Четвёртое измерение прожило удивительно пёструю жизнь. Его придумывали философы, строили на бумаге геометры, в нём искали духов, из него делали картины, фильмы и игры. Лента ниже — вся эта история на одной оси: цвет точки говорит, к какому миру относится событие, по нажатию открывается карточка.
Выключите все фильтры, кроме «искусства и литературы», и посмотрите, как плотно события жмутся к 1880–1915 годам: это была настоящая мода. Стрелками ← и → можно идти по ленте по порядку.
Время как четвёртая мера
Одна из первых печатных догадок о четвёртом измерении принадлежит даже не тому, кто её напечатал. В статье «Измерение» из четвёртого тома «Энциклопедии» (1754) Д’Аламбер пишет, что больше трёх измерений представить нельзя, и добавляет: «Один умный человек из моих знакомых полагает, однако, что длительность можно рассматривать как четвёртое измерение и что произведение времени на объём было бы в некотором роде произведением четырёх измерений; эту мысль можно оспорить, но в ней, по-моему, есть достоинство — хотя бы достоинство новизны». Кто был этот знакомый, неизвестно. И речь шла не о пространстве-времени, а об алгебре: «измерениями» тогда называли сомножители вроде длины, ширины и высоты в формуле объёма.
Лагранж в «Теории аналитических функций» (1797; цитата — по переработанному изданию 1813 года) выразился определённее: положение точки задают координаты $x, y, z$, в механике все они — функции времени $t$, а значит, «можно рассматривать механику как геометрию четырёх измерений». А молодой Кант в «Мыслях об истинной оценке живых сил» (написаны в 1746–1747 годах, напечатаны в 1749-м) рассуждал, что трёхмерность пространства связана с законом обратных квадратов, по которому действуют силы, а при другом законе пространство имело бы другое число измерений. «Наука обо всех этих возможных видах пространства, — писал он, — была бы, несомненно, высшей геометрией, какую только может предпринять конечный разум».
Через двадцать лет, в статье 1768 года, Кант привёл пример, который потом станет классикой: правая рука «совершенно равна и подобна» левой, но совместить их нельзя. Такие тела он назвал несовместимыми двойниками и сделал из них довод в пользу абсолютного пространства. О четвёртом измерении в той статье нет ни слова — к зеркальным двойникам его приложил Мёбиус.
Мёбиус: зеркало через четвёртое измерение
В «Барицентрическом исчислении» (1827) Август Фердинанд Мёбиус заметил странность. Две зеркальные фигуры на прямой совмещаются, если одну повернуть через плоскость; зеркальные треугольники на плоскости совмещаются, если один перевернуть через пространство. Для зеркальных тел, продолжает Мёбиус, по аналогии понадобилось бы, «чтобы одну систему можно было повернуть на пол-оборота в пространстве четырёх измерений. Но поскольку такое пространство нельзя помыслить, совмещение в этом случае невозможно». Мёбиус не звал в четвёртое измерение — он объяснял, почему туда нельзя. Но его рассуждение — точная математика.
Зеркальное отражение $(x, y, z) \mapsto (-x, y, z)$ трёхмерного пространства получается непрерывным поворотом четырёхмерного: поворот $\R^4$ на угол $\pi$ в плоскости $xw$ переводит каждую точку гиперплоскости $w = 0$ в её зеркальный образ. В самом трёхмерном пространстве никакое непрерывное движение этого не сделает.
Поворот на угол $\theta$ в плоскости $xw$ задаётся формулами $x' = x\cos\theta - w\sin\theta$, $w' = x\sin\theta + w\cos\theta$, а $y$ и $z$ не меняются. Это движение твёрдого тела: расстояния сохраняются, определитель матрицы равен $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, и при $\theta$ от 0 до $\pi$ движение непрерывно. При $\theta = \pi$ получаем $x' = -x$, $w' = -w$, так что точка $(x, y, z, 0)$ переходит в $(-x, y, z, 0)$. В трёх измерениях у поворота определитель $+1$, у отражения $-1$, а при непрерывном движении определитель, который может принимать только значения $\pm1$, не может перескочить с одного на другое. ∎
Правая перчатка становится левой, если её есть куда повернуть. Как это выглядит для плоских существ, показано в главе о Флатландии.
