bigr)\mathbf v = A\bigl((BC)\mathbf v\bigr) = A\bigl(B(C\mathbf v)\bigr)$: в обоих случаях сначала действует $C$, потом $B$, потом $A$. Преобразования совпадают на всех векторах, значит, совпадают и их матрицы — ведь столбцы матрицы суть образы $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$.
$A$ — поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки, $B$ — отражение в оси $x$. Совпадают ли $AB$ и $BA$?
$AB$: вектор $\mathbf e_1$ отражение оставляет на месте, а поворот отправляет в $\mathbf e_2$; вектор $\mathbf e_2$ отражение переводит в $-\mathbf e_2$, поворот — в $\mathbf e_1$. Получается $AB = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ — отражение в прямой $y = x$. А $BA = \left(\begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$ — отражение в прямой $y = -x$.
Бывает и так, что порядок не важен. Два поворота вокруг начала координат перестановочны: углы просто складываются. Перестановочны и все матрицы вида $\left(\begin{smallmatrix} p & -q \\ q & p \end{smallmatrix}\right)$: они умножаются как комплексные числа $p + qi$, а у комплексных чисел умножение переместительно. Так комплексные числа живут внутри матриц $2 \times 2$ — как маленький уголок, где арифметика привычная.
Счётчик площади
Единичный квадрат со сторонами $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$ матрица $A$ превращает в параллелограмм на её столбцах $(a;\,c)$ и $(b;\,d)$. Его площадь мы уже умеем находить: в главе 22 доказано, что она равна $|ad - bc|$, а у самого числа $ad - bc$ есть знак — плюс, если второй столбец смотрит налево от первого, и минус, если направо. В главе о системах то же выражение встречалось как определитель системы $\Delta$. Пора дать ему имя окончательно.
Определитель матрицы $A = \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)$ — число $\det A = ad - bc$. Его пишут и так: $\left|\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right|$.
Упорядоченная пара неколлинеарных векторов имеет ориентацию: положительную, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму идёт против часовой стрелки, как от $\mathbf e_1$ к $\mathbf e_2$, и отрицательную, если по часовой. Знак $\det A$ говорит, сохраняет ли $A$ ориентацию пары $(\mathbf e_1, \mathbf e_2)$. Если $\det A < 0$, преобразование выворачивает плоскость, как зеркало: правая перчатка становится левой.
Квадрат — только начало. Почему площадь любой фигуры меняется в то же число раз? Потому что любую фигуру можно сложить из маленьких квадратиков, а все квадратики преобразование меняет одинаково.
Линейное преобразование с матрицей $A$ переводит любую фигуру площади $S$ в фигуру площади $|\det A| \cdot S$.
Хитрость в том, что все квадратики сетки преобразование меняет одинаково: каждый превращается в копию одного и того же параллелограмма.
Треугольник площади $6$ подвергли преобразованию с матрицей $\left(\begin{smallmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{smallmatrix}\right)$. Какова площадь образа?
$\det A = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 10$, поэтому площадь умножается на $10$ и становится $60$. Образ треугольника — снова треугольник: отрезки переходят в отрезки.
Последний опыт в виджете — больше, чем наблюдение. Определитель зависит от столбцов непрерывно, и чтобы из положительного стать отрицательным, он должен пройти через ноль. Поэтому никакое плавное движение рычагов не превратит кораблик в его зеркальное отражение, не сплющив его по дороге. Так и перчатку нельзя вывернуть в другую руку поворотами на плоскости стола.
Теперь цепочки. Если $B$ умножает площади на $|\det B|$, а следом $A$ — на $|\det A|$, то вся цепочка умножает их на произведение. С ориентацией то же: два зеркала подряд её возвращают. Всё это умещается в одно равенство.
Для любых матриц $A$ и $B$ размера $2 \times 2$: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.
Хитрость в том, чтобы считать площадь параллелограмма в клетках косой сетки: в ней столбцы $AB$ стоят там же, где столбцы $B$ стояли в клетчатой.
Как связаны $\det(2A)$ и $\det A$ для матрицы $A$ размера $2 \times 2$?
Матрица $2A$ — это $A$, за которой идёт гомотетия с коэффициентом $2$, а гомотетия увеличивает площади вчетверо: $\det(2A) = \det(2E)\det A = 4\det A$. Прямо по формуле: $(2a)(2d) - (2b)(2c) = 4(ad - bc)$. В пространстве объёмы при гомотетии растут в $8$ раз, и для матриц $3 \times 3$ будет $\det(2A) = 8\det A$.
Особый случай — нулевой определитель. Тогда столбцы лежат на одной прямой, образ квадрата сплющен в отрезок, а вся плоскость — в прямую (или, у нулевой матрицы, в точку).
