Мы привыкли, что у поворота есть ось. Волчок крутится вокруг оси, Земля — вокруг земной оси, дверь — вокруг петель. Привычка так сильна, что вопрос «вокруг какой оси вращается тессеракт?» кажется естественным. Но ответа на него нет: в четырёх измерениях поворот устроен иначе. Чтобы это понять, нужно заметить, что и в нашем мире ось — не главное.
Поворот на плоскости
Начнём с двух измерений. Поворот плоскости на угол $\theta$ вокруг начала координат переводит точку $(x, y)$ в $$x' = x\cos\theta - y\sin\theta,\qquad y' = x\sin\theta + y\cos\theta.$$ То же самое в виде матрицы: $$R(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.$$ Поворот сохраняет расстояния и не переворачивает плоскость «лицом вниз»: определитель матрицы равен $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$. На месте остаётся одна точка — центр. Повороты плоскости складываются просто: сначала на $\alpha$, потом на $\beta$ — то же, что сразу на $\alpha + \beta$, и порядок не важен.
Ось — это то, что осталось на месте
В трёх измерениях поворот «вокруг оси $z$» записывается так: $$\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$ Посмотрите, что здесь на самом деле происходит. Координаты $x$ и $y$ перемешиваются ровно так, как на плоскости, а $z$ не меняется. Двигается плоскость $XY$ — она поворачивается сама в себе на угол $\theta$. Ось $z$ — просто всё, что перпендикулярно этой плоскости и потому осталось на месте.
В трёх измерениях плоскость и перпендикулярная ей прямая однозначно задают друг друга, поэтому говорить «вокруг оси» удобно и безопасно. Леонард Эйлер в 1775 году доказал, что у любого поворота трёхмерного пространства вокруг точки есть неподвижная ось. Отсюда же привычка описывать вращение вектором: угловая скорость — это вектор вдоль оси. Но это совпадение трёхмерного мира, а не закон природы. Правильный объект — плоскость вращения: та плоскость, в которой точки движутся по окружностям.
В четырёх измерениях неподвижна целая плоскость
Добавим координату $w$ и повернём плоскость $XW$: $$R_{XW}(\theta) = \begin{pmatrix}\cos\theta & 0 & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \sin\theta & 0 & 0 & \cos\theta\end{pmatrix}.$$ Координаты $x$ и $w$ перемешиваются, а $y$ и $z$ не меняются. Значит, на месте остаётся не прямая, а вся плоскость $YZ$. Закономерность видна: поворот в одной плоскости оставляет неподвижным подпространство размерности $n - 2$. На плоскости это точка, в пространстве — прямая, в 4D — плоскость. Оси вращения в 4D нет: то, что остаётся на месте, двумерно.
Сколько всего координатных плоскостей? Плоскость задаётся парой осей, поэтому их $$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}:$$ одна на плоскости, три в пространстве и шесть в 4D — $XY$, $XZ$, $XW$, $YZ$, $YW$, $ZW$. Это число независимых «ручек», которыми можно повернуть четырёхмерный объект, — размерность группы вращений $\mathrm{SO}(4)$. В трёх измерениях плоскостей три, столько же, сколько осей, и на этом втором совпадении держится язык осей. В 4D плоскостей шесть, а осей четыре, и вектор угловой скорости построить уже не из чего. Вращение описывают кососимметричной матрицей $4\times4$ с шестью независимыми числами; физики называют такой объект бивектором.
Нажмите «Сброс» и крутите только $YZ$ — это обычный трёхмерный поворот, и «куб в кубе» просто вращается целиком. Теперь только $XW$: внутренний куб растёт, наружный сжимается, а в матрице меняются лишь четыре числа по углам. Белая точка — одна и та же вершина $(\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12, \tfrac12)$, следите за ней.
