← Четвёртое измерение
Содержание
  1. 01 Что такое измерение
  2. 02 Флатландия
  3. 03 Проекции
  4. 04 Вращение
  5. 05 Сечения
  6. 06 Правильные многоячейники
  7. 07 Гиперсфера
  8. 08 Большие размерности
  9. 09 Где живут измерения
  10. 10 История
  11. 11 Как нарисована витрина
EN

Глава 09 · 18 мин

Где живут измерения: от пространства-времени до нейросетей

Четвёртая координата встречается не только в воображении геометров: время у физиков, суставы робота, цвет, таблицы данных, свёрнутые измерения теории струн и бесконечномерные пространства квантовой механики.

В предыдущих главах четвёртое измерение было чистой геометрией: ещё одна ось, перпендикулярная трём нашим. Но пространства с многими координатами появляются всякий раз, когда состояние чего-то задаётся несколькими независимыми числами. Иногда эти числа — время и положение, иногда — углы в суставах робота, яркости пикселей или коэффициенты ряда Фурье. Эта глава — экскурсия по таким пространствам. Где-то четвёртое измерение устроено в точности как у тессеракта, где-то — совсем иначе, и различать эти случаи важно.

Время как четвёртая координата

Чтобы договориться о встрече, нужны четыре числа: три задают место, четвёртое — время. Физики называют такую четвёрку $(t, x, y, z)$ событием, а множество всех событий — пространством-временем. Идея сама по себе стара, но физическое содержание она получила в теории относительности. 21 сентября 1908 года в Кёльне, на съезде немецких естествоиспытателей и врачей, Герман Минковский прочитал доклад «Пространство и время» (Raum und Zeit). В нём прозвучала знаменитая фраза:

«Von Stund′ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren». — Отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в тени, и лишь своего рода союз обоих сохранит самостоятельность.

Герман Минковский, «Пространство и время», 1908

Там же Минковский ввёл слово мировая линия (Weltlinie): история точечной частицы — это кривая в четырёхмерном мире событий. Четырёхмерную запись преобразований Лоренца, с мнимым временем в роли четвёртой координаты, ещё в 1905 году использовал Анри Пуанкаре, но геометрией пространства-времени её сделал Минковский. Сам он не увидел, во что это вырастет: он умер в январе 1909 года. Эйнштейн, по воспоминаниям, пересказанным его биографом Абрахамом Пайсом, поначалу счёл такую математизацию излишней учёностью. Но без геометрии Минковского не было бы общей теории относительности.

Знак минус

Главное отличие пространства-времени от четырёхмерного пространства, в котором живёт тессеракт, — в том, как измеряется «расстояние». В евклидовом $\mathbb{R}^4$ квадрат расстояния равен $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$. Между событиями же инвариантной величиной оказывается интервал $$s^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2,$$ где $t, x, y, z$ — разности координат двух событий, а $c$ — скорость света. Все наблюдатели, как бы они ни двигались друг относительно друга, получают для двух событий одно и то же $s^2$, хотя расстояния и промежутки времени у них разные. И этот квадрат может быть положительным (события можно связать движением медленнее света), нулевым (их связывает луч света) и отрицательным (никакой сигнал не успевает из одного в другое). События с $s^2 = 0$ вокруг данного образуют световой конус.

Теорема

Преобразование плоскости $(ct, x)$ $$\begin{aligned} ct' &= ct\,\operatorname{ch}\varphi - x\,\operatorname{sh}\varphi,\\ x' &= x\,\operatorname{ch}\varphi - ct\,\operatorname{sh}\varphi \end{aligned}$$ сохраняет величину $c^2t^2 - x^2$. Это и есть преобразование Лоренца для наблюдателя, движущегося со скоростью $v = c\,\operatorname{th}\varphi$.

