← Четвёртое измерение
Содержание
  1. 01 Что такое измерение
  2. 02 Флатландия
  3. 03 Проекции
  4. 04 Вращение
  5. 05 Сечения
  6. 06 Правильные многоячейники
  7. 07 Гиперсфера
  8. 08 Большие размерности
  9. 09 Где живут измерения
  10. 10 История
  11. 11 Как нарисована витрина
EN

Глава 03 · 18 мин

Тени: как спроецировать 4D в 3D

Любая картинка тессеракта — это тень. Параллельный свет, лампа и стереография дают три разные тени одного тела, и каждая что-то прячет.

Знаменитый «куб в кубе», который рисуют на обложках книг о четвёртом измерении, — не тессеракт. Это его тень. Сам тессеракт состоит из восьми одинаковых кубов, а на картинке один куб большой, другой маленький, а шесть остальных похожи на усечённые пирамиды. Тень зависит от того, как падает свет, и одно и то же тело может отбросить очень разные тени. В этой главе разберём, какие бывают «источники света» для четырёхмерных тел, выведем формулы для каждого и посмотрим, что каждая тень скрывает.

Тень — это проекция

Тень устроена просто: каждая точка тела отправляется туда, где луч света, проходящий через неё, упирается в пол. Математики называют такое отображение проекцией. Важны два вида света.

Солнце настолько далеко, что его лучи параллельны. Пусть они падают отвесно, пол — плоскость $y = 0$, а высота точки — координата $y$. Тогда тень точки $(x, y, z)$ — это $(x, z)$: высота просто забывается. Это параллельная, или ортографическая, проекция. Размер тени не зависит от того, как высоко висит предмет.

Лампа — точка. Повесим её на высоте $d$ над началом координат, в $L = (0, d, 0)$. Луч из лампы через точку $P = (x, y, z)$ — это точки $L + t\,(P - L)$. Его высота равна $d + t\,(y - d)$ и обращается в ноль при $t = d/(d - y)$. Значит, тень точки $$\bigl(X, Z\bigr) = \frac{d}{d-y}\,\bigl(x, z\bigr).$$ Это центральная, или перспективная, проекция. Чем выше точка, тем ближе она к лампе и тем сильнее растягивается её тень: множитель $d/(d-y)$ растёт с высотой.

Теперь повесим под лампой куб так, чтобы его грани были горизонтальны. Верхняя грань ближе к лампе, её тень — большой квадрат. Нижняя грань дальше, её тень — квадрат поменьше, внутри большого. Четыре вертикальных ребра дают четыре отрезка, соединяющих углы квадратов. Получается «квадрат в квадрате». При $d = 3$ и граней на высотах 1,7 и 0,7 множители равны $3/1{,}3 \approx 2{,}31$ и $3/2{,}3 \approx 1{,}30$.

Попробуйте

Поднимите лампу до $d = 12$: квадраты почти совпадут, потому что далёкая лампа светит почти как солнце, $d/(d-y) \to 1$. Переключитесь на «Солнце» — совпадут точно. Поверните куб вершиной к свету: контур тени станет шестиугольником. Цвет рёбер показывает высоту: янтарные — ближе к лампе, синие — дальше.

Вот и весь секрет «куба в кубе». Возьмите тессеракт, поставьте его ячейкой к четырёхмерной «лампе» — и ближняя ячейка даст большой куб, дальняя — маленький внутри него, а восемь рёбер, идущих вдоль четвёртой оси, соединят их вершины. Шесть боковых ячеек превратятся в усечённые пирамиды между ними, так же как боковые грани куба превратились в трапеции.

Из четырёх измерений в три

Перенесём обе формулы на этаж выше. «Пол» теперь — наше пространство $w = 0$, а «высота» — четвёртая координата $w$.

