Царица наук
Дискретная математика
Все главы курса по темам, уровням и частям. Можно выбрать несколько тем сразу — например, «Головоломки» и «Вероятность».
0
Что такое математика
Пять точек на окружности режут круг на 16 частей, шесть — на 31, хотя рука сама пишет 32. С этой ловушки начинается курс: почему математике мало примеров, чем она их заменяет и какие семь вопросов ждут впереди.
1
Счёт: от зарубок до битов
Как записать число, для которого не хватит ни пальцев, ни зарубок на палке? Пройдём по залам музея счёта — от кости с насечками до двоичного кода — и посмотрим, как люди научились укладывать любое число в несколько знаков.
2
Ноль и минус
Сколько будет 3 − 5? Скептик из XVII века уверен, что нисколько, а «минус на минус» считает бессмыслицей. Поспорим с ним по правилам: каждое правило знаков придётся отстоять.
3
Простые числа
Есть числа, которые нельзя разбить на множители. Из них умножением собирается всё остальное, их бесконечно много, а где встретится следующее, заранее не скажет никто.
4
Делимость и алгоритм Евклида
Головоломки про календарь, длинное число, плитку, кувшины и монеты — и один ответ на все: наибольший общий делитель и способ найти его, которому больше двух тысяч лет.
5
Дроби
Как честно разделить семь пирогов на троих, почему при делении дробь переворачивают и откуда в записи одной седьмой бесконечная карусель цифр 142857.
6
Корень из двух и действительные числа
Дело о диагонали квадрата: три независимые экспертизы доказывают, что её длину нельзя записать дробью. Разбираемся, как с этим жили вавилоняне, что такое цепные дроби и откуда берутся действительные числа.
7
Буквы вместо чисел
Фокусник угадывает задуманное число и считает в уме быстрее калькулятора. Разоблачим его фокусы один за другим — и по дороге научимся записывать правило, верное сразу для всех чисел.
8
Уравнения: искусство равновесия
Уравнение — это весы в равновесии, на которых лежит коробка неизвестного веса. Научимся снимать с чаш лишнее так, чтобы весы не дрогнули, и узнаем, откуда взялось само слово «алгебра».
9
Функции и графики
Бывает, что ответ на вопрос — не число, а правило. Поиграем с машинами, которые превращают одни числа в другие: научимся разгадывать их по нескольким броскам, видеть целиком на одном рисунке, настраивать, соединять в конвейер и запускать задом наперёд.
10
Квадратные уравнения
Задаче, которой закончилась прошлая глава, без малого четыре тысячи лет. Раскопаем её слой за слоем — от глиняной таблички до формулы корней — и посмотрим, что эта формула говорит на самом деле.
11
Системы уравнений и неравенства
Когда условий несколько, одного уравнения мало. Откроем маленькую мастерскую игрушек: найдём цены по двум накладным, посчитаем на древнекитайской счётной доске, упрёмся в ограничения склада и выясним, почему самый выгодный план всегда стоит в углу.
12
Степени и логарифмы
Величина, которая на каждом шаге умножается, рано или поздно перерастает любую, которая прибавляется, и обычно раньше, чем кажется. Устроим гонку ростов, а потом найдём инструмент, который превращает умножение в сложение и укрощает астрономические числа.
13
Последовательности и индукция
Как сложить сто чисел за минуту, почему бесконечная сумма бывает конечной и как доказать утверждение сразу для всех n — поставив в ряд костяшки домино и толкнув первую.
14
Многочлены
В 1535 году в Венеции два математика обменялись тридцатью задачами, и все задачи одного из них были кубическими уравнениями. Проследим историю этого поединка до конца, а по дороге соберём оружие, которым с тех пор решают уравнения высоких степеней.
15
Комплексные числа
Число, квадрат которого равен −1, почти триста лет считали невозможным. Проследим, как оно превращалось из фокуса в символ, из символа в точку, а из точки в поворот, и что после этого стало с уравнениями.