Вычтем и сложим две формулы и воспользуемся тем, что $\operatorname{ch}\varphi \pm \operatorname{sh}\varphi = e^{\pm\varphi}$: $$\begin{aligned} ct' - x' &= (ct - x)\,e^{\varphi},\\ ct' + x' &= (ct + x)\,e^{-\varphi}. \end{aligned}$$ Перемножив, получим $$\begin{aligned}(ct')^2 - x'^2 &= (ct - x)(ct + x)\\ &= c^2t^2 - x^2.\end{aligned}$$ Начало штрихованной системы, точка $x' = 0$, движется по закону $x = ct\,\operatorname{th}\varphi$, то есть со скоростью $c\,\operatorname{th}\varphi$. Подставив $\operatorname{ch}\varphi = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$, получаем привычные формулы Лоренца. ∎

Доказательство показывает, как устроено преобразование: в «световых» координатах $ct - x$ и $ct + x$ оно растягивает одну ось в $e^{\varphi}$ раз и во столько же раз сжимает другую. Сравните с поворотом евклидовой плоскости: там стоят $\cos$ и $\sin$ и сохраняется $x^2 + y^2$. Здесь — гиперболические функции и сохраняется разность квадратов. Поэтому пространство-время как множество точек совпадает с $\mathbb{R}^4$, но геометрия у него не евклидова, а псевдоевклидова. Тессеракт, 24-ячейник и все фигуры этого справочника живут в евклидовом $\mathbb{R}^4$, где все четыре оси равноправны. «Повернуть тессеракт во время» нельзя: в пространстве-времени нет поворотов, которые переводили бы ось времени в пространственную ось.

У знака минус есть наблюдаемое следствие. Часы, которые движутся вместе с телом, отсчитывают собственное время: для движения с постоянной скоростью $v$ за время $t$ проходит $\tau = t\sqrt{1 - v^2/c^2}$. При $v = 0{,}6\,c$ это $0{,}8\,t$. Именно поэтому путешествующий близнец возвращается моложе домоседа.

Мировые линии и мировые трубки

Нарисовать четырёхмерное пространство-время мы не можем, но можем отбросить одно пространственное измерение: пусть мир будет плоским, как во Флатландии. Тогда события — это точки $(x, y, t)$, и вся история плоского мира становится трёхмерным телом. Неподвижный дом превращается в вертикальную призму, существо, идущее по прямой, — в наклонный цилиндр, существо, кружащее по комнате, — в спираль. У точки есть мировая линия, у тела конечного размера — мировая трубка. «Сейчас» — это горизонтальный срез $t = \text{const}$ через все трубки.

Попробуйте

Выберите «Кружит» и включите световой конус. Оранжевый конус — это все события, до которых может дойти вспышка света, испущенная существом в момент $t = 0$; в единицах, где $c = 1$, его стенки наклонены на $45°$. Мировая линия существа нигде из конуса не выходит: оно движется медленнее света. Сравните показания часов: при скорости $0{,}6\,c$ часы существа отстают — они показывают $0{,}8$ от времени дома.

Такой взгляд называют блочной вселенной: вся история — прошлое, настоящее и будущее — это один четырёхмерный «блок», а «сейчас» ничем не выделено, как «здесь» не выделено в пространстве. Само выражение восходит к философу Уильяму Джеймсу, который, правда, употреблял его по другому поводу. Точку зрения, что прошлые и будущие события так же реальны, как настоящие, называют этернализмом, противоположную — презентизмом: существует только настоящее. Теория относительности делает этернализм естественным, потому что у разных наблюдателей разные «сейчас». Но спор о том, течёт ли время на самом деле, физика не закрывает — это вопрос философии.

Пространства конфигураций

Представим робота-манипулятора из двух звеньев с двумя поворотными суставами. Его положение полностью задают два угла: $\theta_1$ в плече и $\theta_2$ в локте. Каждый угол — это точка окружности: $0°$ и $360°$ — одно и то же. Пара углов — точка произведения двух окружностей, то есть тора $T^2 = S^1 \times S^1$. Удобно рисовать его как квадрат $[0, 2\pi) \times [0, 2\pi)$, у которого противоположные стороны склеены: уйдя за правый край, вы появляетесь слева, уйдя за верхний — снизу. Склейте в квадрате верх с низом — получится цилиндр, а потом торцы цилиндра — получится бублик.

Множество всех положений механизма называют его пространством конфигураций. Препятствия вырезают из него запрещённые области, и задача «провести руку из одного положения в другое, ничего не задев» превращается в задачу о пути точки по свободной части тора. Именно так её формулируют в робототехнике со времён работ Томаса Лосано-Переса начала 1980-х годов.

Попробуйте

Включите автопилот: точка идёт по прямой в квадрате, выходит за край и возвращается с противоположной стороны. На виде «Тор» то же самое выглядит как линия, наматывающаяся на бублик. Потом добавьте препятствия и потаскайте их: розовые области на торе — положения, в которых рука задевает препятствие. Иногда они разрезают свободную часть так, что из одного положения в другое не пройти.

