Глава 01 из 21 Звук, синтезатор, MIDI ≈ 40 мин 5 упражнений
Струна, частота, октава
Лабораторный журнал с одной струной. Семь опытов: делаем ставку, слушаем, измеряем. В конце — ответ на вопрос, почему низкая и высокая до звучат как одна нота, и первая подсказка, откуда в октаве двенадцать клавиш.
В этой главе
- объяснить, что такое высокий и низкий звук физически, и прочитать частоту в герцах
- услышать и показать на струне октаву, квинту и кварту как отношения 2 : 1, 3 : 2, 4 : 3
- понять, почему ноты через октаву звучат как одна и та же нота
- слышать биения и подстраивать звук по ним, различать разницу меньше одной клавиши
- посчитать, почему двенадцать квинт не возвращают точно в ту же ноту
В прошлой главе ваше ухо сделало несколько вещей, которые трудно объяснить словами. Оно услышало «ту же ноту, только выше», хотя ноты были разные. Оно склеило десять звуков в один. Эта глава — про то, что за этим стоит физически. Слово «высокий» мы говорим о звуке так же легко, как о башне, но звук не бывает выше или ниже в метрах. Что тогда растёт, когда звук «поднимается»?
Глава устроена как лабораторный журнал. У нас один прибор — монохорд: одна струна над деревянным ящиком и передвижная порожка, которая делит её на две части. Больше двух тысяч лет на таком приборе изучали музыку, и почти всё, что вы узнаете ниже, можно было услышать уже на нём. В каждом опыте сначала ставка — что, по-вашему, прозвучит, — потом звук, потом измерение. Ставки ничего не стоят: угаданная приятна, неугаданная запоминается лучше.
Опыт 1. Что дрожит
Любой звук — это колебание. Струна, мембрана динамика, язычок губной гармошки ходят туда-обратно и толкают воздух. Воздух рядом то сжимается, то разрежается, и эти сгущения бегут во все стороны со скоростью около 343 метров в секунду и доходят до барабанной перепонки. Она начинает колебаться так же, как струна, — и мы слышим.
Число колебаний за одну секунду называют частотой. Единица — герц: 1 Гц — одно колебание в секунду, 440 Гц — четыреста сорок. Ниже осциллограф: картинка того, как во времени меняется давление воздуха. На экране сотая доля секунды. Включите звук и двигайте ползунок.
Чем чаще колебания, тем выше звук. Вот и весь ответ на вопрос «что такое высокий звук»: это частые колебания. То, что ухо слышит как высоту, физика измеряет как частоту. При 50 Гц на экране половина колебания, звук низкий, гудящий. При 2000 Гц — двадцать колебаний, звук тонкий, как писк. Нажмите любую клавишу на клавиатуре: осциллограф покажет её частоту. Ля первой октавы (A4) — ровно 440 Гц, до первой октавы (C4) — 261,6 Гц.
Обратите внимание на строчку «Длина волны». Пока одно колебание длится, звук успевает пролететь какое-то расстояние. У ля 440 Гц это 78 сантиметров, у низкой до малой октавы (C3) — 2,6 метра. Поэтому басовым колонкам нужны большие динамики, а пищалке хватает монетки.
Человек слышит примерно от 20 до 20 000 Гц; верхняя граница с возрастом опускается, и у взрослых часто кончается на 15–16 тысячах. Клавиатура рояля занимает скромную середину: нижняя клавиша — ля субконтроктавы (A0), 27,5 Гц, верхняя — до пятой октавы (C8), 4186 Гц. Всё, что выше, — это не новые ноты, а «блеск» и «воздух» в звуке тех же нот. К ним мы вернёмся в опыте 4.
У каждого синтезатора есть ручка, которая меняет частоту генератора: на аналоговых она часто подписана «Tune» или «Pitch», а колесо высоты (pitch bend) сдвигает её во время игры. Всё это — тот же ползунок частоты, что и выше.
Ухо различает высоту поразительно тонко. Сначала проверим на соседних клавишах: две ноты, одна за другой, разница в одну или две клавиши.
Соседние клавиши — это не предел. Расстояние между ними делят на сто равных частей и называют их центами. Цент придумал англичанин Александр Эллис в 1880‑х, чтобы сравнивать строи разных народов. В октаве 1200 центов. Натренированное ухо в среднем регистре замечает разницу в несколько центов. В упражнении ниже разница начинается с 50 центов — полклавиши — и потом сужается.
Если на 15 центах вы угадываете через раз — это нормально для начала. Тренажёр «Выше или ниже» сближает звуки постепенно, и с практикой порог заметно опускается.