16
Начала: аксиомы и построения
Около 300 года до нашей эры в Александрии написали книгу, которая учит отличать «видно на чертеже» от «верно всегда». Её правила — циркуль и линейка, и по ним можно играть.
17
Треугольник
Лаборатория с одним прибором — подвижным треугольником. Двигаем вершины, замечаем, что не меняется, и доказываем, почему: от признаков равенства до прямой Эйлера.
18
Теорема Пифагора
Самая знаменитая теорема геометрии и её галерея: пять залов, в каждом своё доказательство — китайское, Евклида, через подобие, президентское и головоломка без формул. На выходе — целые тройки, расстояния и загадка Ферма.
19
Окружность и число π
Погоня за одним числом длиной в четыре тысячи лет — от верёвки вокруг бочки до суперкомпьютеров. По дороге — теоремы об окружности: угол на диаметре, вписанный угол, касательная, хорды крест-накрест и площадь круга.
20
Площадь и объём
Мастерская с ножницами: режем фигуры, перекладываем куски и выясняем, что такое площадь. Любой многоугольник перекраивается в любой другой той же площади — а круг и куб ножницам не поддаются.
21
Тригонометрия
Экспедиция землемеров: от тени шеста к ширине реки, высоте горы и размеру всей Земли. По дороге углы превращаются в числа — синус, косинус, тангенс, — а окружность разматывается в волну.
22
Векторы и координаты
Мотор тянет лодку в одну сторону, течение — в другую, ветер дует в третью. Штурман складывает всё это стрелками и считает со стрелками так же уверенно, как с числами.
23
Симметрия и преобразования
Мастерская орнаментов: рисуем мотив, а зеркала, повороты и сдвиги превращают его в розетку, бордюр и обои. По дороге выяснится, что способов подвинуть плоскость без искажений всего четыре, а способов повторить узор по всей плоскости — семнадцать.
24
Конические сечения
Рассечём конус плоскостью — и получим кривые, по которым летают планеты, кометы и межзвёздные гости. Одна ночь в обсерватории: от чертежей Аполлония до спутниковых тарелок и орбиты Земли.
25
Пределы
Скорость в одно мгновение выглядит как ноль, делённый на ноль. Полтора века математики пользовались ею, не умея объяснить, что это такое. Объяснение оказалось игрой против упрямого противника — выучим её правила.
26
Производная
Что на самом деле показывает спидометр? Сядем в машину с видеорегистратором, превратим среднюю скорость в мгновенную и научимся находить наклон любого гладкого графика в любой его точке.
27
Экстремумы и оптимизация
Конкурс изобретателей: коробка из листа, камера на трассе, спасатель на пляже, консервная банка и корень из двух на калькуляторе без кнопки корня. В каждом задании вариантов бесконечно много, и производная находит лучший.
28
Интеграл
Биография одной идеи: разрезать фигуру на тонкие полоски и сложить их. Она родилась в Сиракузах, повзрослела в век неделимых, встретилась с касательной у Ньютона и Лейбница и получила строгое определение от Римана.
29
Число e и экспонента
Одно и то же число 2,71828… замечали в банке, на графике, под гиперболой, в радиоактивном распаде, на окружности, в гардеробе и на смотринах невесты. Запишем все встречи с ним, как натуралист в полевом дневнике, и выясним, одно ли это число или несколько похожих.
30
Ряды
Бесконечную сумму сложить можно, но обращаться с ней надо осторожно: одна сходится, другая уходит в бесконечность, третья меняет ответ, стоит переставить слагаемые. Пройдём по кунсткамере бесконечных сумм — от стопки книг над пропастью до многочлена, который выдаёт себя за синус.
31
Дифференциальные уравнения
Законы природы редко говорят, сколько чего будет, — они говорят, как быстро это меняется. Заходим в лабораторию, где из таких законов выращивают процессы: остывающий кофе, пружину, волков и зайцев, эпидемию. И выясняем, почему однозначное будущее ещё не значит предсказуемое.
