В каждой размерности есть свои самые симметричные фигуры — правильные. На плоскости это правильные многоугольники, в пространстве — пять платоновых тел. В четырёх измерениях их шесть, и одна из шестёрки не похожа ни на что в других размерностях. В этой главе мы выведем, почему их ровно столько, построим каждую по координатам и сложим тессеракт из развёртки — той самой, что изображена на картине Сальвадора Дали.
Многоугольники и пять тел
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы. Для любого $p \ge 3$ такой $p$-угольник существует: расставьте $p$ точек по окружности через равные углы $360°/p$ и соедините соседние. Их бесконечно много, и обозначают их просто $\{p\}$: $\{3\}$ — правильный треугольник, $\{4\}$ — квадрат, $\{5\}$ — пятиугольник. Сумма углов $p$-угольника равна $180°(p-2)$, значит, каждый угол правильного $p$-угольника равен $180° - 360°/p$: у треугольника 60°, у квадрата 90°, у пятиугольника 108°, у шестиугольника 120°.
Правильный многогранник — выпуклый многогранник, у которого все грани — одинаковые правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число граней. Если грани — $p$-угольники и в каждой вершине их $q$, многогранник обозначают $\{p, q\}$. Таких многогранников пять, и их знали уже в Древней Греции: построением этих тел и доказательством, что других нет, заканчиваются «Начала» Евклида. Это тетраэдр $\{3,3\}$, куб $\{4,3\}$, октаэдр $\{3,4\}$, додекаэдр $\{5,3\}$ и икосаэдр $\{3,5\}$.
Почему только пять? Всё решает одно простое наблюдение о вершинах.
У выпуклого многогранного угла сумма плоских углов меньше 360°.
Пусть у угла вершина $O$ и рёбра-лучи $OA_1, \dots, OA_n$. Проведём плоскость, пересекающую все рёбра; из-за выпуклости точки пересечения $A_1, \dots, A_n$ образуют выпуклый $n$-угольник с суммой углов $180°(n-2)$. Боковые грани — треугольники $OA_iA_{i+1}$, сумма всех их углов равна $180° \cdot n$. В каждой точке $A_i$ сходятся три угла: два угла боковых треугольников, $\angle OA_iA_{i-1}$ и $\angle OA_iA_{i+1}$, и угол основания $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$. Это трёхгранный угол, а в трёхгранном угле любой плоский угол меньше суммы двух других (это «неравенство треугольника» для углов, его доказывают в школьной стереометрии). Значит, два угла боковых треугольников при $A_i$ вместе больше угла основания. Складывая по всем $i$, получаем: сумма углов боковых треугольников при основании больше $180°(n-2)$. Всё, что остаётся на вершину $O$, — меньше $180° n - 180°(n-2) = 360°$. ∎
Интуитивно лемма очевидна: разрежьте картонную вершину вдоль одного ребра и расправьте на столе — грани не сомкнутся, останется зазор. Если зазора нет, углы складываются ровно в 360° и лежат плоско; вершины не получится.
Правильных многогранников ровно пять: $\{3,3\}$, $\{3,4\}$, $\{3,5\}$, $\{4,3\}$, $\{5,3\}$.
В вершине $\{p,q\}$ сходятся $q$ углов по $180° - 360°/p$. По лемме $q\,(180° - 360°/p) < 360°$. Разделим на 180° и умножим на $p$: $q(p-2) < 2p$, то есть $pq - 2p - 2q < 0$, или $$(p-2)(q-2) < 4.$$ Оба множителя — натуральные числа (ведь $p, q \ge 3$), и их произведение меньше четырёх. Вариантов пять: $1 \cdot 1$, $1 \cdot 2$, $2 \cdot 1$, $1 \cdot 3$, $3 \cdot 1$. Это и есть пять перечисленных пар. Все пять тел существуют — их можно предъявить в координатах (например, вершины куба — $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$, октаэдра — $(\pm 1, 0, 0)$ и перестановки). ∎
Равенство $(p-2)(q-2) = 4$ тоже интересно: это $\{3,6\}$, $\{4,4\}$ и $\{6,3\}$ — шесть треугольников, четыре квадрата или три шестиугольника вокруг точки. Углы складываются ровно в 360°, и вместо многогранника получается бесконечный паркет на плоскости. Правильных паркетов три, и ниже мы увидим их четырёхмерных родственников.
Для дальнейшего нам понадобится ещё одна величина — двугранный угол многогранника, угол между двумя гранями по общему ребру. Его удобно считать по формуле $\sin(\delta/2) = \cos(\pi/q) / \sin(\pi/p)$; например, у куба $\cos 60° / \sin 45° = \tfrac{\sqrt2}{2}$, откуда $\delta/2 = 45°$ и $\delta = 90°$, как и должно быть.
| тело | символ | вершины | рёбра | грани | двугранный угол |
|---|---|---|---|---|---|
| тетраэдр | $\{3,3\}$ | 4 | 6 | 4 | $\arccos(1/3) \approx 70{,}53°$ |
| куб | $\{4,3\}$ | 8 | 12 | 6 | $90°$ |
| октаэдр | $\{3,4\}$ | 6 | 12 | 8 | $\arccos(-1/3) \approx 109{,}47°$ |
| додекаэдр | $\{5,3\}$ | 20 | 30 | 12 | $\arccos(-1/\sqrt5) \approx 116{,}57°$ |
| икосаэдр | $\{3,5\}$ | 12 | 30 | 20 | $\arccos(-\sqrt5/3) \approx 138{,}19°$ |
Символ Шлефли
Обозначения $\{p\}$ и $\{p,q\}$ — начало цепочки, которую придумал швейцарский математик Людвиг Шлефли. У неё простая логика: каждое следующее число говорит, сколько предыдущих фигур сходится вокруг очередного элемента.