Матрицы поворота и их порядок
Матрица поворота в плоскости осей $i$ и $j$ совпадает с единичной везде, кроме четырёх клеток: на пересечениях строк и столбцов с номерами $i$ и $j$ стоят $\cos\theta$, $-\sin\theta$, $\sin\theta$, $\cos\theta$. В вычислительной математике такие матрицы называют вращениями Гивенса. Выполнить два поворота подряд — значит перемножить их матрицы; если сначала делается $A$, а потом $B$, результат равен $BA$.
Умножение матриц в общем случае некоммутативно, и повороты это чувствуют. Возьмём повороты на $90^\circ$ в плоскостях $XW$ и $XY$ и проследим, куда попадёт единичный вектор $e_x$:
- сначала $XW$, потом $XY$: поворот $XW$ отправляет $e_x$ в $e_w$, а $XY$ ось $w$ не трогает. Итог — $e_w$;
- сначала $XY$, потом $XW$: $XY$ отправляет $e_x$ в $e_y$, а $XW$ не трогает $y$. Итог — $e_y$.
Результаты разные, значит, порядок важен. А повороты в плоскостях $XW$ и $YZ$ перестановочны: первый трогает только $x$ и $w$, второй — только $y$ и $z$, их матрицы состоят из непересекающихся блоков. Общее правило: повороты в плоскостях без общей оси перестановочны, с общей осью — как правило, нет. В трёх измерениях любые две координатные плоскости имеют общую ось, поэтому перестановочных пар там нет вовсе. В 4D их три: $XY$ и $ZW$, $XZ$ и $YW$, $XW$ и $YZ$. Такие плоскости называют вполне ортогональными: любой вектор одной перпендикулярен любому вектору другой, и общая у них только одна точка — начало координат.
Кстати, композиция двух поворотов на $90^\circ$ в $XW$ и в $XY$ — простой поворот на $120^\circ$. Оба поворота не трогают $z$, так что всё происходит внутри трёхмерного пространства $XYW$. А там это знакомый факт: две четверти оборота вокруг перпендикулярных осей дают треть оборота вокруг диагонали.
Переключите виджет в режим «XW и YZ»: белый тессеракт (сначала $XW$) и розовый (сначала $YZ$) совпадают при любом угле, и матрицы одинаковые. В режиме «XW и XY» они расходятся, а клетки матриц, которые отличаются, подсвечены розовым.
Каноническая форма: две плоскости и два угла
Шесть углов описывают поворот с избытком: одну и ту же матрицу дают разные наборы углов, и по ним трудно понять, что происходит. Есть описание короче и нагляднее — его в виджете показывает строка «Канонические углы».
Для любого поворота $A$ четырёхмерного пространства (ортогональной матрицы с определителем $1$) найдутся две вполне ортогональные плоскости $P$ и $Q$ и углы $\alpha$, $\beta$ такие, что $A$ поворачивает $P$ в себе на угол $\alpha$, а $Q$ — на угол $\beta$. В ортонормированном базисе из двух векторов $P$ и двух векторов $Q$ $$A = \begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0\\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & \cos\beta & -\sin\beta\\ 0 & 0 & \sin\beta & \cos\beta\end{pmatrix}.$$
Характеристический многочлен $A$ имеет степень 4 и вещественные коэффициенты, поэтому его невещественные корни идут парами $\lambda$, $\bar\lambda$. Все корни по модулю равны 1: если $Az = \lambda z$ для комплексного вектора $z \ne 0$, то $|\lambda|^2\,\bar z^{\mathsf T} z = \overline{(Az)}^{\mathsf T}(Az) = \bar z^{\mathsf T}A^{\mathsf T}\!A\,z = \bar z^{\mathsf T} z$.
