Слово «измерение» мы слышим постоянно: «трёхмерная графика», «четвёртое измерение», «параллельное измерение» из фантастики. Математик вкладывает в него очень простой смысл, и этот смысл выдерживает любое число измерений — хоть четыре, хоть тысячу.
Сколько чисел нужно, чтобы указать место
Представьте бусину на натянутой нитке. Чтобы сказать, где она, достаточно одного числа — расстояния от начала нитки. Нитка одномерна. Муравей на листе бумаги уже требует двух чисел: сколько вправо и сколько вверх. Лист двумерен. Муха в комнате — три числа: вправо, вперёд, вверх. Комната трёхмерна.
Вот и всё определение: размерность — это число независимых чисел (координат), которые нужны, чтобы однозначно указать точку. «Независимых» — значит, ни одно из них нельзя вычислить из остальных. Если муравей ползёт по окружности, у него, конечно, есть две координаты $x$ и $y$, но они связаны уравнением $x^2 + y^2 = 1$: хватит и одного числа — угла. Окружность, нарисованная на плоскости, остаётся одномерной.
Физики говорят то же самое другими словами: размерность — это число степеней свободы, число независимых направлений, в которых можно сдвинуться. Бусина может двигаться только туда-сюда, муравей — ещё и вбок, муха — ещё и вверх. А четырёхмерное пространство — это место, где у каждой точки четыре координаты $(x, y, z, w)$ и есть четвёртое направление, перпендикулярное всем трём нашим.
«Перпендикулярное всем трём» звучит как бессмыслица: в нашей комнате такого направления нет. Но для алгебры это не проблема. Перпендикулярность векторов — это равенство нулю скалярного произведения $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + a_4b_4 = 0$, и вектор $(0, 0, 0, 1)$ перпендикулярен каждому из $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$. Формулы не знают, что мы не умеем это представить. Весь этот справочник — о том, как обойти ограничения нашего воображения, опираясь на формулы и на аналогии.
Расстояние: Пифагор в любом числе измерений
Координаты сами по себе ещё не геометрия: нужно уметь измерять расстояния. На плоскости это делает теорема Пифагора: расстояние между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ равно $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. В пространстве добавляется третье слагаемое. Дальше закономерность не ломается.
В $n$-мерном евклидовом пространстве расстояние между точками $a = (a_1, \dots, a_n)$ и $b = (b_1, \dots, b_n)$ равно $$|ab| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + \dots + (b_n-a_n)^2}.$$
Индукция по $n$. Для $n = 1$ это просто $|b_1 - a_1|$. Пусть формула верна в размерности $n - 1$. Рассмотрим точку $c = (b_1, \dots, b_{n-1}, a_n)$: у неё все координаты как у $b$, кроме последней, которая как у $a$. Точки $a$ и $c$ лежат в «горизонтальной» гиперплоскости $x_n = a_n$, и по предположению индукции $|ac|^2 = \sum_{i
Первое следствие забавное. Главная диагональ единичного $n$-мерного куба — от $(0, \dots, 0)$ до $(1, \dots, 1)$ — равна $\sqrt{n}$. У квадрата это $\sqrt2 \approx 1{,}41$, у куба $\sqrt3 \approx 1{,}73$, а у тессеракта ровно $\sqrt4 = 2$: диагональ вдвое длиннее ребра. У стомерного куба диагональ в десять раз длиннее ребра, и в главе о больших размерностях мы увидим, как из этого вырастают совсем уж странные эффекты.
Второе следствие — определение сферы. Сфера — это точки на одинаковом расстоянии от центра, поэтому единичная сфера в четырёх измерениях задаётся уравнением $$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1.$$ Это трёхмерная сфера $S^3$: на ней живут вершины всех многоячейников на витрине, и ей посвящена отдельная глава.
Почему наше пространство трёхмерно, наука до конца не знает, но есть красивый довод, что жить в другом было бы трудно. В 1917 году Пауль Эренфест заметил: в $n$ измерениях сила тяготения убывает как $1/r^{n-1}$ (поток поля через сферу радиуса $r$ постоянен, а её площадь растёт как $r^{n-1}$). При $n = 3$ это знакомый закон обратных квадратов, и орбиты планет устойчивы. При $n \ge 4$ устойчивых круговых орбит нет: малейший толчок — и планета либо падает на звезду, либо улетает. То же самое с электроном в атоме. Выходит, четырёхмерную геометрию можно изучать сколько угодно, а вот жить в четырёхмерной вселенной с такой же физикой было бы неуютно.
Лестница: от точки к тессеракту
Самый наглядный способ подняться в четвёртое измерение — построить лестницу, где каждая ступень получается из предыдущей одной и той же операцией.
- 0D — точка. У неё нет длины, ширины, высоты. Одна вершина.
