Окружность — одномерный мир: у муравья на ней одно направление, вперёд-назад, и, всё время идя вперёд, он вернётся туда, откуда вышел. Сфера — двумерный мир конечной площади и без края. Следующая ступень — трёхмерная сфера $\S^3$: мир, где можно двигаться в трёх направлениях, как у нас, но который конечен и замкнут сам на себя. Она живёт в четырёхмерном пространстве, и на ней лежат вершины всех правильных многоячейников. В этой главе мы научимся её представлять, посчитаем её объём и разберём самое красивое, что на ней есть, — расслоение Хопфа.
Что такое трёхмерная сфера
Окружность радиуса 1 — это точки плоскости на расстоянии 1 от начала координат: $x^2 + y^2 = 1$. Обычная сфера — точки пространства на том же расстоянии: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$. Трёхмерная сфера — точки четырёхмерного пространства на расстоянии 1: $$\S^3 = \{(x, y, z, w) : x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1\}.$$ Цифра в обозначении — размерность самой сферы, а не пространства вокруг. Окружность $\S^1$ одномерна: место на ней задаётся одним числом, углом. Сфера $\S^2$ двумерна: широта и долгота. Точку $\S^3$ задают три числа (например, три угла), поэтому она трёхмерна. Такие объекты называют многообразиями: вблизи каждой точки $\S^3$ устроена как кусочек обычного трёхмерного пространства — так же, как небольшой участок земной поверхности не отличить от плоскости.
Представлять её проще всего срезами, как в главе о сечениях. Режем обычную сферу плоскостями $z = h$ и получаем параллели — окружности радиуса $\sqrt{1 - h^2}$: точка на северном полюсе, растущие круги, экватор радиуса 1, снова убывающие круги, точка на южном полюсе. Режем $\S^3$ трёхмерными «плоскостями» $w = h$ — и получаем сферы того же радиуса $\sqrt{1 - h^2}$. Если бы трёхмерная сфера прошла сквозь наш мир, мы увидели бы точку, которая раздувается в шар, дорастает до радиуса 1 и снова сжимается в точку. Эти сферы — «параллели» трёхмерной сферы; на витрине их прогоняет анимация.
Два шара, склеенные по краю
Есть и другой способ, и он лучше передаёт, каково в ней жить. Сферу $\S^2$ можно склеить из двух кругов — северного и южного полушарий, сплющенных в плоские диски: каждая точка края одного круга отождествляется с той же точкой края другого. Муравей, дошедший до края северного круга, не упирается в стенку, а переходит на край южного и ползёт дальше — теперь уже от края к центру.
Трёхмерная сфера так же склеивается из двух обычных шаров. Её половина $w \ge 0$ проецируется на наше пространство как шар $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$, и половина $w \le 0$ — тоже. Склеим два шара по граничным сферам, точку с точкой. Космонавт в таком мире летит от центра первого шара к краю, пересекает граничную сферу — и оказывается на поверхности второго шара, откуда летит к его центру. Продолжая лететь прямо, он пересечёт второй шар и вернётся в первый с противоположной стороны. Стенок нигде нет, а объём всего мира конечен.
Похоже, первым такую вселенную описал Данте. В «Рае» поэт поднимается сквозь вложенные небесные сферы до Перводвигателя, самой внешней из них, а за ней видит девять ангельских кругов, которые, наоборот, сжимаются к ослепительной точке. Две системы вложенных сфер вокруг двух разных центров, сходящиеся к общей средней сфере, — это и есть два шара, склеенные по краю. На это обратил внимание физик Марк Питерсон в статье «Данте и трёхмерная сфера» (1979).
Третий способ — стереографическая проекция. Поставим лампу в полюс $(0, 0, 0, 1)$ и спроецируем из неё все остальные точки $\S^3$ на трёхмерное пространство $w = 0$. Точка $(x, y, z, w)$ попадает в $$\left(\frac{x}{1 - w},\ \frac{y}{1 - w},\ \frac{z}{1 - w}\right).$$ Противоположный полюс уходит в начало координат, сфера $w = 0$ остаётся на месте, а точки рядом с лампой разлетаются сколь угодно далеко. Выходит, что $\S^3$ без одной точки — это всё наше пространство $\R^3$, а выколотая точка — «бесконечность», в которой сходятся все направления. Проекция сохраняет углы и переводит окружности в окружности (или в прямые, если окружность проходит через лампу), поэтому ею нарисованы почти все картинки этой главы.