Шаг 1: невещественный корень даёт инвариантную плоскость. Пусть $\lambda = \cos\alpha + i\sin\alpha$, $\sin\alpha \ne 0$, и $z = u + iv$, где векторы $u, v$ вещественные. Приравнивая вещественные и мнимые части в $Az = \lambda z$, получаем $Au = u\cos\alpha - v\sin\alpha$ и $Av = u\sin\alpha + v\cos\alpha$: плоскость $P$, натянутая на $u$ и $v$, переходит в себя. Более того, $u \perp v$ и $|u| = |v|$. Действительно, для выражения $z^{\mathsf T}z$ без сопряжения $z^{\mathsf T}z = (Az)^{\mathsf T}(Az) = \lambda^2 z^{\mathsf T}z$, а $\lambda^2 \ne 1$, поэтому $z^{\mathsf T}z = |u|^2 - |v|^2 + 2i\,u\cdot v = 0$. Нормировав $u$ и $v$, получаем ортонормированный базис $P$, в котором $A$ действует матрицей поворота на $\alpha$ (с точностью до порядка базисных векторов).
Шаг 2: дополнение тоже инвариантно. Пусть $Q = P^\perp$. Если $x \in Q$ и $p \in P$, то $p = Ap'$ для некоторого $p' \in P$ (на $P$ отображение $A$ обратимо), и $Ax\cdot p = Ax\cdot Ap' = x\cdot p' = 0$. Значит, $A$ переводит $Q$ в $Q$ и действует там ортогонально. Определитель $A$ равен произведению определителей на $P$ и на $Q$; на $P$ он равен 1, значит, и на $Q$ равен 1, то есть на $Q$ это поворот на некоторый угол $\beta$.
Шаг 3: все корни вещественные. Тогда они равны $\pm 1$. Берём вещественный единичный собственный вектор; его ортогональное дополнение инвариантно по той же причине, что в шаге 2, и мы переходим в трёхмерное пространство, где снова есть вещественный собственный вектор. Так получается ортонормированный базис из собственных векторов с собственными значениями $\pm 1$. Их произведение равно $\det A = 1$, поэтому $-1$ встречается чётное число раз. Пара векторов с $-1$ задаёт плоскость, повёрнутую на $180^\circ$, пара с $+1$ — плоскость, повёрнутую на $0^\circ$. ∎
Следствие, удобное для вычислений: след матрицы (сумма диагональных элементов) не зависит от базиса, поэтому $\operatorname{tr}A = 2\cos\alpha + 2\cos\beta$. Вместе со следом $A^2$, равным $2\cos 2\alpha + 2\cos 2\beta$, это даёт оба угла — так виджет и находит их по матрице. Например, у композиции поворотов на $60^\circ$ в $XW$ и в $XY$ след равен $2{,}25$ и $\beta = 0$, поэтому $\cos\alpha = 1/8$ и $\alpha \approx 82{,}8^\circ$: снова простой поворот, но уже не в координатной плоскости.
Теорема сразу делит все повороты 4D на три вида.
- Простой поворот: $\beta = 0$. Плоскость $Q$ неподвижна поточечно, а $P$ вращается. Это прямой аналог трёхмерного вращения вокруг оси, только «ось» двумерна.
- Двойной поворот: $\alpha$ и $\beta$ оба не равны нулю. Неподвижна единственная точка — центр. В трёх измерениях такого не бывает: там всегда есть ось.
- Изоклинный поворот: $|\alpha| = |\beta|$. Самый симметричный и самый неожиданный случай.
Двойное вращение и параллели Клиффорда
Возьмём точку единичной трёхмерной сферы $S^3$ и запишем её через проекции на плоскости $P$ и $Q$: $$p = (\cos\eta\cos\varphi,\ \cos\eta\sin\varphi,\ \sin\eta\cos\psi,\ \sin\eta\sin\psi).$$ Поворот с углами $\alpha$ и $\beta$ прибавляет $\alpha$ к $\varphi$ и $\beta$ к $\psi$, а $\eta$ не меняет. Значит, точка остаётся на поверхности, где $\eta$ постоянно. Это тор — произведение двух окружностей радиусов $\cos\eta$ и $\sin\eta$, лежащее на трёхмерной сфере (при $\eta = 45^\circ$ его называют тором Клиффорда). Если отношение $\beta/\alpha$ рационально, траектория точки замыкается в узел на торе; если иррационально, она наматывается на тор, нигде не замыкаясь, и проходит сколь угодно близко к любой его точке.