Опыт 2. Половина струны
Теперь монохорд. Длина струны — метр, натянута она грузом в 7 килограммов, и вся струна звучит как до малой октавы (C3), 130,8 Гц. Прежде чем двигать порожку, сделайте ставку под прибором.
Поставьте порожку на ½ и нажмите «По очереди»: сначала звучит вся струна, потом её половина. Половина колеблется ровно вдвое чаще, 261,6 Гц. И звучит она как та же нота, только выше: до первой октавы (C4). Это расстояние называют октавой, и оно — самое главное число этой главы: 2 : 1.
Двигайте порожку дальше. Две трети струны дают отношение 3 : 2 — звук, который ладит с исходным почти так же хорошо, как октава. Это квинта: от до получилась соль. Три четверти струны дают 4 : 3, кварту: от до — фа. Посмотрите на строчку «Ближайшая нота»: квинта на струне на 2 цента выше клавиши соль, кварта на 2 цента ниже клавиши фа. Откуда эти два цента, станет ясно в опыте 7.
Струна короче — звук выше, и во столько же раз. Это первый закон струны. Есть ещё два, и ползунок «Натяжение» показывает второй. Попробуйте угадать, прежде чем его трогать.
Груз на струне монохорда увеличили вдвое: с 7 до 14 килограммов. Что будет со звуком?
Частота растёт как квадратный корень из натяжения: вдвое больший груз даёт √2 ≈ 1,41, то есть 185 Гц — фа-диез малой октавы. Чтобы получить октаву, груз нужно учетверить, до 28 кг. Проверьте ползунком.
Третий закон — толщина: чем тяжелее струна на каждый сантиметр, тем ниже звук. Поэтому басовые струны у гитары и рояля толстые, да ещё обмотаны проволокой. Все три закона вместе:
$$f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$Здесь $L$ — длина струны, $T$ — натяжение, $\mu$ — масса одного метра струны. Формула в нашем приборе настоящая: метр стальной струны весом около грамма при натяжении 7 кгс даёт как раз 130,8 Гц.
Теперь потренируйте ухо на монохорде. Звучит вся струна, потом её часть. Какая это часть? Подсказка: половина звучит как та же нота, две трети — самый «открытый» и ровный шаг, три четверти — шаг поменьше.
Опыт 3. Ухо считает «во сколько раз»
Ставка без кнопок: октава от до малой (130,8 Гц) до до первой (261,6 Гц) — это прибавка 131 Гц. Сколько герц нужно прибавить к до первой октавы, чтобы снова прозвучала октава? Решите, прежде чем читать дальше.
Ещё 131 Гц дадут 392 Гц — это соль, а не до. Октава выше до первой — 523,3 Гц, прибавка 262 Гц. Каждая следующая октава вдвое шире предыдущей в герцах, а на слух все они одинаковые. Ухо считает не «на сколько», а «во сколько раз». Посмотрите, как это выглядит на линейке: все 88 клавиш рояля по своим частотам.
В режиме «Герцы поровну» верхняя октава клавиатуры занимает половину линейки, а три нижние сжаты в полоску у левого края. В режиме «Отношения поровну» каждая октава получает одинаковый отрезок — и клавиши ложатся ровно, как на настоящей клавиатуре. Такая шкала называется логарифмической. Ей пользуется не только ухо: так же мы оцениваем громкость, и так устроены шкалы частот в любой программе для музыки.
Высота звука — это частота колебаний, но ухо меряет её отношениями. Одинаковое отношение звучит как одинаковый шаг, где бы оно ни было: октава — это всегда 2 : 1, внизу клавиатуры и вверху.
Поэтому ручки частоты среза в синтезаторах и эквалайзеры в DAW размечены неравномерно: 100, 1k, 10k стоят на одинаковых расстояниях. Это та же логарифмическая линейка.
Опыт 4. Одна струна — много звуков
До сих пор мы рисовали струну, которая качается одной дугой. Настоящая струна делает больше. Одновременно с этой дугой она колеблется половинками, третями, четвертями — и каждая такая часть даёт свою частоту: вдвое, втрое, вчетверо выше. Самая нижняя частота — основной тон, остальные — обертоны. Звучат они вместе, и ухо слышит одну ноту. Считать их удобно вместе с основным тоном: сам основной тон — первая гармоника, вдвое выше — вторая, втрое — третья.
Нажмите «По одному снизу вверх»: прозвучат по очереди первые десять частот струны до большой октавы (C2). Послушайте, какие ноты получаются: до, до, соль, до, ми, соль, почти си-бемоль, до, ре, ми. Подписи на кнопках говорят то же самое. Вторая, четвёртая и восьмая — это октавы над основным тоном. Третья и шестая — квинты. Пятая и десятая — ми, и вот она уже на 14 центов ниже клавиши. Седьмая звучит на 31 цент ниже си-бемоля: такой клавиши на клавиатуре нет.