Объём
Четырёхмерный шар радиуса $r$ имеет объём $\tfrac{\pi^2}{2} r^4$, а его граница, трёхмерная сфера, — «площадь» (точнее, трёхмерный объём) $2\pi^2 r^3$. Второе число получается тем же приёмом, каким Архимед нашёл площадь обычной сферы: нарезать на тонкие слои.
Трёхмерный объём единичной сферы $\S^3$ равен $2\pi^2$.
Срез $w = h$ — сфера радиуса $\rho = \sqrt{1 - h^2}$ с площадью $4\pi\rho^2 = 4\pi(1 - h^2)$. Слой $\S^3$ между $w = h$ и $w = h + dh$ — тонкая «сферическая оболочка», но её толщину надо мерить вдоль самой $\S^3$, а не вдоль оси $w$. Меридиан сферы — единичная окружность в плоскости $(\rho, w)$, и на ней шагу $dh$ по высоте соответствует дуга $ds = dh / \sqrt{1 - h^2}$ (у полюса окружность идёт почти горизонтально, и дуга длиннее). Поэтому объём слоя равен $4\pi(1 - h^2) \cdot dh/\sqrt{1 - h^2} = 4\pi\sqrt{1 - h^2}\,dh$, а всей сферы — $$\int_{-1}^{1} 4\pi\sqrt{1 - h^2}\,dh = 4\pi \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi^2,$$ потому что $\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - h^2}\,dh$ — площадь половины единичного круга. ∎
Для обычной сферы тот же расчёт даёт слой $2\pi\sqrt{1 - h^2} \cdot dh/\sqrt{1 - h^2} = 2\pi\,dh$: площадь пояса зависит только от его высоты (это теорема Архимеда), и вся сфера — $4\pi$. У трёхмерной сферы такой равномерности уже нет. Объём шара складывается из вложенных сфер, как луковица: $\int_0^r 2\pi^2\rho^3\,d\rho = \tfrac{\pi^2}{2}r^4$.
Можно сразу получить формулу для шара любой размерности. Обозначим $V_n(r)$ объём $n$-мерного шара; $V_0 = 1$ (точка), $V_1(r) = 2r$ (отрезок).
$\displaystyle V_n(r) = \frac{2\pi r^2}{n}\,V_{n-2}(r)$, и поэтому $\displaystyle V_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\!\left(\frac n2 + 1\right)}\,r^n$.
Разобьём координаты точки на пару $(x_1, x_2)$ и остальные $n - 2$. Если $x_1^2 + x_2^2 = \rho^2 \le r^2$, то остальные координаты пробегают $(n-2)$-мерный шар радиуса $\sqrt{r^2 - \rho^2}$. Значит, $V_n(r)$ — интеграл по кругу радиуса $r$ на плоскости $(x_1, x_2)$ от объёмов этих шаров. Объём $k$-мерного шара пропорционален $k$-й степени радиуса, $V_k(R) = V_k(1)R^k$, а площадь тонкого кольца радиуса $\rho$ равна $2\pi\rho\,d\rho$. Получаем $$V_n(r) = V_{n-2}(1)\int_0^r (r^2 - \rho^2)^{\frac{n-2}{2}}\,2\pi\rho\,d\rho = V_{n-2}(1)\cdot 2\pi\left[-\frac{(r^2-\rho^2)^{n/2}}{n}\right]_0^r = \frac{2\pi}{n}V_{n-2}(1)\,r^n,$$ то есть $V_n(r) = \frac{2\pi r^2}{n}V_{n-2}(r)$. Формула с гамма-функцией удовлетворяет тому же соотношению, потому что $\Gamma(x + 1) = x\,\Gamma(x)$, и совпадает с ответом при $n = 0$ и $n = 1$ (здесь нужно $\Gamma(\tfrac32) = \tfrac{\sqrt\pi}{2}$). Последовательности для чётных и нечётных $n$ однозначно восстанавливаются по первым членам, поэтому формулы совпадают при всех $n$. ∎
Площадь граничной сферы — производная объёма по радиусу: $S_{n-1}(r) = V_n'(r) = \tfrac{n}{r}V_n(r)$. Вот первые значения для $r = 1$ (в последнем столбце — доля, которую шар занимает в описанном кубе $[-1, 1]^n$):
| размерность | объём шара | ≈ | площадь сферы | ≈ | доля куба |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | $2$ | 2 | $2$ | 2 | 100 % |