На какой угол $\delta$ сдвигается точка за один поворот? Скалярное произведение $p$ и её образа равно $$\cos\delta = \cos^2\eta\,\cos\alpha + \sin^2\eta\,\cos\beta,$$ поэтому сдвиг лежит между $\alpha$ (у точек плоскости $P$) и $\beta$ (у точек $Q$). А при $\alpha = \beta$ формула даёт $\cos\delta = \cos\alpha$ для любого $\eta$: все точки сферы сдвигаются на один и тот же угол. Отсюда название «изоклинный» — «равнонаклонный».
Каждая точка при этом движется по большой окружности — «прямой» сферической геометрии. Инвариантных плоскостей уже не две, а бесконечно много: плоскость, натянутая на любую точку $p$ и её образ, переходит в себя. Вся трёхмерная сфера разбивается на большие окружности-траектории, и расстояние от точки одной из них до другой одинаково, в какой точке ни мерить. На обычной сфере любые две большие окружности пересекаются, параллельных «прямых» там нет. На $S^3$ они есть — это параллели Клиффорда, по имени Уильяма Клиффорда, описавшего их в 1873 году. При этом любые две такие окружности сцеплены, как звенья цепи. Это то же разбиение сферы, что лежит в основе расслоения Хопфа, о котором пойдёт речь в главе о гиперсфере.
Виджет показывает траектории дюжины точек $S^3$ в стереографической проекции: сфера отображается в обычное пространство из «северного полюса» $(0,0,0,1)$, окружности переходят в окружности (или в прямые, если проходят через полюс). Голубое кольцо — большая окружность в плоскости $XY$, оранжевая прямая — окружность в плоскости $ZW$: она проходит через полюс и потому превратилась в ось $z$.
В режиме «Простое» траектории — горизонтальные кольца вокруг оси $z$, ни одно не продето в другое, а окружность $ZW$ стоит на месте. В «Изоклинном» каждая траектория — окружность, и любые две сцеплены. Поставьте ползунок $\beta : \alpha$ на $0{,}5$: траектории превращаются в узлы, обвивающие торы. Строка под виджетом сообщает, насколько сдвинулись точки, пока плоскость $XY$ повернулась на $60^\circ$.
Изоклинное вращение «причёсывает» трёхмерную сферу: в каждой её точке скорость не равна нулю и касается сферы. С обычной сферой так не выйдет: любой поворот $S^2$ оставляет на месте два полюса, и вообще у любого непрерывного касательного поля на $S^2$ есть нуль (теорема о причёсывании ежа). Для сфер нечётной размерности, как $S^1$ и $S^3$, такого запрета нет.
Кватернионы: поворот как умножение
16 октября 1843 года Уильям Роуэн Гамильтон, проходя по мосту Брум в Дублине, понял, как умножать четвёрки чисел, и вырезал на камне моста формулу $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1.$$ Кватернион $q = a + bi + cj + dk$ — это точка $(a, b, c, d)$ четырёхмерного пространства. Главное свойство умножения: модуль произведения равен произведению модулей, $|pq| = |p|\,|q|$. Кватернионы модуля 1 образуют трёхмерную сферу $S^3$, а умножение на такой кватернион сохраняет длины — то есть это поворот пространства $\R^4$.
Умножение слева на $l = \cos\theta + u\sin\theta$, где $u$ — единичный чисто мнимый кватернион, сдвигает каждую точку на один и тот же угол: скалярное произведение $p$ и $lp$ равно $\operatorname{Re}(\bar p\, l\, p) = |p|^2\cos\theta$. Это изоклинное вращение; назовём его левым. Умножение справа даёт правые изоклинные вращения. В координатах умножение слева на $\cos\theta + i\sin\theta$ поворачивает $XY$ и $ZW$ на $\theta$ в одну сторону ($\alpha = \beta$), а умножение справа — в противоположные ($\alpha = -\beta$): это две зеркальные разновидности.