Параллельная проекция просто забывает $w$: $$(x, y, z, w) \longmapsto (x, y, z).$$

Перспективная проекция. Поставим глаз в точку $E = (0, 0, 0, d)$ на оси $w$. Прямая из глаза через точку $p = (x, y, z, w)$ — это $E + t\,(p - E)$; её $w$-координата $d + t\,(w - d)$ обнуляется при $t = d/(d - w)$. Итак, $$\mathbf X = \frac{d}{d - w}\,(x, y, z) = \frac{(x, y, z)}{1 - k\,w}, \qquad k = \frac1d.$$ Вторая запись удобнее: один параметр $k$ плавно переводит одну проекцию в другую. При $k = 0$ (глаз бесконечно далеко) получается параллельная тень, при $0 < k < 1$ — перспектива. Именно так устроены линзы на витрине. Формула работает, пока глаз снаружи тела: точки с $w > d$ оказались бы у глаза за спиной.

Посчитаем для тессеракта с ребром 1 и центром в начале координат: его вершины — точки $(\pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12)$, две ячейки лежат в гиперплоскостях $w = \pm\frac12$. При $d = 2$ ближняя ячейка растягивается в $2/1{,}5 = 4/3$ раза, дальняя сжимается до $2/2{,}5 = 4/5$, так что внешний куб в $5/3 \approx 1{,}67$ раза больше внутреннего. У каждой из шести остальных ячеек четыре вершины лежат при $w = \frac12$, а четыре — при $w = -\frac12$: одна грань растягивается, противоположная сжимается, и куб превращается в усечённую пирамиду. Все восемь ячеек — одинаковые кубы, но кубами на картинке выглядят только две.

Перспективное деление и однородные координаты

В формуле перспективы всё линейно, кроме деления на $1 - kw$. Это деление можно отложить на самый конец. Допишем к точке единицу, $(x, y, z, w, 1)$, и умножим на матрицу: $$\begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -k & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ 1 \end{pmatrix},$$ $$\mathbf X = \frac{(X_1, X_2, X_3)}{q}.$$ Четвёрка $(X_1 : X_2 : X_3 : q)$ — это однородные координаты точки трёхмерного пространства: пропорциональные четвёрки обозначают одну и ту же точку, а сама точка получается делением на последнее число. Однородные координаты придумали независимо Август Мёбиус («Барицентрическое исчисление», 1827), Карл Вильгельм Фейербах (1827) и Юлиус Плюккер (1830). Их прелесть в том, что перспектива становится умножением на матрицу, а повороты и перспективу можно сложить в одну матрицу.

Каждая видеокарта делает то же самое. Вершинная программа выдаёт четыре числа — «координаты отсечения» $(x, y, z, w)$, — и видеокарта делит первые три на последнее. Это деление так и называется: перспективное деление (perspective divide). Путаница в именах досадная: у видеокарты $w$ — просто служебный делитель, а не четвёртое измерение. На витрине этого сайта делений два подряд: сначала четырёхмерная точка проецируется в наше пространство по формуле $\mathbf X = (x,y,z)/(1-kw)$, а затем обычная трёхмерная камера делит ещё раз, чтобы получить картинку на экране.

Диаграмма Шлегеля

Что если придвинуть глаз вплотную к одной ячейке — так, чтобы он был чуть снаружи её гиперплоскости, но «под» гиперплоскостями всех остальных ячеек? Тогда из глаза видна только эта ячейка. Она становится рамкой, и все остальные ячейки проецируются внутрь неё, заполняя её без наложений, как соты. Такая картинка называется диаграммой Шлегеля.

Этажом ниже это знакомо: если смотреть на куб, почти уткнувшись в одну грань, увидишь квадрат в квадрате, а четыре боковые грани — трапеции между ними. У додекаэдра получится пятиугольник, разбитый на одиннадцать пятиугольников поменьше. Для тессеракта диаграмма Шлегеля — тот же «куб в кубе», но теперь понятно, что он значит: внешний куб — ближняя ячейка, внутренний — дальняя, шесть усечённых пирамид — боковые ячейки, и ни одна ячейка не перекрывает другую. Всё устройство многоячейника — какие ячейки с какими соседствуют — видно без искажений.

Диаграмма названа по имени немецкого математика Виктора Шлегеля (1843–1905). В 1883 году он напечатал в трудах Леопольдины большой трактат «Теория однородно составленных пространственных образований», а тогда же, в 1883 году, сделал из латунной проволоки и шёлковых нитей модели проекций всех шести правильных четырёхмерных многоячейников; их продавали как учебные пособия — сначала Людвиг Брилль в Дармштадте, потом его преемник Мартин Шиллинг в Лейпциге. В 1886 году вышла его работа «О проекционных моделях правильных четырёхмерных тел».