| 2 | $\pi$ | 3,142 | $2\pi$ | 6,283 | 78,5 % |
| 3 | $4\pi/3$ | 4,189 | $4\pi$ | 12,566 | 52,4 % |
| 4 | $\pi^2/2$ | 4,935 | $2\pi^2$ | 19,739 | 30,8 % |
| 5 | $8\pi^2/15$ | 5,264 | $8\pi^2/3$ | 26,319 | 16,4 % |
| 6 | $\pi^3/6$ | 5,168 | $\pi^3$ | 31,006 | 8,1 % |
| 7 | $16\pi^3/105$ | 4,725 | $16\pi^3/15$ | 33,073 | 3,7 % |
| 8 | $\pi^4/24$ | 4,059 | $\pi^4/3$ | 32,470 | 1,6 % |
| 10 | $\pi^5/120$ | 2,550 | $\pi^5/12$ | 25,502 | 0,25 % |
Объём единичного шара растёт до $n = 5$, а потом падает к нулю: при $n \ge 7$ множитель $2\pi/n$ меньше единицы, и у $V_{20}$ остаётся около 0,026. Площадь сферы достигает максимума чуть позже, при $n = 7$. Но не стоит видеть в пятёрке глубокий смысл: она зависит от выбора единицы длины. Объём $n$-мерного шара измеряется в единицах длины в $n$-й степени, и сравнивать $V_5$ с $V_6$ — всё равно что сравнивать площадь с объёмом. Из рекуррентной формулы видно, что объём растёт (через одну размерность), пока $n < 2\pi r^2$: при $r = 1$ граница около 6,28, отсюда пик на пятёрке, а при $r = 1{,}5$ пик уезжает к $n = 13$.
Двигайте радиус и следите за пунктирной чертой $n = 2\pi r^2$: слева от неё столбики растут, справа убывают (у площади черта сдвинута на 2). Нажмите на столбик, чтобы увидеть точную формулу, и включите логарифмическую шкалу: вправо объём падает быстрее любой геометрической прогрессии — из-за факториала в знаменателе.
От единиц не зависит другое — доля, которую шар занимает в описанном кубе $[-r, r]^n$: $V_n(r)/(2r)^n$. На плоскости круг занимает 78,5 % квадрата, в пространстве шар — 52,4 % куба, в четырёх измерениях — 30,8 %, в десяти — четверть процента, в двадцати — $2{,}5 \cdot 10^{-8}$. Почти весь объём многомерного куба сидит в его углах. Об этом и других странностях больших размерностей — в следующей главе.
Сфера, которая умеет умножаться
Точки окружности $\S^1$ можно считать комплексными числами $e^{i\varphi}$ с модулем 1. Их можно перемножать: модуль произведения равен произведению модулей, так что произведение снова лежит на окружности. Окружность — группа, а умножение на $e^{i\varphi}$ — поворот плоскости на угол $\varphi$.
С трёхмерной сферой происходит то же самое, только числа нужны четырёхмерные — кватернионы $q = a + bi + cj + dk$, где $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$. Модуль кватерниона $|q| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$, и снова $|pq| = |p|\,|q|$. Значит, кватернионы с модулем 1 — это в точности точки $\S^3$, и они образуют группу по умножению. Из всех сфер такую структуру (гладкую группу, группу Ли) допускают только $\S^0$ — два числа $\pm1$, — $\S^1$ и $\S^3$. На $\S^7$ есть умножение единичных октав, но оно не ассоциативно, и группы не получается.
Единичные кватернионы описывают повороты нашего пространства: если записать вектор $(x, y, z)$ как $v = xi + yj + zk$, то $v \mapsto q\,v\,\bar q$ — поворот, причём $q$ и $-q$ дают один и тот же поворот. Трёхмерная сфера дважды накрывает множество всех поворотов. Поэтому кватернионами описывают ориентацию спутников, роботов и камер в играх (подробнее — в главе о вращениях). А вершины 16-, 24- и 600-ячейника — это конечные подгруппы той же группы.