Квадратную матрицу с нулевым определителем называют вырожденной. Её преобразование сплющивает плоскость в прямую или в точку и отправляет в ноль какой-нибудь ненулевой вектор: если $ad - bc = 0$, то $A\,(d;\,-c) = (ad - bc;\ cd - dc) = \mathbf 0$ и $A\,(-b;\,a) = (-ab + ba;\ -cb + da) = \mathbf 0$, а хотя бы один из этих векторов ненулевой, если только $A$ не нулевая матрица.
Ещё одна операция понадобится в следующих главах. Если поменять в матрице строки и столбцы ролями, получится транспонированная матрица $A^{\mathsf T}$: $\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)^{\mathsf T} = \left(\begin{smallmatrix} a & c \\ b & d \end{smallmatrix}\right)$. Вектор-столбец после транспонирования становится строкой, и скалярное произведение записывается как произведение матриц: $\mathbf x^{\mathsf T}\mathbf y = x_1y_1 + x_2y_2$. В университетских главах его обозначают $\langle \mathbf x, \mathbf y\rangle$.
Для любой матрицы $A$ размера $2 \times 2$ выполняется $\det A^{\mathsf T} = \det A$.
У матрицы $A^{\mathsf T} = \left(\begin{smallmatrix} a & c \\ b & d \end{smallmatrix}\right)$ определитель равен $ad - cb$, а это то же число, что $ad - bc$. Геометрически: параллелограмм на строках матрицы имеет ту же площадь со знаком, что и параллелограмм на её столбцах. Для матриц $3 \times 3$ то же равенство проверим в разделе о пространстве; оно верно и для матриц любого размера, потому что в общей формуле определителя строки и столбцы равноправны.
Задний ход
Каждое ли преобразование можно отменить? Поворот на $30^\circ$ отменяется поворотом на $-30^\circ$, растяжение в $3$ раза — сжатием втрое, сдвиг вправо — сдвигом влево. А проекцию на ось $x$ отменить нельзя: точки $(2;\,5)$ и $(2;\,-1)$ обе попадают в $(2;\,0)$, и по образу уже не узнать, откуда пришла точка.
Матрицу $A^{-1}$ называют обратной к квадратной матрице $A$, если $A^{-1}A = AA^{-1} = E$: сделать $A$, а потом $A^{-1}$ — то же, что ничего не делать, и наоборот. Матрицу, у которой есть обратная, называют обратимой.
Матрица $A = \left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)$ обратима тогда и только тогда, когда $\det A \ne 0$, и тогда
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
Идея: переставить диагональные элементы и сменить знак у остальных — получится матрица, которая почти отменяет $A$, ошибаясь только в множителе $\det A$.
Обозначим $A^{*} = \left(\begin{smallmatrix} d & -b \\ -c & a \end{smallmatrix}\right)$ и перемножим по правилу «строка на столбец»: $AA^{*} = \left(\begin{smallmatrix} ad - bc & -ab + ba \\ cd - dc & -cb + da \end{smallmatrix}\right) = (ad - bc)\,E$ и точно так же $A^{*}A = \left(\begin{smallmatrix} da - bc & db - bd \\ -ca + ac & -cb + ad \end{smallmatrix}\right) = (ad - bc)\,E$. Если $\det A \ne 0$, разделим на него: матрица $\frac{1}{\det A}A^{*}$ удовлетворяет обоим равенствам определения, то есть обратна к $A$.
Если $\det A = 0$, то, как мы видели, $A\mathbf w = \mathbf 0$ для некоторого $\mathbf w \ne \mathbf 0$. Будь у $A$ обратная, получилось бы $\mathbf w = E\mathbf w = A^{-1}(A\mathbf w) = A^{-1}\mathbf 0 = \mathbf 0$ — противоречие. Заодно видно, что при $\det A \ne 0$ преобразование взаимно однозначно: из $A\mathbf u = A\mathbf v$ следует $\mathbf u = A^{-1}A\mathbf u = A^{-1}A\mathbf v = \mathbf v$. Этим фактом мы пользовались в доказательстве о площади.
Обратная матрица решает системы уравнений. Система $3x + y = 7$, $x + 2y = 4$ — это одно векторное уравнение $A\mathbf x = \mathbf b$ с $A = \left(\begin{smallmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ и $\mathbf b = (7;\,4)$. Мы ищем вектор, который $A$ отправляет в $\mathbf b$. Умножим обе части слева на $A^{-1}$: $\mathbf x = A^{-1}\mathbf b = \frac15\,(2 \cdot 7 - 4;\ -7 + 3 \cdot 4) = (2;\,1)$. Проверка: $3 \cdot 2 + 1 = 7$, $2 + 2 \cdot 1 = 4$. Если расписать $A^{-1}\mathbf b$ в буквах, получатся ровно формулы Крамера из главы 11, а условие $\Delta \ne 0$ оттуда теперь читается так: преобразование не сплющивает плоскость.