Дальше размерность растёт сама собой. У руки из $n$ шарнирных звеньев без ограничений на углы пространство конфигураций — $n$-мерный тор $T^n$. Ориентация твёрдого тела в пространстве задаётся тремя числами (например, углами Эйлера), и множество всех ориентаций — трёхмерное многообразие, группа вращений $SO(3)$. Топологически это не тор, а трёхмерное проективное пространство $\mathbb{RP}^3$: шар, у которого склеены противоположные точки границы. Свободно летящее твёрдое тело имеет шесть степеней свободы — три на положение и три на ориентацию.

Для $N$ частиц пространство конфигураций имеет $3N$ измерений, а если добавить импульсы — $6N$. Это фазовое пространство, в котором состояние всей системы — одна точка, а её эволюция — одна кривая. Так смотрели на механику Больцман и Гиббс. В моле газа около $6 \cdot 10^{23}$ молекул, и его фазовое пространство имеет порядка $3{,}6 \cdot 10^{24}$ измерений. Именно в таких пространствах работает статистическая механика — и выручает её та самая концентрация, о которой шла речь в предыдущей главе.

Трёхмерный цвет

Свет, попадающий в глаз, описывается спектром — функцией, которая каждой длине волны сопоставляет интенсивность. Это бесконечномерный объект. Но в сетчатке человека три типа колбочек (S, M и L — коротко-, средне- и длинноволновые), и каждая выдаёт одно число. Мозг получает только эти три числа, поэтому пространство цветов, которые мы различаем, трёхмерно. Это подметил ещё Томас Юнг, развил Герман Гельмгольц, а в 1931 году Международная комиссия по освещению (CIE) закрепила трёхмерное цветовое пространство XYZ.

Зрение — это проекция бесконечномерного спектра на трёхмерное пространство. Как у всякой проекции, у неё большие «слепые» направления: разные спектры могут давать одинаковые тройки чисел, и тогда мы видим один и тот же цвет. Такие спектры называют метамерами. На этом держатся экраны: три типа светящихся точек, красные, зелёные и синие, подбирают тройку, неотличимую для глаза от нужного спектра. У многих птиц колбочек четыре, в том числе чувствительные к ультрафиолету, и их цветовое пространство четырёхмерно.

Отступление

Рекордсмен по числу фоторецепторов — рак-богомол. Для цветового зрения у него 12 спектральных классов рецепторов (четыре из них ультрафиолетовые), а вместе с рецепторами поляризации типов около 16. Напрашивается вывод, что его цветовое пространство двенадцатимерно. Но эксперимент Тоэна, Хау, Чиу и Маршалла (2014) показал обратное: раки-богомолы плохо различают близкие цвета. Длины волн, отличающиеся на 12–25 нм, они уже путают, тогда как человек различает разницу в несколько нанометров. Авторы предположили, что их зрение устроено иначе: не сравнивает сигналы рецепторов, как наше, а быстро распознаёт цвет по тому, какой из двенадцати каналов сработал.

Таблица — это облако точек

Любая таблица с $n$ числовыми столбцами — это набор точек в $\mathbb{R}^n$: каждая строка — точка. Классический пример — ирисы Фишера (1936): 150 цветков трёх видов, у каждого измерены четыре величины, длина и ширина чашелистика и лепестка. Это 150 точек в четырёхмерном пространстве, и виды образуют в нём заметные облака. Чтобы их увидеть, облако проецируют на плоскость — ровно тот же приём, что и в главе о проекциях. Метод главных компонент (Пирсон, 1901; Хотеллинг, 1933) выбирает для этого направления, вдоль которых облако вытянуто сильнее всего.

Размерности быстро становятся большими. Чёрно-белая картинка $28 \times 28$ пикселей из набора рукописных цифр MNIST — точка в $\mathbb{R}^{784}$. Цветная фотография в мегапиксель — точка в пространстве трёх миллионов измерений. Нейросеть — это цепочка отображений из одного такого пространства в другое, и её внутренние представления, эмбеддинги, — точки в пространствах из сотен и тысяч измерений. Вся странная геометрия предыдущей главы — концентрация, почти перпендикулярные случайные векторы, проклятие размерности — здесь рабочая реальность.