Тор Клиффорда
Запишем точку $\R^4$ двумя комплексными числами: $z_1 = x + iy$, $z_2 = z + iw$. Уравнение трёхмерной сферы превращается в $|z_1|^2 + |z_2|^2 = 1$. Посмотрим на точки, где модули равны: $$|z_1| = |z_2| = \tfrac{1}{\sqrt2}.$$ Это $\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}e^{i\alpha},\ \tfrac{1}{\sqrt2}e^{i\beta}\bigr)$ с двумя независимыми углами — тор, произведение двух окружностей радиуса $1/\sqrt2$. Его называют тором Клиффорда, в честь английского математика Уильяма Клиффорда. Он плоский: его можно склеить из квадрата без малейшего растяжения. В трёх измерениях гладко так не получится — бумажный бублик без складок не склеишь, — а в четырёх получается.
Тор Клиффорда делит $\S^3$ на две равные части: где $|z_1| \le |z_2|$ и где $|z_1| \ge |z_2|$. Каждая часть — полноторие, бублик вместе с тестом. Осевая окружность первого — $z_1 = 0$, второго — $z_2 = 0$. Так что трёхмерная сфера — это ещё и два полнотория, склеенные по поверхности, причём меридиан одного приклеен к параллели другого. В стереографической проекции окружность $z_2 = 0$ становится единичной окружностью в плоскости $xy$, а окружность $z_1 = 0$ — осью $z$, которая замыкается через бесконечность. Прямая продета сквозь окружность — они сцеплены, как звенья цепи. Тор Клиффорда в этой проекции есть на витрине.
Расслоение Хопфа
Теперь главное. Сопоставим точке $(z_1, z_2)$ трёхмерной сферы отношение $$h(z_1, z_2) = \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{C} \cup \{\infty\}.$$ Комплексная плоскость с добавленной бесконечностью — это обычная сфера $\S^2$ (сфера Римана: та же стереографическая проекция, только на ступень ниже). Получилось отображение $h\colon \S^3 \to \S^2$ — отображение Хопфа; Хайнц Хопф опубликовал его в 1931 году.
Какие точки переходят в одну? Отношение $z_1/z_2$ не меняется, если умножить оба числа на один и тот же множитель $\lambda$, а чтобы остаться на сфере, нужно $|\lambda| = 1$, то есть $\lambda = e^{i\theta}$. Значит, прообраз каждой точки $\S^2$ — окружность $\{(e^{i\theta}z_1, e^{i\theta}z_2)\}$. Её называют слоем, а всю картину — расслоением Хопфа: трёхмерная сфера разбита на окружности, по одной над каждой точкой двумерной сферы. На языке кватернионов то же самое выглядит так: если записать $q = z_1 + j z_2$, то слой — это $\{q\,e^{i\theta}\}$, а отображение принимает вид $q \mapsto q\,i\,\bar q$ (получается единичный вектор, то есть точка $\S^2$).
Каждый слой расслоения Хопфа — большая окружность $\S^3$; слои не пересекаются и заполняют всю $\S^3$; любые два слоя сцеплены, причём ровно один раз.
Точки вида $\lambda(z_1, z_2)$ с любым комплексным $\lambda$ образуют комплексную прямую в $\mathbb{C}^2$, то есть двумерную плоскость в $\R^4$ через начало координат. Слой — пересечение этой плоскости с единичной сферой, а это окружность радиуса 1 с центром в нуле, большая окружность. Два слоя либо совпадают, либо не пересекаются: слой состоит ровно из точек с одним и тем же отношением $z_1/z_2$, и каждая точка сферы лежит в слое своего отношения. Осталось зацепление. Слой над $\infty$ — окружность $z_2 = 0$, слой над $0$ — окружность $z_1 = 0$. Мы уже видели, что в стереографической проекции это единичная окружность и ось $z$, которая протыкает натянутый на окружность диск ровно в одной точке: эти два слоя сцеплены один раз. Теперь возьмём любые две различные точки $a, b \in \S^2$ и непрерывно передвинем их в $\infty$ и $0$ так, чтобы по дороге они ни разу не совпали. Слои над ними тоже движутся непрерывно и, по доказанному, никогда не пересекаются. А число зацеплений двух замкнутых кривых может измениться, только если одна пройдёт сквозь другую. Значит, оно всё время равно единице. ∎
Как это выглядит? В нашей проекции слой над одним полюсом двумерной сферы — единичная окружность, над другим — вертикальная прямая. Слои над параллелью заполняют тор. Чем ближе параллель к первому полюсу, тем тоньше тор вокруг единичной окружности; чем ближе ко второму — тем он толще и тем теснее его дырка обхватывает прямую. Параллель-экватор даёт тор Клиффорда. Всё пространство набито вложенными торами, и каждый тор сплетён из окружностей, которые обходят его один раз вдоль и один раз поперёк. Такие окружности на торе описал в 1848 году французский астроном Антуан Ивон-Вилларсо: их высекает плоскость, касающаяся тора в двух точках. Их так и называют — окружности Вилларсо.