Геометрия без картинок
В 1840-е годы многомерность вошла в математику сразу с нескольких сторон. Артур Кэли в 1843 году напечатал «Главы аналитической геометрии $n$ измерений» — правда, геометрический язык там есть только в заглавии. Герман Грассман в 1844-м издал «Учение о линейном протяжении» — алгебру направлений, которых, как он писал, в чистой теории может быть сколько угодно. Книгу почти никто не понял, и даже Мёбиус отказался писать на неё рецензию. А Уильям Роуэн Гамильтон 16 октября 1843 года, гуляя с женой вдоль Королевского канала в Дублине, придумал кватернионы — числа вида $a + bi + cj + dk$ — и вырезал формулу $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ на камне моста Брум. Кватернион — это точка четырёхмерного пространства, которую можно умножать на другие. На кватернионах держатся вращения в 4D, расслоение Хопфа и фрактал Жюлиа на витрине.
10 июня 1854 года Бернхард Риман прочёл в Гёттингене пробную лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Из трёх предложенных тем Гаусс, против ожиданий Римана, выбрал геометрию. Риман говорил о многообразиях любого числа измерений и об их кривизне — на этом языке через шестьдесят лет будет написана общая теория относительности. Напечатал лекцию Дедекинд в 1868 году, уже после смерти автора.
Тогда же бернский математик Людвиг Шлефли, начинавший школьным учителем, написал трактат «Теория многократной непрерывности» (1850–1852) — геометрию $n$ измерений. В нём он нашёл все правильные многомерные многогранники, которые называл «полисхемами»: шесть в четырёх измерениях и по три в каждом измерении от пятого и выше. Венская академия трактат отвергла, Берлинская тоже; опубликованные в 1850-х отрывки не заметили. Целиком работа вышла только в 1901 году, через шесть лет после смерти Шлефли. Коксетер позже сравнил эту судьбу с судьбой картин Ван Гога: они опередили своё время. Почему правильных многоячейников именно шесть, объясняет глава о них.
Первые картинки: Стрингхем, Шлегель, Буль-Стотт
Не зная о Шлефли, многоячейники открывали заново. В 1880 году Вашингтон Ирвинг Стрингхем, ученик Сильвестра в Университете Джонса Хопкинса, напечатал в American Journal of Mathematics статью «Правильные фигуры в $n$-мерном пространстве» с рисунками и фотографиями моделей — одни из первых опубликованных изображений четырёхмерных многогранников. Статья была настолько нагляднее трактата Шлефли, что, по словам Коксетера, многие считали первооткрывателем Стрингхема. В 1882 году Рейнгольд Хоппе, по-видимому, придумал немецкое слово Polytop, а Виктор Шлегель в 1880-е годы стал рисовать многоячейники в перспективе из точки чуть снаружи одной из ячеек: тогда вся фигура видна внутри этой ячейки. Это диаграмма Шлегеля; её можно включить на витрине линзой «перспектива».
Самая удивительная фигура этой истории — Алисия Буль, третья из пяти дочерей логика Джорджа Буля. Математике её не учили: по словам Коксетера, аналитической геометрии она так и не узнала. Лет в восемнадцать она увидела деревянные кубики Чарльза Хинтона, который женился на её старшей сестре. Сёстрам они казались скучнейшей игрой, а Алисию привели, как писал Коксетер, к «необычайно глубокому пониманию четырёхмерной геометрии». Чисто евклидовыми построениями она нашла трёхмерные центральные сечения всех шести правильных многоячейников и склеила их из картона. В 1900 году её статья о сериях сечений вышла в трудах Амстердамской академии; с голландским геометром Питером Схаутом она работала до его смерти в 1913 году. Слово polytope в английский язык ввела именно она, а в 1914 году Гронингенский университет присвоил ей почётную докторскую степень. Что такое сечения и как они выглядят, показывает глава о сечениях.
Много лет спустя с «тётей Алисой» работал молодой Гарольд Коксетер. Его книга «Правильные многогранники» (Regular Polytopes, 1948) стала главной книгой о многомерных многогранниках. В предисловии Коксетер благодарит миссис Э. Л. Войнич за сведения о её сестре: младшая из сестёр Буль, Этель Лилиан Войнич, — автор «Овода».