Для трёхмерных поворотов кватернионы известны лучше. Мнимые кватернионы $bi + cj + dk$ образуют наше пространство, и отображение $v \mapsto q\,v\,\bar q$ с $q = \cos\tfrac{\theta}{2} + u\sin\tfrac{\theta}{2}$ поворачивает его на угол $\theta$ вокруг оси $u$. Эту формулу опубликовали Гамильтон и, независимо, Артур Кэли в середине 1840-х. Половинный угол не случаен: $q$ и $-q$ дают один и тот же поворот, и сфера $S^3$ дважды накрывает группу вращений $\mathrm{SO}(3)$. Кватернионами поворачивают объекты в компьютерной графике и ориентируют космические аппараты.
Любой поворот $\R^4$ имеет вид $p \mapsto l\,p\,\bar r$, где $l$ и $r$ — единичные кватернионы, и пара $(l, r)$ определена однозначно с точностью до общего знака. Поэтому $$\mathrm{SO}(4) \cong (S^3 \times S^3)/\{\pm(1, 1)\}.$$
Отображение $p \mapsto l p \bar r$ сохраняет длины, и его определитель равен 1: он меняется непрерывно, может быть только $\pm 1$, а пару $(l, r)$ можно непрерывно довести до $(1, 1)$. Обратно, пусть $A$ — поворот и $a = A(1)$, единичный кватернион. Отображение $B(p) = \bar a\,A(p)$ — тоже поворот, и он оставляет на месте $1$. Значит, $B$ переводит в себя перпендикулярное к $1$ пространство мнимых кватернионов и является там трёхмерным поворотом. По трёхмерной теореме $B(p) = q p \bar q$ для некоторого единичного $q$ (а $q\cdot 1\cdot\bar q = 1$, так что формула верна на всём $\R^4$). Итак, $A(p) = a q\, p\, \bar q$, то есть $l = aq$, $r = q$. Единственность: если $l p \bar r = p$ для всех $p$, то при $p = 1$ получаем $l = r$, а равенство $l p \bar l = p$ для всех $p$ означает, что $l$ перестановочен со всеми кватернионами, то есть вещественен: $l = \pm 1$. ∎
Формула $p \mapsto l\,p\,\bar r$ — это левое изоклинное вращение, за которым следует правое. Они перестановочны, потому что умножение кватернионов ассоциативно: $(l p)\bar r = l(p \bar r)$. Выходит, любой поворот 4D — произведение двух перестановочных изоклинных вращений. Углы тоже складываются: если $l$ сдвигает точки на $\alpha'$, а $r$ — на $\beta'$, то углы поворота двух инвариантных плоскостей равны $\alpha' + \beta'$ и $|\alpha' - \beta'|$. Кэли нашёл это представление в 1854–1855 годах. На витрине вращение «поток» устроено именно так: объект умножается справа на кватернион, и каждая его вершина плывёт по своей окружности Хопфа.
Тессеракт выворачивается наизнанку?
Самая известная анимация четырёхмерного мира — вращающийся тессеракт. Маленький куб внутри растёт, проходит сквозь стенки большого и сам становится внешним, а внешний съёживается и оказывается внутри. Кажется, что фигура выворачивается наизнанку и мнётся, а рёбра меняют длину.
На самом деле тессеракт твёрдый: при повороте в 4D все его рёбра сохраняют длину. Деформируется только изображение. Картинку строят перспективной проекцией из четырёхмерного «глаза», стоящего на оси $w$ на расстоянии $d$ от центра: точка $(x, y, z, w)$ попадает в $$X = \frac{(x,\, y,\, z)}{1 - w/d}.$$ Ячейка с $w = -\tfrac12$ дальше от глаза и видна маленьким кубом внутри, ячейка с $w = +\tfrac12$ ближе и видна большим кубом снаружи. Поворот в плоскости $XW$ меняет у точек координату $w$: за полоборота дальняя ячейка становится ближней, а на четверти пути она повёрнута к глазу боком и видна усечённой пирамидой. Центр выделенной ячейки идёт по окружности $\bigl(\tfrac12\sin\theta,\ 0,\ 0,\ -\tfrac12\cos\theta\bigr)$, и её экранный масштаб $1/(1 - w/d)$ плавно растёт от меньшего к большему.