- 1D — отрезок. Берём точку, делаем копию и сдвигаем её в новом направлении. Соединяем точку с копией. Две вершины, одно ребро.
- 2D — квадрат. Берём отрезок, копируем, сдвигаем в направлении, перпендикулярном ему, и соединяем соответствующие концы. Четыре вершины, четыре ребра.
- 3D — куб. Квадрат, его копия, сдвинутая «вверх», и четыре новых ребра между ними. Восемь вершин, двенадцать рёбер, шесть граней.
- 4D — тессеракт. Куб, его копия, сдвинутая в четвёртом направлении, и восемь новых рёбер. Шестнадцать вершин, тридцать два ребра, двадцать четыре квадратные грани и восемь кубических ячеек.
Каждый шаг — одно и то же: скопировать, сдвинуть перпендикулярно всему, что было, соединить. Нам не нужно «видеть» четвёртое направление, чтобы выполнить эту инструкцию, — достаточно добавить к координатам вершин ещё одну. В виджете ниже рёбра раскрашены по направлению, в котором они идут: у каждого измерения свой цвет.
Нажмите 4D и посмотрите, как копия куба «выезжает» в четвёртом направлении. На экране она оказывается внутри исходного куба — это не значит, что тессеракт устроен как «куб в кубе». Так выглядит его перспективная тень: дальняя в четвёртом измерении копия видна меньше. Про тени — в главе о проекциях.
Считаем вершины, рёбра и грани
С лестницей можно не только рисовать, но и считать. Вершины на каждом шаге удваиваются: у $n$-мерного куба их $2^n$. С рёбрами чуть хитрее: у копии столько же рёбер, сколько у оригинала, плюс по одному новому ребру на каждую вершину. Получается рекуррентная формула $$E_n = 2E_{n-1} + 2^{n-1},$$ и из неё: $E_1 = 1$, $E_2 = 4$, $E_3 = 12$, $E_4 = 32$, $E_5 = 80$.
Можно сразу посчитать грани любой размерности. Удобно представлять $n$-мерный куб как множество точек $[0,1]^n$: у каждой точки $n$ координат, и каждая лежит между 0 и 1.
У $n$-мерного куба ровно $\displaystyle f_k = 2^{\,n-k}\binom{n}{k}$ граней размерности $k$.
Грань размерности $k$ — это множество точек куба, у которых $k$ координат свободно меняются от 0 до 1, а остальные $n-k$ закреплены на краю: каждая равна 0 или 1. Выбрать, какие $k$ координат свободны, можно $\binom{n}{k}$ способами. Для каждой из оставшихся $n-k$ координат есть два края, 0 и 1, — всего $2^{n-k}$ вариантов. Перемножаем. ∎
Проверим на кубе ($n = 3$): вершин $2^3 \cdot 1 = 8$, рёбер $2^2 \cdot 3 = 12$, граней $2 \cdot 3 = 6$. Всё сходится. Для тессеракта:
| $n$ | фигура | вершины | рёбра | 2-грани | 3-грани | 4-грани |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | точка | 1 | ||||
| 1 | отрезок | 2 | 1 | |||
| 2 | квадрат | 4 | 4 | 1 | ||
| 3 | куб | 8 | 12 | 6 | 1 | |
| 4 | тессеракт | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 |
| 5 | пентеракт | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 |
В этой таблице спрятан красивый закон. Возьмём знакочередующуюся сумму — вершины минус рёбра плюс грани минус ячейки и так далее, включая сам куб как единственную $n$-мерную «грань»: $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\, 2^{\,n-k}\binom{n}{k} = (2-1)^n = 1.$$ Это просто бином Ньютона для $(2 + (-1))^n$. Если убрать из суммы сам куб, останется поверхность, и для обычного куба получится знаменитое $V - E + F = 8 - 12 + 6 = 2$ — формула Эйлера для многогранников. А для тессеракта $V - E + F - C = 16 - 32 + 24 - 8 = 0$. В чётных размерностях граница выпуклого многогранника даёт 2, в нечётных — 0. Это эйлерова характеристика, и она ещё встретится нам в главе о правильных многоячейниках.
Выше четырёх: как нарисовать десятимерный куб
Лестница не кончается на тессеракте. Пятимерный куб (его называют пентерактом) — это два тессеракта, соединённые 16 рёбрами. Шестимерный — два пентеракта. У десятимерного куба 1024 вершины и 5120 рёбер. Нарисовать его «в перспективе», как тессеракт, уже не выйдет: при каждом шаге вниз по измерениям картинка сжимается, и всё сливается в кашу.