Мода: спириты, тессеракт и Флатландия
В 1870-е годы четвёртое измерение вошло в моду, и не у геометров. Лейпцигский астрофизик Иоганн Карл Фридрих Цёлльнер в ноябре–декабре 1877 и в мае 1878 года провёл серию сеансов с американским медиумом Генри Слейдом, которого незадолго до этого осудили за мошенничество в Лондоне (приговор отменили по формальному поводу). По записи Цёлльнера, 17 декабря 1877 года в 11 часов утра на верёвке, концы которой были скреплены печатью и прижаты к столу его большими пальцами, за несколько минут появились четыре узла. Объяснение Цёлльнера: существо, способное двигаться в четвёртом измерении, может завязать узел на замкнутой верёвке, не разрезая её.
Математически Цёлльнер был прав, ошибка была в опыте. Свидетелями он называл основателя психофизики Фехнера, физика Вебера и математика Шайбнера; через девять лет их расспросил секретарь американской комиссии Сейберта и записал, что у Фехнера начиналась катаракта, а Шайбнер близорук. Решающие проверки, которые фокусом не подделать, не удались: узел на ленте, вырезанной из цельного пузыря, так и не завязался, а два кольца из разных пород дерева, которые «духи» должны были сцепить, оказались надеты на ножку стола.
Любые две непересекающиеся замкнутые кривые в $\R^3$, как бы они ни были сцеплены, можно непрерывно развести в $\R^4$ так, что по дороге они ни разу не пересекутся.
Будем считать наше пространство гиперплоскостью $w = 0$, где лежат обе кривые $A$ и $B$. Сдвинем $B$ вдоль оси $w$: кривая $B + t\,e_w$ лежит в гиперплоскости $w = t$, а $A$ — в $w = 0$, поэтому при $t > 0$ они не пересекаются, а при $t = 0$ не пересекались по условию. Подняв $B$ до $w = 1$, двигаем её параллельно нашему пространству куда угодно: пока $w = 1$, встретить $A$ она не может. Отведя её далеко от $A$, опускаем обратно до $w = 0$. В конце кривые снова лежат в нашем пространстве и больше не сцеплены. ∎
С узлами то же самое (это набросок доказательства): любой узел становится тривиальным, если в его диаграмме поменять некоторые перекрёстки — сделать верхнюю нить нижней. А поменять перекрёсток в $\R^4$ просто: приподнять маленький кусок нити в четвёртое измерение, пронести над другой нитью и опустить. Узлы на верёвке существуют только в трёх измерениях.
Главным проповедником четвёртого измерения стал Чарльз Говард Хинтон. Его эссе «Что такое четвёртое измерение?» вышло в 1880 году, а затем брошюрой с подзаголовком «Призраки объяснены». В брошюрах «Научных романов» (1884–1886) он придумал слова ana и kata — «вверх» и «вниз» в четвёртом направлении. В книге «Новая эра мысли» (1888) появляется слово tessaract — так, через «а»; привычное tesseract — более позднее написание. К книге можно было заказать наборы цветных кубиков, чтобы, запоминая их слой за слоем, научиться видеть четырёхмерный куб. Жизнь самого Хинтона была не менее причудливой: в 1886 году он признал себя виновным в двоежёнстве и получил три дня тюрьмы, преподавал в Японии, потом в Принстоне, где построил для бейсбольной команды пороховую пушку для подачи мячей.
В 1884 году вышла «Флатландия» Эдвина Эбботта Эбботта, подписанная «Квадрат»: житель двумерного мира встречает Сферу, не может поверить в третье измерение, а поверив, сам заговаривает о четвёртом — и тут уже Сфера отказывается слушать (об этом — глава о Флатландии). Через три года четвёртым измерением уже шутили: кентервильское привидение у Оскара Уайльда, спасаясь от близнецов, «поспешно прибегнув к четвёртому измерению пространства как к средству бегства», исчезает сквозь деревянную обшивку. В «Машине времени» Уэллса (1895) Путешественник во Времени объясняет, что «нет никакой разницы между временем и любым из трёх измерений пространства, кроме той, что наше сознание движется вдоль него». А в «Истории Платтнера» (1896) школьный учитель Готфрид Платтнер после взрыва в школьной лаборатории на девять дней пропадает из нашего мира и возвращается зеркально перевёрнутым: сердце у него бьётся справа, а писать он может только левой рукой справа налево. Это ровно поворот Мёбиуса.