32
Функции многих переменных
Высота на горном склоне зависит сразу от двух координат. Возьмём карту, лупу и компас и выясним, куда такая функция растёт быстрее всего, где у неё вершины и перевалы и почему площадь под колоколом Гаусса равна корню из π.
33
Ряды Фурье
Звук скрипки, температуру в кольце и контур, нарисованный пальцем, можно разобрать на синусоиды и собрать обратно. Узнаем, как по кривой найти её гармоники, почему у ступеньки всегда остаётся звон и как тот же приём сжимает фотографии и музыку.
34
Комплексный анализ
Функцию комплексного переменного не нарисуешь графиком, зато её можно повесить на стену картиной. Пройдём по выставке таких картин и узнаем, почему ряд для 1/(1 + x²) сходится только при |x| < 1 и почему у любого многочлена есть корень.
35
Матрицы как преобразования
Четыре числа в два столбца умеют повернуть плоскость, растянуть её, перекосить, отразить в зеркале или сплющить в прямую. Научимся читать матрицу как чертёж деформации: собирать деформации в цепочки, отменять их и по одному числу узнавать, во сколько раз меняется площадь.
36
Метод Гаусса
Как по нескольким наблюдениям найти потерянную планету: систему из многих уравнений превращаем в лесенку и читаем ответ снизу вверх. По ступенькам сразу видно, одно у системы решение, бесконечно много или ни одного.
37
Векторные пространства
Стрелки, многочлены, звуковые сигналы и даже магические квадраты складываются и умножаются на числа по одним и тем же правилам. Восемь аксиом — и всё, что мы знаем о стрелках, начинает работать во всех этих мирах сразу.
38
Собственные векторы
Обычно матрица поворачивает векторы, но у многих матриц есть направления, которые она только растягивает. Найдём их — и окажется, что числа Фибоначчи, поисковик Google и наклонный эллипс устроены одинаково.
39
Ортогональность, МНК и SVD
Лаборатория данных: замеры не ложатся на прямую, облако точек вытянуто наискосок, фотография занимает слишком много места. Со всеми тремя задачами справляется одна идея — опустить перпендикуляр.
40
Группы
Картонный квадрат, колода карт, «пятнашки» и кубик Рубика — четыре головоломки, за которыми стоит одна конструкция из четырёх правил. Соберём её и узнаем, почему в «пятнашках» нельзя поменять местами 14 и 15 и сколько раз нужно повторить R U, чтобы кубик собрался снова.
41
Арифметика остатков и шифры
Как договориться о секрете, если ваш разговор слышат все? Мастерская шифровальщика: колесо Цезаря, обмен ключами, RSA — и арифметика остатков, на которой держится каждый из этих замков.
42
Кольца, поля и коды
Как исправить ошибку в сообщении, если переспросить нельзя? Журнал инженера: от тройного повтора и трёх кругов Хэмминга до полей Галуа и кодов Рида — Соломона, которые спрятаны в каждом QR-коде.
43
Теория Галуа
Почему для уравнения пятой степени нет формулы, почему угол не делится на три равные части циркулем и линейкой и почему правильный семнадцатиугольник построить можно. На все три вопроса отвечает одна идея — симметрии корней. Её автор, Эварист Галуа, погиб в двадцать лет.
44
Дзета-функция и эллиптические кривые
Насколько точна формула Гаусса для числа простых? Ответ спрятан в нулях одной функции комплексного переменного, и где лежат все эти нули, не знает никто. По соседству — кривые третьей степени, на которых точки складываются, как числа: они доказали теорему Ферма и охраняют ваш банк.
45
Комбинаторика
Вечер настольных игр: кости, карты, фишки, шляпы и гости. Научимся считать варианты, не выписывая их, и увидим, что в достаточно большой компании какой-то порядок возникает сам собой.