Геометры придумали другой способ — спроецировать куб на одну особую плоскость, плоскость Кокстера (её ещё называют плоскостью Петри). Каждой из $n$ осей сопоставим единичный вектор на плоскости, повёрнутый на угол $\pi i / n$, и отправим вершину $(v_1, \dots, v_n)$ в точку $$P(v) = \sum_{i=1}^{n} v_i \,\Bigl(\cos\frac{\pi i}{n},\; \sin\frac{\pi i}{n}\Bigr).$$ При таком выборе симметрия куба проявляется во всей красе: контур становится правильным $2n$-угольником, а внутри возникает узор, похожий на розетку или на ткань.
Ребро $n$-куба всегда параллельно одной из осей: две его вершины отличаются ровно одной координатой. Поэтому на картинке рёбра идут всего в $n$ направлениях, и в виджете каждое направление окрашено своим цветом. Сдвиньте ползунок наклона: плоскость проекции начнёт «дышать», и станет видно, как много всего спрятано в этой плоской тени.
Чтобы работать с многомерной фигурой, не нужно её представлять. Достаточно знать правило, по которому она строится (скопировать, сдвинуть, соединить), и уметь считать. Картинка — всегда тень, а тень можно отбрасывать по-разному.
Другие «размерности»
Число координат — самое понятное определение, но не единственное. Математики пользуются несколькими, и в привычных случаях все они дают один ответ.
- Размерность векторного пространства — число векторов в базисе, то есть в наборе, через который любой вектор выражается единственным образом. У пространства многочленов степени не выше трёх базис $1, x, x^2, x^3$ — это четырёхмерное пространство, хотя ничего «пространственного» в нём нет.
- Размерность многообразия — сколько координат нужно локально. Поверхность Земли в целом — сфера, но любой её кусочек выглядит как кусок плоскости: сфера — двумерное многообразие. Трёхмерная сфера, главная героиня главы о гиперсфере, — трёхмерное многообразие, живущее в четырёхмерном пространстве.
- Топологическая размерность определяется через покрытия: насколько плотно приходится перекрывать фигуру маленькими кусочками. У кривой перекрытия можно сделать двойными, у поверхности — тройными, у тела — четверными.
И есть размерность, которая умеет быть дробной. Возьмём снова лестницу, только посмотрим на неё с другой стороны: если увеличить отрезок в 2 раза, он складывается из 2 копий исходного. Квадрат — из $4 = 2^2$ копий, куб — из $8 = 2^3$. Показатель степени и есть размерность: $$N = s^{D} \quad\Longrightarrow\quad D = \frac{\log N}{\log s},$$ где $s$ — во сколько раз увеличили, а $N$ — сколько копий получилось. А теперь треугольник Серпинского: увеличьте его вдвое — и он сложится из трёх копий самого себя. Значит, его размерность $D = \log 3 / \log 2 \approx 1{,}585$: больше, чем у линии, но меньше, чем у плоскости. Кривая Коха даёт $\log 4 / \log 3 \approx 1{,}262$. Это размерность подобия, частный случай размерности Хаусдорфа. Если захотите увидеть такие фракталы живьём, загляните в «Узоры»: у фракталов там есть отдельные слои.
Кватернионное множество Жюлиа на витрине — фрактал в четырёх измерениях. Мы видим его трёхмерные срезы, а его граница, как и у всех настоящих фракталов, имеет дробную размерность.
Итоги
- Размерность — это число независимых координат, нужных, чтобы указать точку, или, что то же самое, число независимых направлений движения.
- Четырёхмерное пространство состоит из точек $(x, y, z, w)$. Четвёртое направление перпендикулярно всем трём нашим в алгебраическом смысле: скалярное произведение равно нулю.
- Расстояние в $n$ измерениях считается по той же теореме Пифагора, только слагаемых $n$; диагональ единичного $n$-куба равна $\sqrt{n}$, у тессеракта — ровно 2.
- Куб любой размерности строится одной операцией: скопировать, сдвинуть, соединить. У $n$-куба $2^{n-k}\binom{n}{k}$ граней размерности $k$.
- Знакочередующаяся сумма чисел граней — эйлерова характеристика — у куба любой размерности считается одной строкой через бином Ньютона.
- Бывают и другие размерности, в том числе дробные: у треугольника Серпинского она примерно 1,585.
Дальше — Флатландия: как по аналогии с двумерными существами понять, что увидели бы мы, если бы сквозь наш мир прошло четырёхмерное тело.
Источники
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. 3rd ed. New York: Dover, 1973 — число граней $n$-куба и другие счётные формулы.
- P. Ehrenfest. In what way does it become manifest in the fundamental laws of physics that space has three dimensions? Proceedings of the KNAW 20 (1918), 200–209.
- M. Tegmark. On the dimensionality of spacetime. Classical and Quantum Gravity 14 (1997), L69–L75.
- B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman, 1982.
- K. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Wiley, 3rd ed. 2014 — размерность подобия и размерность Хаусдорфа.