В России четвёртым измерением увлёкся Пётр Успенский: книги «Четвёртое измерение» (1909, на титуле 1910) и «Tertium Organum» (1911) превращали идеи Хинтона в мистическую философию, и их читали художники-авангардисты.
Время становится координатой
21 сентября 1908 года в Кёльне Герман Минковский начал доклад «Пространство и время» словами, которые цитируют до сих пор: «Отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в тени, и лишь некий союз их обоих сохранит самостоятельность». Специальная теория относительности Эйнштейна (1905) получила геометрию: четырёхмерное пространство-время, в котором «расстоянием» между событиями служит интервал $c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2$. Минковский умер в январе 1909 года, не дождавшись публикации доклада. С тех пор для большинства людей «четвёртое измерение» — это время, хотя у Хинтона и Эбботта оно было четвёртым направлением пространства. Как устроено пространство-время, рассказывает глава о том, где живут измерения.
В 1919 году Теодор Калуца послал Эйнштейну работу, где к четырём измерениям добавлялось пятое: из пятимерной общей теории относительности вместе с гравитацией получались уравнения электромагнетизма. Статья вышла в 1921 году, а в 1926-м Оскар Клейн предположил, что пятое измерение свёрнуто в крошечную окружность и потому незаметно. Отсюда ведут род «компактные измерения» современной физики.
Художники: кубизм, Дюшан, Малевич, Дали
В 1903 году бывший артиллерийский офицер и актуарий Эспри Жуффре выпустил «Элементарный трактат о геометрии четырёх измерений» с проекциями многоячейников. В кругу Пикассо на Монмартре бывал другой актуарий, Морис Пренсе, которого называли «математиком кубизма». Метценже в 1910 году писал, что из «свободной, подвижной перспективы» Пикассо Пренсе «вывел целую геометрию»; Глез и Метценже в книге «О кубизме» (1912) ссылались на Римана; Аполлинер в «Художниках-кубистах» (1913) писал, что новые меры протяжённости в мастерских называли одним словом — «четвёртое измерение», и тут же называл это выражение утопическим.
Насколько всё это повлияло на саму живопись — вопрос спорный. Историк искусства Линда Далримпл Хендерсон в книге «Четвёртое измерение и неевклидова геометрия в современном искусстве» (1983, расширенное издание 2013) показывает, что идея высшего, четвёртого измерения пространства была одной из центральных для модернизма. Артур Миллер (2001) предположил больше: будто Пренсе в 1907 году показал Пикассо книгу Жуффре, когда тот работал над «Авиньонскими девицами». Документов, что Пикассо её видел, нет; это гипотеза, построенная на сходстве рисунков.
Увлечение Марселя Дюшана документировано: в заметках к «Большому стеклу» («Невеста, раздетая своими холостяками, даже», 1915–1923) он записывал, что тень, которую четырёхмерная фигура отбрасывает на наше пространство, трёхмерна. Казимир Малевич на выставке «0,10» в 1915 году показал «Живописный реализм мальчика с ранцем — красочные массы в 4-м измерении» — чёрный и красный квадраты. Хендерсон связывает супрематизм с книгами Успенского и Хинтона, но это её прочтение; сам Малевич в каталоге оговаривал, что по названиям не следует искать в картинах реальные формы.
Самая известная картина о четвёртом измерении — «Распятие (Corpus Hypercubus)» Сальвадора Дали (1954, Метрополитен-музей). Крест на ней сложен из восьми кубов: это развёртка тессеракта, так же как крест из шести квадратов — развёртка куба (сложить её можно в главе о многоячейниках). В 1975 году Дали увидел в Washington Post фотографию математика Томаса Банчоффа с развёрнутым гиперкубом рядом со своей картиной и пригласил его к себе; они встречались около десяти лет.