Выберите «одна» и потяните точку по сфере: её слой-окружность плывёт по пространству. Нажмите на сферу ещё раз — появится вторая окружность, продетая сквозь первую. «Параллель» даёт тор, «две параллели» — два вложенных тора, и тот, что ближе к полюсу N, тоньше. «Большой круг» — ещё один тор Клиффорда, только в проекции он перекошен. «Много» показывает, как слои заполняют всё пространство.
Главное открытие Хопфа было не в самой картинке. Отображение $h$ нельзя непрерывно продеформировать в постоянное — «стянуть» трёхмерную сферу в одну точку двумерной, — и препятствие как раз в зацеплении слоёв. Число зацеплений (его называют инвариантом Хопфа) при деформациях не меняется, а у постоянного отображения оно было бы нулём. Это был первый пример того, что сферу можно нетривиально «намотать» на сферу меньшей размерности. С работы Хопфа началась большая область — гомотопические группы сфер, которые до сих пор вычислены далеко не полностью.
Где это встречается
- Кубит. Состояние квантового бита — пара комплексных чисел $(\alpha, \beta)$ с $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$, то есть точка $\S^3$. Но общий фазовый множитель $e^{i\theta}$ ненаблюдаем: $(\alpha, \beta)$ и $(e^{i\theta}\alpha, e^{i\theta}\beta)$ — одно и то же физическое состояние. Это в точности слой Хопфа, и пространство различимых состояний — двумерная сфера, сфера Блоха. Переход от вектора состояния к точке на ней — отображение Хопфа. Р. Моссери и Р. Дандолофф (2001) показали, что для пары кубитов похожую роль играет следующее расслоение Хопфа, $\S^7 \to \S^4$.
- Магнитный монополь. В том же 1931 году, независимо от Хопфа, Поль Дирак показал: если бы существовал магнитный заряд, электрический заряд обязан был бы квантоваться. Фазу волновой функции электрона нельзя согласованно задать на всей сфере вокруг монополя. В 1977 году Анджей Траутман, по-видимому первым, заметил, что поле монополя наименьшего заряда устроено ровно как расслоение Хопфа.
- Ориентация в пространстве. Поворот твёрдого тела — это направление, куда смотрит выбранная ось (точка $\S^2$), плюс угол поворота вокруг неё (точка на окружности-слое). Так устроены равномерные сетки поворотов для планирования движения роботов, которые построили А. Ершова, С. Джейн, С. Лавалль и Дж. Митчелл (2010).
- Жидкие кристаллы и магниты. Хопфионы — устойчивые «узлы» в поле направлений, где точки с одинаковым направлением образуют сцепленные окружности, как слои Хопфа. Их создают в хиральных жидких кристаллах (П. Акерман и И. Смалюх, 2017), а в 2023 году кольца хопфионов впервые увидели внутри магнитного кристалла FeGe.
Гипотеза Пуанкаре
Трёхмерная сфера — самое простое замкнутое (конечное и без края) трёхмерное многообразие. Как узнать её изнутри, не выходя в четвёртое измерение? На обычной сфере любую петлю можно стянуть в точку — резинка соскользнёт с мяча, — а на торе нельзя: петля, обходящая дырку, застрянет. Многообразия, где стягивается любая петля, называют односвязными. В 1904 году Анри Пуанкаре спросил: верно ли, что всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие — это, с точностью до непрерывной деформации, трёхмерная сфера?