Стереографическая проекция

У правильных многоячейников все вершины лежат на трёхмерной сфере — «поверхности» четырёхмерного шара. Для тел на сфере есть особенно красивая тень. Начнём, как всегда, с понижения размерности.

Возьмём единичную окружность $x^2 + y^2 = 1$, её «северный полюс» $N = (0, 1)$ и прямую $y = 0$. Проведём луч из $N$ через точку окружности $P = (x, y)$ до пересечения с прямой. Из подобия треугольников точка пересечения $$X = \frac{x}{1 - y}.$$ Каждая точка окружности, кроме самого полюса, попадает ровно в одну точку прямой, и каждая точка прямой — образ ровно одной точки окружности: обратная формула $x = \dfrac{2X}{1+X^2}$, $y = \dfrac{X^2 - 1}{X^2 + 1}$. Южный полюс идёт в ноль, точки $(\pm1, 0)$ остаются на месте, а когда $P$ подходит к полюсу, $X$ уходит в бесконечность. Сам полюс отправляется «в бесконечно удалённую точку». Для сферы то же самое: из полюса $N = (0, 0, 1)$ на плоскость $z = 0$ $$(X, Y) = \frac{(x, y)}{1 - z}.$$ Это стереографическая проекция.

Попробуйте

Ведите точку $P$ к полюсу и следите за $X$: 1,92 при 35°, 3,73 при 60°, 11,4 при 80°, 114,6 при 89°. Цветные точки на окружности стоят через равные 15°, а их образы на прямой расползаются всё сильнее. Зелёные дуги отмечают два угла, которые всегда равны, — это ключ к доказательству ниже. В режиме «Сфера → плоскость» сравните угол между окружностями на сфере и между их образами — он вычисляется заново по формулам проекции, а не подставляется.

Это одна из старейших картографических проекций. Возможно, её знал уже Гиппарх во II веке до нашей эры (на это не вполне ясно указывал Синезий около 400 года), а самое раннее сохранившееся описание — «Планисферий» Птолемея, II век. На ней основана астролябия: её пластина — стереографическая карта небесной сферы. Название «стереографическая» дал ей Франсуа д’Агийон в 1613 году. То, что проекция переводит любую окружность на сфере в окружность, в общем виде доказал аль-Фаргани в IX веке; то, что она сохраняет углы, доказал Томас Хэрриот (его записи не были опубликованы), а первое опубликованное доказательство дал Эдмунд Галлей в «Philosophical Transactions» в 1695–1696 годах. Галлей честно написал, что сам факт узнал от Муавра, а Гук уже показывал его Королевскому обществу, — своим было только доказательство.

Окружности переходят в окружности

Теорема

Стереографическая проекция переводит каждую окружность на сфере в окружность на плоскости, если окружность не проходит через полюс $N$, и в прямую, если проходит.

Любая окружность на сфере — это пересечение сферы с плоскостью $ax + by + cz = e$. Выразим точку сферы через её образ $(X, Y)$ по обратным формулам: при $R^2 = X^2 + Y^2$ $$\begin{gathered} x = \frac{2X}{1 + R^2}, \quad y = \frac{2Y}{1 + R^2}, \\ z = \frac{R^2 - 1}{R^2 + 1}. \end{gathered}$$ (Проверка: $x^2 + y^2 + z^2 = \frac{4R^2 + (R^2-1)^2}{(R^2+1)^2} = 1$ и $1 - z = \frac{2}{R^2+1}$, так что $x/(1-z) = X$.) Подставим в уравнение плоскости и умножим на $1 + R^2$: $$\begin{gathered} (c - e)(X^2 + Y^2) + 2aX + 2bY \\ {} - (c + e) = 0. \end{gathered}$$ Если $c \ne e$, это окружность с центром $\bigl(-\frac{a}{c-e}, -\frac{b}{c-e}\bigr)$ и радиусом $\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2-e^2}}{|c-e|}$; подкоренное выражение положительно, потому что плоскость пересекает сферу по окружности, то есть отстоит от центра меньше чем на 1: $e^2 < a^2 + b^2 + c^2$. Если же $c = e$, то плоскость проходит через $N = (0, 0, 1)$, и уравнение становится линейным: $aX + bY = c$ — прямая. Так как проекция взаимно однозначна вне полюса, образ окружности — вся эта окружность или вся прямая. ∎

Углы сохраняются

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называют конформным. Стереографическая проекция конформна: две кривые на сфере пересекаются под тем же углом, что и их образы на плоскости.