Фантастика: дом-тессеракт и складка пространства
В рассказе Роберта Хайнлайна «Дом, который построил Тил» (журнал Astounding, февраль 1941) архитектор строит в Лос-Анджелесе дом в виде развёртки тессеракта: восемь кубических комнат крестом. Землетрясение складывает его в настоящий тессеракт, а следующий толчок выбрасывает дом «в другую часть пространства». В 1947 году Георгий Гамов в книге «Раз, два, три… бесконечность» отвёл четырёхмерному миру целую главу. «Излом времени» Мадлен Л’Энгл (1962), по её словам, отвергли не меньше двадцати шести издательств, а в 1963 году книга получила медаль Ньюбери; тессеракт там — это пятое измерение, складка, позволяющая срезать путь через пространство. В 1980 году Карл Саган в десятой серии «Космоса» рассказывал о Флатландии и четырёхмерном гиперкубе, а математик и фантаст Руди Рюкер написал о нём несколько книг и собрал в сборник статьи Хинтона.
Компьютер видит четвёртое измерение
В 1965 году в Bell Labs Майкл Нолл запрограммировал на IBM 7094 одни из первых компьютерных фильмов о четырёхмерных телах — вращающийся гиперкуб в стереопарах для двух глаз. В статье 1967 года он честно признался, что глубокого «чувства» четвёртого измерения фильмы не дали и «мы по-прежнему так же озадачены, как жители Флатландии». В 1978 году Томас Банчофф и Чарльз Страусс из Брауновского университета сняли фильм «Гиперкуб: проекции и сечения», получивший премию на Международном конгрессе научного кино в Брюсселе.
В 2008 году вышел фильм «Размерности» (Dimensions) Жоса Лейса, Этьена Жиса и Орельена Альвареса: девять глав, два часа, свободная лицензия, озвучка на нескольких языках, в том числе на русском; две главы посвящены четвёртому измерению и многоячейникам Шлефли, ещё две — расслоению Хопфа. В 2014 году вышел «Интерстеллар» Кристофера Нолана; его научным консультантом и исполнительным продюсером был физик Кип Торн. В финале герой попадает в «тессеракт» — трёхмерное пространство, которое, по словам робота TARS, неведомые существа построили внутри своей пятимерной реальности. Фильм получил «Оскар» за визуальные эффекты, а Торн в 2017 году — Нобелевскую премию по физике, за детектор гравитационных волн LIGO.
Наконец, игры. Марк тен Бош показал четырёхмерную головоломку Miegakure в 2009 году (она до сих пор не вышла), а в 2017-м выпустил «4D Toys» — песочницу с четырёхмерными телами, которые падают и сталкиваются по законам четырёхмерной механики; о своей физике он опубликовал статью к конференции SIGGRAPH 2020. Витрина этого справочника — из того же ряда: всё рисуется прямо в браузере, а как — рассказано в последней главе.
Четыре — особенное число
Тем временем математика продолжала находить в четырёх измерениях сюрпризы. В 1931 году Хайнц Хопф обнаружил, что трёхмерную сферу — «поверхность» четырёхмерного шара — можно разбить на большие окружности, каждые две из которых сцеплены (глава о гиперсфере). В 1904 году Анри Пуанкаре закончил статью вопросом, который стал знаменитой гипотезой: всякое ли замкнутое трёхмерное многообразие, на котором любую петлю можно стянуть в точку, — это та самая трёхмерная сфера? Для размерностей 5 и выше аналог доказал Смейл (1961), для размерности 4 — Майкл Фридман (1982), а исходную гипотезу — Григорий Перельман в трёх препринтах 2002–2003 годов. От Филдсовской медали (2006) и от премии Института Клэя (2010) он отказался.
В четырёх измерениях случается то, чего нет больше нигде. Пространство $\R^n$ при $n \ne 4$ допускает ровно одну гладкую структуру, а $\R^4$ — бесконечно (и даже несчётно) много: одно и то же топологическое пространство можно «сгладить» так, что гладкие версии не переводятся друг в друга гладко. Это следует из работ Фридмана и Саймона Дональдсона (1982–1983) и Клиффорда Таубса (1987). Гладкая гипотеза Пуанкаре в размерности 4 не решена до сих пор.
А в 2016 году Марина Вязовская доказала, что самую плотную упаковку одинаковых шаров в восьмимерном пространстве даёт решётка $E_8$: шары занимают $\pi^4/384 \approx 25{,}4\%$ объёма. Через неделю вместе с Коном, Кумаром, Миллером и Радченко она решила ту же задачу в размерности 24, а в 2022 году получила Филдсовскую медаль. Для сравнения: в трёх измерениях эту задачу (гипотезу Кеплера) решили только в конце XX века, а в четырёх ответа нет до сих пор. О том, почему большие размерности так непохожи на наши, — отдельная глава.