Всякое односвязное замкнутое трёхмерное многообразие гомеоморфно $\S^3$.
Доказательство занимает сотни страниц, и привести его здесь невозможно; опишем идею. Ричард Гамильтон в 1980-х предложил «разглаживать» геометрию многообразия потоком Риччи: кривизна перетекает из более изогнутых мест в менее изогнутые, примерно как тепло. Если бы поток всегда доходил до конца, односвязное многообразие стало бы круглой сферой. Мешают особенности — места, где многообразие пережимается в тонкую шейку. Григорий Перельман в 2002–2003 годах показал, как эти особенности устроены и как их вырезать и заклеивать, не теряя контроля, так что процесс всё равно заканчивается кусками, про которые всё известно. ∎
Гипотеза была одной из семи «задач тысячелетия» Математического института Клэя. Перельман выложил три препринта в ноябре 2002-го, марте и июле 2003 года, отказался от медали Филдса в 2006-м и от премии Клэя в миллион долларов в 2010-м.
Итоги
- $\S^3 = \{x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1\}$ — трёхмерное многообразие: конечное, без края, вблизи каждой точки как наше пространство. Её можно представлять срезами-сферами, двумя шарами, склеенными по краю, или через стереографическую проекцию — как $\R^3$ плюс точка на бесконечности.
- Объём четырёхмерного шара $\tfrac{\pi^2}{2}r^4$, объём трёхмерной сферы $2\pi^2 r^3$; в общем случае $V_n = \tfrac{2\pi r^2}{n}V_{n-2}$ и $V_n = \pi^{n/2}r^n/\Gamma(\tfrac n2 + 1)$. Единичный шар больше всего при $n = 5$, а доля шара в описанном кубе стремится к нулю.
- Точки $\S^3$ — единичные кватернионы; они образуют группу и задают повороты трёхмерного пространства.
- Тор Клиффорда $|z_1| = |z_2| = 1/\sqrt2$ плоский и делит $\S^3$ на два полнотория.
- Расслоение Хопфа разбивает $\S^3$ на большие окружности, по одной над каждой точкой $\S^2$; любые две сцеплены один раз. Оно описывает кубит, монополь Дирака, ориентацию тел и хопфионы.
- Гипотеза Пуанкаре, доказанная Перельманом: односвязное замкнутое трёхмерное многообразие — это $\S^3$.
Дальше — странная геометрия больших размерностей: что ещё происходит с шарами и кубами, когда измерений становится много.
Источники
- H. Hopf. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Mathematische Annalen 104 (1931), 637–665. doi:10.1007/BF01457962.
- M. A. Peterson. Dante and the 3-sphere. American Journal of Physics 47 (1979), 1031–1035. doi:10.1119/1.11968.
- A. Yvon Villarceau. Théorème sur le tore. Nouvelles Annales de Mathématiques 7 (1848), 345–347.
- P. A. M. Dirac. Quantised singularities in the electromagnetic field. Proceedings of the Royal Society A 133 (1931), 60–72.
- A. Trautman. Solutions of the Maxwell and Yang–Mills equations associated with Hopf fibrings. International Journal of Theoretical Physics 16 (1977), 561–565.
- R. Mosseri, R. Dandoloff. Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations. Journal of Physics A: Mathematical and General 34 (2001), 10243–10252. arXiv:quant-ph/0108137.
- A. Yershova, S. Jain, S. M. LaValle, J. C. Mitchell. Generating uniform incremental grids on SO(3) using the Hopf fibration. International Journal of Robotics Research 29 (2010), 801–812.
- P. J. Ackerman, I. I. Smalyukh. Diversity of knot solitons in liquid crystals manifested by linking of preimages in torons and hopfions. Physical Review X 7 (2017), 011006.
- F. Zheng et al. Hopfion rings in a cubic chiral magnet. Nature 623 (2023), 718–723.
- H. Poincaré. Cinquième complément à l’analysis situs. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 18 (1904), 45–110.
- G. Perelman. arXiv:math/0211159, math/0303109, math/0307245.
- Википедия: 3-sphere, Hopf fibration, Clifford torus, Volume of an n-ball, Poincaré conjecture.