46
Графы
Прогулка по городу: мосты, перекрёстки, дороги и карты. Эйлер оставил от города только точки и линии между ними — и решил задачу о мостах. Тем же приёмом сегодня прокладывают маршруты, составляют расписания и раскрашивают карты.
47
Вероятность
Суд над интуицией: семь дел об ошибках рассуждений о шансах — за игорным столом, в телестудии, в кабинете врача и в зале суда. Научимся считать вероятности и узнавать ловушки, в которые попадали игроки, профессора и присяжные.
48
Случайные величины
Лаборатория случайности: бросаем кости и иглы, роняем шарики на гвозди, считаем удары копытом. Каждый закон сначала наблюдаем в опыте, потом доказываем — и видим, почему среднее многих случайных чисел почти не случайно.
49
Статистика
Пять газетных заголовков — пять разборов. Средняя зарплата, опрос с погрешностью в три процента, «доказанное» лекарство, шоколад и Нобелевские премии, приём в университет: учимся судить о целом по выборке и не обманывать себя.
50
Цепи Маркова и информация
Буквы в тексте зависят от предыдущих, погода — от вчерашней. Посчитаем эту зависимость, как Марков в «Евгении Онегине», и измерим, сколько информации несёт буква, как Шеннон.
51
Логика и множества
Пятьдесят глав мы говорили «для любого», «существует», «следовательно» и «множество», не заглядывая в грамматику. Выучим её на острове, где одни жители всегда говорят правду, а другие всегда лгут.
52
Бесконечности
Три собеседника Галилея спорят, чего больше: натуральных чисел или точек на отрезке. По дороге им попадутся гостиница, где всегда есть свободный номер, диагональ Кантора и башня бесконечностей без верхнего этажа.
53
Строгий анализ
Непрерывная функция без единой касательной, функция, которую нельзя нарисовать, предел непрерывных функций со скачком. Бестиарий чудовищ, из-за которых анализ стал строгим, и инструменты, которыми их приручили.
54
Мера и интеграл Лебега
Сколько весят все дроби отрезка? Ответ «ничего» заставил заново определить длину — и привёл к интегралу, которому по силам функция Дирихле, к множествам, которые нельзя измерить, к шару, из которого собирают два, и к кругу, разрезанному в квадрат.
55
Функциональный анализ
Функция — точка пространства, у которого бесконечно много измерений. В нём есть длины, углы и проекции, теорема Пифагора с бесконечным числом катетов снова даёт π²/6, а неподвижная точка сжатия рисует папоротник. Но кое-что из привычного на этой границе ломается.
56
Гёдель, Тьюринг и пределы доказательства
Головоломка из четырёх правил, число, которое говорит о себе, и программа, которую невозможно написать. В 1931 году Гёдель доказал, что в арифметике есть истинные, но недоказуемые утверждения, а в 1936-м Тьюринг — что некоторые вопросы не решает никакой алгоритм.
57
Топология
Геометрия, в которой фигуры можно мять. Кружка здесь неотличима от бублика, у бумажной ленты бывает одна сторона, узел можно доказуемо не развязать, а на Земле в любой момент есть место, где нет ветра.
58
Неевклидовы геометрии
Дневник путешествия по трём мирам. На плоскости сумма углов треугольника — ровно 180°, на сфере больше, а в мире Лобачевского меньше, и там через точку проходит бесконечно много параллельных.
59
Хаос и фракталы
Формула в одну строчку, три уравнения Лоренца, игра в кости — и поведение, которое не предскажет никакой компьютер. Лабораторный журнал из девяти опытов: почему погоду нельзя предсказать на месяц вперёд и откуда у берега дробная размерность.
60
Передний край
Курс кончается там, где кончаются ответы. Карта неизведанного: задачи тысячелетия, гипотеза Коллатца, P против NP; как математику делают сегодня — вместе, с компьютерами, Lean и ИИ; и возвращение к семи вопросам, с которых всё началось.
Ничего не нашлось. Попробуйте убрать один из фильтров.