Теорема

Если две кривые на сфере пересекаются в точке $P \ne N$ под углом $\alpha$, то их стереографические образы пересекаются в точке $P'$ тоже под углом $\alpha$.

Угол между кривыми — это угол между их касательными; касательные в $P$ лежат в касательной плоскости $T_P$. Касательная прямая $\ell$ в точке $P$ и прямая $NP$ задают плоскость $\Pi_\ell$; проекция из $N$ переводит $\ell$ в прямую $\Pi_\ell \cap \{z = 0\}$ — это касательная к образу кривой в $P'$. Теперь отразим всё пространство в плоскости $\sigma$, которая перпендикулярна отрезку $NP$ и делит его пополам. Сфера перейдёт в себя (её центр лежит в $\sigma$), точки $N$ и $P$ поменяются местами, поэтому касательная плоскость $T_P$ перейдёт в касательную плоскость $T_N$. Каждая плоскость $\Pi_\ell$ содержит прямую $NP$, перпендикулярную $\sigma$, и потому переходит в себя. Значит, прямая $\ell = \Pi_\ell \cap T_P$ переходит в прямую $\Pi_\ell \cap T_N$, а угол между двумя касательными в $T_P$ равен углу между соответствующими прямыми в $T_N$ (отражение сохраняет углы). Наконец, $T_N$ — это плоскость $z = 1$, параллельная плоскости $z = 0$, и одна и та же плоскость $\Pi_\ell$ пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. Поэтому угол в $T_N$ равен углу между образами в плоскости $z = 0$. ∎

В плоском случае это доказательство видно в виджете: зелёные дуги — угол между лучом и касательной в $P$ и угол между лучом и прямой в $X$. Они равны, потому что касательные к окружности в концах хорды $NP$ образуют с ней равные углы, а касательная в $N$ параллельна прямой.

Углы сохраняются, длины — нет. Для окружности, параметризованной углом, $x = \cos t$, $y = \sin t$, производная образа $$\begin{aligned} \frac{dX}{dt} &= \frac{d}{dt}\,\frac{\cos t}{1 - \sin t} \\ &= \frac{-\sin t\,(1 - \sin t) + \cos^2 t}{(1 - \sin t)^2} \\ &= \frac{1 - \sin t}{(1 - \sin t)^2} = \frac{1}{1 - y}. \end{aligned}$$ Значит, маленькая дуга около точки с высотой $y$ растягивается в $1/(1 - y)$ раз: у южного полюса вдвое сжимается, на экваторе сохраняет длину, у северного растягивается неограниченно. Для сферы любой размерности множитель тот же: $1/(1 - w)$, где $w$ — «высота» точки над экватором.

Трёхмерная сфера в нашем пространстве

Поднимаемся на этаж. Трёхмерная сфера $S^3$ — точки $(x, y, z, w)$ с $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1$, полюс — $(0, 0, 0, 1)$, «экватор» — наше пространство $w = 0$, и $$\mathbf X = \frac{(x, y, z)}{1 - w}.$$ Это та же формула перспективы при $k = 1$: глаз сидит прямо на сфере. Обе теоремы переносятся дословно, с одной лишней координатой: двумерные сферы на $S^3$ переходят в сферы или плоскости, окружности — в окружности или прямые, углы сохраняются.

Вершины правильных многоячейников на витрине лежат на единичной $S^3$, но их рёбра — прямые отрезки, хорды, и на сфере не лежат. Поэтому стереографическая линза сначала «надувает» многоячейник: заменяет каждое ребро дугой большой окружности между теми же вершинами, а каждую ячейку — куском сферы. А уж потом проецирует. Дуги больших окружностей переходят в дуги окружностей — вот откуда круглые рёбра и ячейки-«подушки» на стереографических картинках.