То же самое происходит с обычным кубом, если рисовать его в перспективе «квадрат в квадрате», глядя вдоль оси. Поверните такой куб вокруг вертикальной оси — дальняя грань выйдет вперёд, пройдя через положение боковой, и на рисунке маленький квадрат «вывернется» в большой. Никто не думает, что куб при этом мнётся: мы знаем, как работает перспектива. С тессерактом ровно то же, только глубина — четвёртая координата.
Остановите анимацию и медленно ведите угол от $0^\circ$ до $180^\circ$. На врезке «вид сбоку» квадрат — это тессеракт, увиденный в плоскости $XW$ (две остальные координаты сжаты в точку), оранжевая сторона — выделенная ячейка, наверху — глаз. Никакого выворачивания: сторона просто обходит вокруг центра и оказывается ближе к глазу.
Вращение происходит в плоскости, а не вокруг оси. В 4D шесть координатных плоскостей, и любой поворот сводится к двум вполне ортогональным плоскостям с углами $\alpha$ и $\beta$. Когда углы равны, все точки сферы движутся одинаково, по сцепленным большим окружностям.
Итоги
- Поворот — это вращение плоскости; «ось» в трёх измерениях — лишь то, что перпендикулярно этой плоскости и остаётся на месте. В 4D при повороте в одной плоскости неподвижна целая плоскость.
- Координатных плоскостей в $n$ измерениях $n(n-1)/2$: в 4D их шесть, и группа вращений $\mathrm{SO}(4)$ шестимерна.
- Повороты в плоскостях без общей оси перестановочны, с общей осью — обычно нет: вектор $e_x$ после поворотов $XW$ и $XY$ на $90^\circ$ оказывается в $e_w$ или в $e_y$ в зависимости от порядка.
- Любой поворот 4D поворачивает две вполне ортогональные плоскости на углы $\alpha$ и $\beta$. Простой поворот — $\beta = 0$, двойной — оба угла не нули, изоклинный — $|\alpha| = |\beta|$.
- При изоклинном вращении все точки сферы сдвигаются на один угол по большим окружностям — параллелям Клиффорда, и любые две такие окружности сцеплены.
- Кватернионы записывают любой поворот 4D как $p \mapsto l p \bar r$ — произведение двух перестановочных изоклинных вращений; $\mathrm{SO}(4) \cong (S^3 \times S^3)/\{\pm 1\}$.
- «Выворачивание» тессеракта — эффект перспективы: при повороте в $XW$ дальняя ячейка становится ближней.
Дальше — сечения: что увидит трёхмерное существо, когда четырёхмерное тело пройдёт сквозь его пространство.
Источники
- Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: МЦНМО — канонический вид ортогонального оператора.
- J. H. Conway, D. A. Smith. On Quaternions and Octonions. A K Peters, 2003 — кватернионы и повороты трёх- и четырёхмерного пространства.
- Rotations in 4-dimensional Euclidean space — Wikipedia: простые, двойные и изоклинные вращения, коммутирование левых и правых изоклинных.
- Euler's rotation theorem — Wikipedia: доклад Эйлера в Петербургской академии 9 октября 1775 года, публикация 1776 года.
- History of quaternions — Wikipedia: 16 октября 1843 года, мост Брум.
- Lorentz transformation (Quaternions) — Wikiversity: выдержки и ссылки на работы Гамильтона (1844–1845) и Кэли (Phil. Mag., 1845 и 1854; J. reine angew. Math. 50, 1855).
- Clifford parallel — Wikipedia: параллели Клиффорда (1873) и их связь с изоклинными вращениями.