Теперь выключайте обертоны по одному и нажимайте «Щипок». Без верхних звук становится глухим, ближе к свисту. С ними — ярче и звонче. Высота не меняется, меняется окраска звука. Передвиньте точку щипка на середину: у всех чётных гармоник там неподвижная точка, они не возбуждаются, и звук становится пустым, «полым», чуть похожим на кларнет. Гитаристы знают это на слух: у подставки струна звучит резко, над грифом — мягко.
Любое периодическое колебание раскладывается на такие частоты — это показал Жозеф Фурье в начале XIX века. Как из синусов складываются меандр и пила, можно покрутить в «Рядах Фурье» на этом сайте. А как синтезатор этим пользуется, чтобы сделать звук флейты или скрипки, — тема главы 2.
Опыт 5. Почему до и до — одна нота
Теперь у нас есть всё, чтобы ответить на первый большой вопрос. Сложите две ноты с разными отношениями частот и посмотрите на картинку: сверху волны, снизу обертоны обеих нот. Но сначала ставка.
Посмотрите на нижнюю картинку при 2 : 1. Гармоники нижней ноты стоят наверху: 1, 2, 3, 4… Гармоники верхней — внизу, и каждая из них совпала с одной из нижних. Частота верхней до — 2 части, её обертоны — 4, 6, 8: всё это уже звучит в нижней до. Верхняя нота не приносит в звук ни одной новой частоты. Она только подчёркивает чётные обертоны нижней. Неудивительно, что мозг принимает её за «ту же ноту, только посветлее».
При 3 : 2 совпадает половина гармоник верхней ноты, при 4 : 3 — треть, при 15 : 8 — почти ничего. Чем меньше числа в отношении, тем больше совпадений и тем спокойнее звучит пара. Это и есть самая старая идея теории музыки, и под ней настоящая физика.
Есть и вторая причина, слуховая. В опыте 4 вторая гармоника струны — уже октава. Почти любой звук, который мы слышим с рождения, — голос, струна, труба — несёт в себе свою октаву. Похоже, мозг привык, что эти две частоты приходят вместе, и складывает их в одно. Отсюда и то, что вы заметили в прошлой главе: ноты через октаву звучат похоже, и в большинстве музыкальных культур их называют одинаково.
Ответ на первый вопрос. Ноты через октаву звучат как одна, потому что их частоты относятся как 2 : 1: все обертоны верхней ноты уже есть в нижней, и волны совпадают через каждые два колебания верхней. Ухо слышит такую пару почти как одну ноту.
Сдвиньте ползунок «Сбить» хотя бы на 10 центов. Совпадения пропадают, волны расходятся. Чистая октава — точка, а не область. Проверьте, слышите ли вы её: две ноты одна за другой, вторая выше. Это та же нота или другая?
Опыт 6. Биения
Если две частоты почти совпадают, происходит забавная вещь. Волны то складываются гребень к гребню, и звук громче, то гасят друг друга, и звук тише. Громкость качается: «уа-уа-уа». Это биения, и их частота $\nu$ считается проще всего на свете — это разница двух частот:
$$\nu = |f_1 - f_2|$$220 и 223 Гц дают три биения в секунду — посчитайте их по лампочке. Двигайте ползунок к нулю: биения замедляются, и в точке совпадения пропадают совсем. На 0,5 Гц качание растягивается на две секунды; на 8 Гц сливается в хриплую дрожь.
Переключитесь на «Октаву». Теперь звуки на 220 и 443 Гц, и это не унисон, но биения всё равно слышны. Бьётся вторая гармоника нижней ноты (440 Гц) с основным тоном верхней (443 Гц). Так же в «Квинте» бьются третья гармоника нижней и вторая верхней. Эти биения — то, что музыканты называют «грязно». Когда они пропадают, пара строит чисто.
Так настраивают инструменты на слух: настройщик рояля держит две струны и подкручивает колок, пока биения не замедлятся и не исчезнут. Попробуйте сами. Ползунок — колок вашей струны.
Вам не нужно знать, в какую сторону крутить: биения медленнее — значит, ближе. Это умение пригодится всякий раз, когда два синтезатора или синтезатор и живой инструмент должны звучать вместе. Продолжение — в тренажёре «Настройка в унисон».
Каждый электронный тюнер, каждая MIDI-клавиатура и каждый синтезатор в браузере начинают счёт с этого числа. От него все клавиши этого курса и получают свои частоты: нота на $n$ клавиш выше ля звучит с частотой $440 \cdot 2^{n/12}$ Гц. Откуда в этой формуле двенадцать — последний опыт.