Итоги
- Время как четвёртое измерение впервые упомянуто в «Энциклопедии» (1754), «механика как геометрия четырёх измерений» — у Лагранжа, пространство-время как геометрия — у Минковского (1908).
- Мёбиус (1827) заметил, что зеркальные тела совместил бы поворот в четырёх измерениях, — и считал такое пространство немыслимым. Это теорема: отражение — след поворота на 180° в плоскости $xw$.
- Все шесть правильных многоячейников нашёл Шлефли (1852), но его трактат вышел только в 1901 году; первые картинки дали Стрингхем, Шлегель и Алисия Буль-Стотт.
- В 1880–1910-е четвёртое измерение было модой: спириты, Хинтон с его тессерактом, «Флатландия», Уайльд, Уэллс, Успенский, кубисты, Малевич, Дюшан; влияние на живопись — предмет спора историков искусства.
- В четырёх измерениях любые сцепленные кольца и любые узлы развязываются.
- С 1960-х четвёртое измерение «видят» компьютеры: от фильмов Нолла и Банчоффа до «Интерстеллара» и 4D-игр.
- Размерность 4 особенная и для современной математики: экзотические $\R^4$, гипотеза Пуанкаре, упаковки шаров.
Дальше — как нарисована витрина: как из этих идей получается картинка в браузере.
Источники
- D’Alembert, «Dimension». Encyclopédie, t. IV (1754), p. 1009–1010 — текст на Викитеке.
- J.-L. Lagrange. Théorie des fonctions analytiques, 3e partie, ch. I (Œuvres, t. IX) — страница на Викитеке.
- I. Kant. Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte, §§ 9–11 (AA I) и Von dem ersten Grunde des Unterschiedes der Gegenden im Raume (AA II) — korpora.org.
- K. Volkert. Die Geschichte der vierten Dimension // L’Ouvert, 2000 — Мёбиус и Д’Аламбер.
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, 3rd ed. Dover, 1973 — исторические замечания о Шлефли, Стрингхеме, Хоппе, Буль-Стотт.
- MacTutor History of Mathematics: биографии Гамильтона, Грассмана, Римана, Шлефли, Буль-Стотт, Перельмана, Вязовской.
- A. Boole Stott. On certain series of sections of the regular four-dimensional hypersolids. Verhandelingen KNAW, 1900.
- J. K. F. Zöllner. Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. 1 (1878) — скан MDZ; отчёт комиссии Сейберта (1887) — раздел о Цёлльнере.
- C. H. Hinton. A New Era of Thought (1888), The Fourth Dimension (1904); протокол Олд-Бейли (1886).
- E. A. Abbott. Flatland (1884); O. Wilde. The Canterville Ghost (1887); H. G. Wells. The Time Machine (1895), The Plattner Story and Others (1897).
- H. Minkowski. Raum und Zeit (1908/1909).
- L. D. Henderson. The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art. Princeton University Press, 1983; revised ed. MIT Press, 2013.
- A. I. Miller. Einstein, Picasso: Space, Time and the Beauty That Causes Havoc. Basic Books, 2001; G. Apollinaire. Les Peintres cubistes (1913).
- Каталог выставки «0,10. Последняя футуристическая выставка картин» (Петроград, 1915); Метрополитен-музей о картине Дали; T. Banchoff. Salvador Dalí and the Fourth Dimension (Bridges, 2014).
- A. M. Noll. A computer technique for displaying n-dimensional hyperobjects. Communications of the ACM 10:8 (1967), 469–473.
- Фильмы Т. Банчоффа; Dimensions (2008).
- O. James, E. von Tunzelmann, P. Franklin, K. S. Thorne. Gravitational lensing by spinning black holes in astrophysics, and in the movie Interstellar. Class. Quantum Grav. 32 (2015).
- M. ten Bosch. N-dimensional rigid body dynamics. ACM Transactions on Graphics 39:4 (2020); miegakure.com.
- M. Viazovska. The sphere packing problem in dimension 8. Annals of Mathematics 185 (2017); Филдсовские медали 2022.