Свёрнутые измерения физиков

В 1919 году Теодор Калуца отправил Эйнштейну статью с неожиданной идеей: записать общую теорию относительности в пятимерном пространстве-времени. Идея Эйнштейну понравилась, и в декабре 1921 года он представил статью «К проблеме единства физики» Прусской академии наук. Если пятимерная метрика не зависит от пятой координаты, то пятимерные уравнения Эйнштейна распадаются на четырёхмерную гравитацию, уравнения Максвелла для электромагнитного поля и ещё одно скалярное поле. Электромагнетизм оказывается частью геометрии.

Почему мы не замечаем пятого измерения? В 1926 году Оскар Клейн предложил ответ: оно свёрнуто в окружность ничтожного размера. Так же выглядит садовый шланг: издалека это линия, и положение муравья на нём задаётся одним числом. Вблизи видно, что у шланга есть второе направление — вокруг, и оно замкнуто.

Клейн добавил квантовую механику. Волна, бегущая вокруг окружности, должна после полного оборота совпасть сама с собой, поэтому на окружности укладывается только целое число длин волн, и импульс вдоль пятого измерения квантуется: $p = k\hbar/R$, $k$ — целое. В четырёхмерной картине этот импульс выглядит как электрический заряд, и его квантование объясняет, почему все заряды кратны одному. Требуя согласия с зарядом электрона, Клейн оценил длину окружности примерно в $0{,}8 \cdot 10^{-30}$ см. Возбудить волну с $k \ne 0$ на такой окружности стоит энергии порядка $\hbar c/R \sim 10^{17}$ ГэВ — в триллионы раз больше, чем на Большом адронном коллайдере. Поэтому при доступных энергиях пятое измерение и не видно.

Попробуйте

Сдвиньте «Приблизить» влево до конца: толщина шланга на экране станет долями пикселя, и останется одна координата — «вдоль». Потом переключитесь на «Волну» и поставьте $k = 1{,}5$: волна после оборота не совпадает сама с собой, на шве появляется разрыв. При целых $k$ шва нет.

Теория Калуцы — Клейна в исходном виде не описывала реальный мир: заряженные частицы получались в ней невообразимо тяжёлыми, а лишнему скалярному полю не находилось места в опыте. Но идея свёрнутых измерений вернулась в теории струн. Непротиворечивые теории суперструн требуют десяти измерений пространства-времени (бозонная струна — двадцати шести), и лишние шесть считают свёрнутыми в крошечные многообразия; популярный выбор — многообразия Калаби — Яу (Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен, 1985). В 1995 году Эдвард Виттен привёл доводы в пользу того, что пять версий теории суперструн — разные пределы одной теории, у которой есть и одиннадцатимерный предел; её назвали М-теорией. Прямых экспериментальных подтверждений у теории струн нет, а её дополнительные измерения, скорее всего, настолько малы, что в обозримом будущем их не проверить.

В 1998 году Аркани-Хамед, Димопулос и Двали предложили смелый вариант: дополнительные измерения могут быть «большими», вплоть до долей миллиметра, если в них распространяется только гравитация, а мы и всё вещество заперты на четырёхмерной «бране». Это объяснило бы, почему гравитация так слаба по сравнению с остальными взаимодействиями. У модели проверяемые предсказания: закон Ньютона должен нарушаться на малых расстояниях, а на коллайдере гравитоны должны уносить энергию в дополнительные измерения. Проверки пока дают только ограничения. Крутильные весы группы Eöt-Wash (2020) проверили закон тяготения на расстояниях до 52 микрон и исключили добавку к гравитации сравнимой с ней силы с радиусом действия от 39 микрон; отсюда радиус самого большого дополнительного измерения меньше 30 микрон. На Большом адронном коллайдере ATLAS и CMS не увидели ни «пропавшей энергии» сверх ожидаемой, ни микроскопических чёрных дыр; для двух дополнительных измерений фундаментальный масштаб гравитации ограничен снизу примерно 11 ТэВ. Дополнительные измерения не исключены, но и никаких признаков их пока нет.