Решите систему $2x + y = 5$, $3x + 2y = 8$ с помощью обратной матрицы. Ответ запишите как точку $(x;\,y)$.
$A = \left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix}\right)$, $\det A = 4 - 3 = 1$, поэтому $A^{-1} = \left(\begin{smallmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{smallmatrix}\right)$ — целая матрица. Тогда $\mathbf x = A^{-1}\,(5;\,8) = (10 - 8;\ -15 + 16) = (2;\,1)$. Проверка: $4 + 1 = 5$, $6 + 2 = 8$.
Как отменить цепочку? Утром надевают носки, потом ботинки. Вечером разуваются в обратном порядке: сначала ботинки, потом носки. С матрицами так же.
Если матрицы $A$ и $B$ обратимы, то обратимо и произведение $AB$, и $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
Хитрость в том, чтобы идти по конвейеру назад: первой отменяется та операция, которая была сделана последней.
Руку на матричных вычислениях — умножении на вектор, произведении, определителе и обратной — можно набить в тренажёре. А любую свою матрицу разобрать по шагам поможет решатель.
Третье измерение
В пространстве всё устроено так же, только рычагов три. Линейное преобразование пространства определяется образами векторов $\mathbf e_1 = (1;\,0;\,0)$, $\mathbf e_2 = (0;\,1;\,0)$, $\mathbf e_3 = (0;\,0;\,1)$ — доказательство теоремы о двух рычагах дословно проходит с тремя. Матрица — таблица $3 \times 3$ из трёх столбцов $A\mathbf e_1$, $A\mathbf e_2$, $A\mathbf e_3$, умножение на вектор — та же комбинация столбцов, произведение — та же композиция. Кубик со сторонами $\mathbf e_1$, $\mathbf e_2$, $\mathbf e_3$ превращается в параллелепипед на трёх столбцах.
Поворот на угол $\varphi$ вокруг оси $z$ оставляет $\mathbf e_3$ на месте и поворачивает плоскость $xy$, поэтому его матрица — матрица поворота плоскости, обрамлённая нулями и единицей: $\left(\begin{smallmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$. Проекция на плоскость $xy$ отправляет $\mathbf e_3$ в ноль: $\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$.
Роль площади играет объём. Параллелепипед на векторах $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$ имеет объём «площадь основания на высоту», и векторное произведение из главы 22 позволяет посчитать его по координатам.
Объём параллелепипеда на векторах $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$ равен $|\det A|$, где $A$ — матрица со столбцами $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$, а определитель $3 \times 3$ вычисляется по правилу Саррюса:
$$\det A = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 - c_1b_2a_3 - a_1c_2b_3 - b_1a_2c_3.$$
Знак $\det A$ положителен, если тройка $\mathbf a$, $\mathbf b$, $\mathbf c$ правая, как $\mathbf e_1$, $\mathbf e_2$, $\mathbf e_3$, и отрицателен, если левая.
Хитрость в том, что векторное произведение $\mathbf a \times \mathbf b$ одновременно даёт и площадь основания (своей длиной), и направление высоты.
Все теоремы о площади переносятся на объём дословно, только вместо квадратиков — кубики: преобразование пространства умножает объёмы на $|\det A|$, и $\det(AB) = \det A \cdot \det B$. А равенство $\det A^{\mathsf T} = \det A$ для $3 \times 3$ видно из формулы Саррюса: транспонирование переставляет роли строк и столбцов и переводит каждое из шести произведений в произведение из того же списка с тем же знаком.
Куда дальше
Решить систему $A\mathbf x = \mathbf b$ — значит найти вектор, который преобразование $A$ отправляет в $\mathbf b$, то есть отменить преобразование. Для двух неизвестных хватило формулы обратной матрицы. Но в январе 1801 года астроном Джузеппе Пьяцци нашёл новое небесное тело, Цереру, проследил за ним несколько недель и потерял в лучах Солнца. Чтобы вычислить орбиту по горстке наблюдений, двадцатичетырёхлетний Гаусс решал системы со многими неизвестными. Формулы с определителями здесь безнадёжны: определитель $20 \times 20$, расписанный по образцу правила Саррюса, состоит из $20! \approx 2{,}4 \cdot 10^{18}$ произведений, и компьютер, делающий миллиард умножений в секунду, считал бы их больше семидесяти лет. Как отменить преобразование за несколько тысяч действий, расскажет глава 36.