Четвёртое измерение

Справочник

Одиннадцать глав о многомерной геометрии — от «что такое измерение» до расслоения Хопфа и проклятия размерности. В каждой — живые виджеты: их можно крутить, резать и растягивать.

1. 01 Что такое измерение Сколько чисел нужно, чтобы указать место, — и как из точки шаг за шагом вырастает тессеракт, а за ним десятимерный куб. 15 мин
2. 02 Флатландия: думать аналогиями Плоский Квадрат не мог вообразить шар — мы точно так же не можем вообразить тессеракт. Зато его затруднения видны со стороны, и каждое можно поднять на этаж выше. 17 мин
3. 03 Тени: как спроецировать 4D в 3D Любая картинка тессеракта — это тень. Параллельный свет, лампа и стереография дают три разные тени одного тела, и каждая что-то прячет. 18 мин
4. 04 Вращение: плоскости вместо осей Почему у поворота в четырёх измерениях нет оси, сколько у него независимых «ручек», как устроены двойные и изоклинные вращения и что на самом деле происходит, когда тессеракт «выворачивается наизнанку». 17 мин
5. 05 Сечения: как 4D-тело проходит сквозь наш мир Что увидел бы трёхмерный наблюдатель, если бы сквозь его пространство прошёл тессеракт, гиперсфера или тигр, — и как по сечениям найти четырёхмерный объём. 17 мин
6. 06 Шесть правильных многоячейников Правильных многоугольников бесконечно много, правильных многогранников пять, в четырёх измерениях правильных тел шесть, а начиная с пятого измерения всегда три. Откуда берутся эти числа и как выглядит шестёрка. 18 мин
7. 07 Трёхмерная сфера и расслоение Хопфа Трёхмерная сфера — самое простое замкнутое трёхмерное пространство: конечное, но без края. Как её представить, чему равен её объём и почему она распадается на окружности, любые две из которых сцеплены. 18 мин
8. 08 Странная геометрия больших размерностей В пространстве из тысячи измерений почти весь объём шара лежит в тонкой кожуре, случайные направления почти перпендикулярны, а все точки почти одинаково далеки друг от друга. Это рабочая среда статистики и машинного обучения. 18 мин
9. 09 Где живут измерения: от пространства-времени до нейросетей Четвёртая координата встречается не только в воображении геометров: время у физиков, суставы робота, цвет, таблицы данных, свёрнутые измерения теории струн и бесконечномерные пространства квантовой механики. 18 мин
10. 10 История четвёртого измерения: от Шлефли до «Интерстеллара» Двести семьдесят лет четвёртого измерения: догадка энциклопедиста, зеркало Мёбиуса, трактат, который полвека не могли напечатать, спиритические узлы, картонные модели, кубисты, тессеракт Дали и чёрная дыра «Интерстеллара». 18 мин
11. 11 Как нарисована витрина Машинное отделение витрины для программистов: многоячейник из вершин и нормалей, одна формула на все линзы, трубки, которые гнёт видеокарта, и рей-марчинг четырёхмерных тел в трёхмерном срезе. 20 мин