Бесконечно много измерений

Можно пойти дальше и взять бесконечно много координат. Периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье: $$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \bigl(a_k \cos kx + b_k \sin kx\bigr).$$ Коэффициенты $a_0, a_1, b_1, a_2, b_2, \dots$ — это координаты функции в бесконечномерном пространстве, где роль осей играют синусы и косинусы. Скалярное произведение функций определяют интегралом $\langle f, g\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,dx$, и в этом смысле $\cos x$ и $\sin 2x$ перпендикулярны: интеграл их произведения равен нулю.

Теорема

Пусть векторы $e_1, \dots, e_m$ попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, и $f = c_1e_1 + \dots + c_me_m$. Тогда $$\begin{gathered} c_k = \langle f, e_k\rangle,\\ |f|^2 = c_1^2 + \dots + c_m^2 . \end{gathered}$$

Скалярное произведение линейно: $\langle f, e_k\rangle = \sum_j c_j\langle e_j, e_k\rangle$. Все слагаемые с $j \ne k$ равны нулю, а $\langle e_k, e_k\rangle = 1$, остаётся $c_k$. Точно так же $|f|^2 = \langle f, f\rangle$ раскрывается в двойную сумму $\sum_{j,k} c_jc_k\langle e_j, e_k\rangle$, в которой остаются только слагаемые с $j = k$, и получается $\sum_k c_k^2$. ∎

Это теорема Пифагора в $m$ измерениях. Для рядов Фурье она верна и при $m = \infty$ — это равенство Парсеваля, а формула для $c_k$ — это знакомые формулы для коэффициентов Фурье. Пространство функций с конечным интегралом квадрата полно: любая последовательность коэффициентов с конечной суммой квадратов задаёт функцию (теорема Рисса — Фишера, 1907). Полные пространства со скалярным произведением называют гильбертовыми, в честь Давида Гильберта, чьи работы об интегральных уравнениях к ним привели. Абстрактное определение дал Джон фон Нейман в 1927–1929 годах, строя на нём математику квантовой механики.

В квантовой механике состояние системы — вектор гильбертова пространства. Для частицы, движущейся по прямой, это волновая функция, и пространство бесконечномерно. Бывают и конечномерные: состояние кубита — вектор в $\mathbb{C}^2$. Зато у $N$ кубитов пространство состояний имеет размерность $2^N$. Для 300 кубитов это $2^{300} \approx 2 \cdot 10^{90}$ — больше, чем атомов в наблюдаемой Вселенной. Отчасти поэтому квантовые системы так трудно моделировать на обычных компьютерах.

Главное

Размерность — это число независимых чисел, задающих состояние. Время добавляет четвёртую координату, но с минусом в формуле интервала, поэтому пространство-время — не евклидово $\mathbb{R}^4$ тессеракта. Суставы робота дают торы, твёрдое тело — $SO(3)$, газ — фазовое пространство огромной размерности, данные — облака точек в $\mathbb{R}^n$, функции и квантовые состояния — векторы бесконечномерных пространств. Свёрнутые измерения физиков — гипотеза, которую эксперименты пока только ограничивают.

Итоги

  • Событие задаётся четырьмя числами $(t, x, y, z)$; Минковский в 1908 году превратил это в геометрию пространства-времени и ввёл мировые линии.
  • Интервал $s^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2$ содержит минус; преобразования Лоренца — «гиперболические повороты», и пространство-время не евклидово. Тессеракт живёт в евклидовом $\mathbb{R}^4$.
  • Положения механизма образуют пространство конфигураций: у двухзвенной руки это тор $T^2$, у $n$ звеньев — $T^n$, ориентации твёрдого тела — $SO(3)$, у $N$ частиц — $3N$ измерений, фазовое пространство — $6N$.
  • Цвет трёхмерен, потому что у нас три типа колбочек; рак-богомол с двенадцатью классами рецепторов различает цвета хуже нас.
  • Таблица с $n$ столбцами — облако точек в $\mathbb{R}^n$; картинки и эмбеддинги — точки в пространствах сотен и тысяч измерений.
  • Калуца (1921) и Клейн (1926): пятое измерение, свёрнутое в окружность, даёт электромагнетизм и квантование заряда. Теория струн требует 10 измерений, М-теория — 11. Большие дополнительные измерения ищут, но пока находят только ограничения.
  • Ряд Фурье — это координаты функции в бесконечномерном гильбертовом пространстве; квантовые состояния — векторы таких пространств.

Дальше — история: как математики, писатели и художники открывали для себя четвёртое измерение.

Источники