Опыт 7. Двенадцать квинт
Возьмите до и поднимайтесь квинтами: каждый шаг умножает частоту на 3/2. Чтобы не улететь за край клавиатуры, всякий раз, когда нота выходит за октаву, опускайте её на октаву вниз — делите на 2. Квинты дают новые ноты: соль, ре, ля, ми, си… Сколько шагов до возвращения в до? И вернёмся ли?
Нажимайте «+ квинта». Точки обходят круг по всем двенадцати клавишам, чёрным и белым, и каждая встаёт чуть дальше своей клавиши. После двенадцатого шага вы почти в до. Почти: на 23,46 цента выше. Нажмите «Начало и конец вместе» — эти две «до» бьются, примерно три с половиной раза в секунду. Арифметика простая:
$$\left(\tfrac{3}{2}\right)^{12} = 129{,}746\ldots, \qquad 2^7 = 128$$Эта разница — пифагорова комма. Её нельзя устранить: степень тройки никогда не станет степенью двойки, потому что одна нечётная, а другая чётная. Круг из чистых квинт не замыкается ни через двенадцать шагов, ни через сколько угодно.
Почему же тогда все сошлись именно на двенадцати? Посмотрите, насколько близко к круглому числу октав подходят разные количества квинт.
Пять квинт промахиваются на 90 центов — почти на целую клавишу. Семь — на 114. Двенадцать — на 23. Это первое число, на котором круг квинт почти сходится, и до 41 квинты лучшего не найти. Двенадцать — достаточно мало, чтобы сделать клавиатуру под пальцы, и достаточно точно, чтобы почти не испортить квинты. Остаётся решить, куда девать 23 лишних цента.
Современный ответ — равномерная темперация. Комму делят поровну между всеми двенадцатью квинтами: каждую сужают на 23,46 : 12 ≈ 1,96 цента. Тогда октава делится на двенадцать одинаковых шагов, и каждая клавиша выше соседней в одно и то же число раз:
$$\sqrt[12]{2} \approx 1{,}059463$$Переключите круг на «Равномерные» и пройдите двенадцать шагов снова: круг замкнётся точно. Квинта теперь — это $2^{7/12} \approx 1{,}4983$ вместо 1,5, и вот откуда те два цента на монохорде в опыте 2. На до первой октавы такая квинта даёт меньше одного биения в секунду — 0,89. Ухо почти не замечает потери, а взамен любая мелодия звучит одинаково от любой клавиши.
Сколько раз нужно умножить частоту на ¹²√2 — шаг между соседними клавишами, — чтобы получить октаву?
Двенадцать шагов по ¹²√2 — это ровно удвоение частоты: (¹²√2)¹² = 2. Семь белых клавиш в октаве — тоже правда, но между ними есть ещё пять чёрных, и все двенадцать шагов одинаковые.
Поделить октаву на двенадцать равных шагов и точно вычислить корень двенадцатой степени из двух первыми сумели почти одновременно на двух концах света: в Китае — принц Чжу Цзайюй (1584), в Нидерландах — математик Симон Стевин (около 1605). Утвердилась равномерная темперация не сразу: ещё два века с лишним музыканты спорили, какие квинты и терции портить и насколько.
Половину ответа вы уже знаете: двенадцать квинт почти равны семи октавам, и это самое маленькое число, при котором круг почти сходится. Вторая половина — как эти двенадцать нот называются, почему среди них есть белые и чёрные, и что такое шаг между соседними, — в главе 11.
Двенадцать квинт почти равны семи октавам, но не точно: остаётся пифагорова комма, 23,46 цента. Равномерная темперация раздаёт её поровну, и каждая из двенадцати клавиш выше соседней в $\sqrt[12]{2}$ раз.
Что дальше
Теперь вы знаете, что высота — это частота колебаний, а ухо меряет её отношениями. Вы слышали, как половина струны даёт октаву, а две трети — квинту. Вы видели, что в звуке одной струны прячется целая лестница обертонов, и что октава звучит как та же нота, потому что все её обертоны уже есть внизу. Вы умеете слышать биения и подстраивать по ним звук, а заодно знаете, откуда в октаве двенадцать клавиш.
Но в этой главе осталась загадка. Ля 440 Гц на скрипке и на флейте — одна и та же нота, с одним и тем же основным тоном. А спутать их невозможно. Подсказка уже была в опыте 4: когда вы выключали обертоны, нота оставалась той же, но звук менялся. В главе 2 мы соберём синтезатор и будем управлять обертонами руками.