Масштаб $1/(1-w)$ объясняет и главное впечатление от этих картинок. Ячейка около «южного полюса» $w = -1$ уменьшается вдвое, ячейка с центром при $w = 0{,}9$ увеличивается в десять раз — разница в двадцать раз при том, что в четырёх измерениях все ячейки одинаковы. Та ячейка, в которую попал сам полюс, выворачивается наизнанку и становится «внешностью» всех остальных: её граница видна как огромная сфера, а внутренность уходит в бесконечность. Всё пространство $\R^3$ оказывается заполнено ячейками без пропусков и наложений. Посмотрите, как это выглядит у 120-ячейника: витрина, стереографическая линза.

Три линзы рядом

Ниже одно и то же тело показано тремя способами сразу, и все три панели вращаются вместе. Тень ($k = 0$) честно сохраняет параллельность, но всё накладывается. Перспектива ($k = 1/d$) раздвигает ближнее и дальнее. Стереография ($k = 1$, рёбра — дуги) не допускает наложений и сохраняет углы, зато сильно искажает размеры.

Попробуйте

Нажмите «Диаграмма Шлегеля»: тессеракт повернётся ячейкой к глазу. В перспективе — рамка и куб внутри, в стереографии — «подушки», а в тени обе крайние ячейки слипаются в один куб, и шестнадцать вершин складываются в восемь точек. Тяните по любой панели: вы толкаете тело в четвёртое измерение, и цвет каждой точки показывает её $w$. Попробуйте 5-ячейник: у него диаграмма Шлегеля — тетраэдр, разбитый на четыре тетраэдра.

Что теряется в тени и как это вернуть

Проекция из четырёх измерений в три выбрасывает одно число из четырёх. Чем за это приходится платить?

  • Наложения. Все точки одного луча попадают в одну точку тени. Рёбра, которые в четырёх измерениях не встречаются, на картинке пересекаются; ячейки проходят друг сквозь друга; не понять, что ближе. В параллельной тени тессеракта, повёрнутого ячейкой, две ячейки совпадают, а шесть сплющиваются в квадраты.
  • Длины и углы. Все 24 грани тессеракта — одинаковые квадраты, но в перспективе многие из них выглядят трапециями. Стереография сохраняет углы, но не длины; параллельная проекция сохраняет параллельность, но не углы.
  • Выпуклость и прямизна. В стереографии прямые рёбра становятся дугами, а плоские грани — кусками сфер.

Потерянную координату можно вернуть другими средствами. Первое — цвет: на витрине и во всех виджетах этого справочника точки с отрицательным $w$ (дальние от четырёхмерного глаза) синие, с положительным (ближние) — янтарные, между ними — фиолетовый и розовый. Второе — движение: когда тело вращается в четырёх измерениях, мозг по тому, как части скользят друг сквозь друга, догадывается о глубине, — так же, как вращение проволочного каркаса выдаёт его трёхмерную форму. Третье — несколько проекций сразу, как в виджете выше. Четвёртое — сечения вместо теней: они не теряют ничего, но показывают только кусок тела; о них отдельная глава.

Главное

Все три проекции — это одна формула $\mathbf X = (x, y, z)/(1 - kw)$ с разным $k$: $0$ — параллельная тень, $1/d$ — перспектива с глазом на расстоянии $d$, $1$ — стереография для тел на единичной сфере. Выбор $k$ — это выбор, чем пожертвовать.

Итоги

  • Тень — проекция: параллельный свет забывает одну координату, точечный делит на расстояние до источника: $\mathbf X = \frac{d}{d-w}(x, y, z)$.
  • «Куб в кубе» — перспективная тень тессеракта, повёрнутого ячейкой к глазу, ровно как «квадрат в квадрате» у куба под лампой.
  • Деление в перспективе можно отложить: в однородных координатах перспектива линейна, и видеокарты делают это «перспективное деление» для каждой вершины.
  • Диаграмма Шлегеля — перспектива с глазом у самой ячейки: ячейка становится рамкой, остальные укладываются внутрь без наложений.
  • Стереографическая проекция переводит окружности в окружности или прямые и сохраняет углы; масштаб в точке равен $1/(1-w)$. Для $S^3$ это та же формула при $k = 1$.

Картинки на витрине двигаются, потому что тела вращаются. Как устроено вращение, когда осей больше нет, — в следующей главе.

Источники