- $\{p\}$ — многоугольник: $p$ рёбер, по два у каждой вершины.
- $\{p,q\}$ — многогранник: грани $\{p\}$, по $q$ вокруг каждой вершины.
- $\{p,q,r\}$ — четырёхмерное тело: его трёхмерные ячейки — многогранники $\{p,q\}$, по $r$ штук вокруг каждого ребра.
Четырёхмерный аналог многогранника по-русски называют многоячейником (по-английски — polychoron или 4-polytope): он ограничен трёхмерными ячейками, соседние ячейки склеены по двумерным граням, грани — по рёбрам. Многоячейник $\{p,q,r\}$ правилен, если все его ячейки — одинаковые правильные многогранники $\{p,q\}$ и вокруг каждого ребра их одинаковое число $r$.
У символа есть и вторая половина смысла. Срежьте у многогранника $\{p,q\}$ уголок возле вершины: срез — правильный $q$-угольник. Это вершинная фигура. У многоячейника $\{p,q,r\}$ срез возле вершины — трёхмерный, и это многогранник $\{q,r\}$. Например, у тессеракта $\{4,3,3\}$ из каждой вершины выходят четыре ребра, их концы попарно удалены на одно и то же расстояние и образуют правильный тетраэдр $\{3,3\}$. Так символ читается с двух сторон: слева — из чего сделаны ячейки, справа — как устроена окрестность вершины.
Отсюда же видна двойственность. Если поставить точку в центр каждой ячейки и соединить центры соседних, получится новый правильный многоячейник, и его символ — исходный, прочитанный задом наперёд: $\{p,q,r\} \to \{r,q,p\}$. В трёх измерениях так куб $\{4,3\}$ превращается в октаэдр $\{3,4\}$, а додекаэдр — в икосаэдр.
Почему их ровно шесть
Доказательство для многогранников держалось на вершине: грани вокруг неё, разложенные на плоскости, должны оставлять зазор. В четырёх измерениях та же идея работает на ступень выше — не для граней вокруг вершины, а для ячеек вокруг ребра.
Встанем в середину ребра и посмотрим во все стороны, перпендикулярные ему. Таких направлений в четырёхмерном пространстве три: перпендикуляры к прямой образуют трёхмерное пространство. Каждая ячейка, содержащая ребро, видна в этом пространстве как плоский клин — своё сечение плоскостью, перпендикулярной ребру. Угол клина при ребре — это ровно двугранный угол ячейки $\delta$. Вокруг ребра $r$ ячеек, значит, $r$ клиньев, и они смыкаются в выпуклый многогранный угол.
Если $\{p,q,r\}$ — правильный выпуклый многоячейник и $\delta$ — двугранный угол многогранника $\{p,q\}$, то $r \cdot \delta < 360°$. Этому условию удовлетворяют ровно шесть символов: $\{3,3,3\}$, $\{3,3,4\}$, $\{3,3,5\}$, $\{4,3,3\}$, $\{3,4,3\}$, $\{5,3,3\}$.
Пусть $AB$ — ребро, $M$ — его середина, $\Pi$ — трёхмерная гиперплоскость через $M$, перпендикулярная $AB$. Каждая ячейка, содержащая $AB$, лежит в своей трёхмерной гиперплоскости и пересекает $\Pi$ по многоугольнику с вершиной $M$ — по сечению ячейки плоскостью, перпендикулярной ребру. Угол этого многоугольника при $M$ образован перпендикулярами к ребру, проведёнными в двух гранях ячейки, то есть по определению равен двугранному углу $\delta$. Грани, содержащие $AB$, пересекают $\Pi$ по отрезкам из $M$. Поэтому вблизи $M$ сечение многоячейника гиперплоскостью $\Pi$ — многогранный угол с вершиной $M$, у которого $r$ граней с плоскими углами $\delta$. Многоячейник выпуклый, значит, выпукло и его сечение, и по лемме $r\delta < 360°$. Остаётся перебор. Ячейка — одно из пяти платоновых тел, а $r \ge 3$, потому что многогранный угол не бывает меньше чем с тремя гранями. Тетраэдр: $3\delta \approx 211{,}6°$, $4\delta \approx 282{,}1°$, $5\delta \approx 352{,}6°$ подходят, $6\delta \approx 423{,}2°$ — нет. Куб: $3 \cdot 90° = 270°$ подходит, $4 \cdot 90° = 360°$ — уже нет. Октаэдр: $3\delta \approx 328{,}4°$ подходит, $4\delta \approx 437{,}9°$ — нет. Додекаэдр: $3\delta \approx 349{,}7°$ подходит, $4\delta$ — нет. Икосаэдр: уже $3\delta \approx 414{,}6°$ больше 360°. Итого шесть. ∎
В режиме 3D выберите три, четыре и пять треугольников у вершины — получите вершины тетраэдра, октаэдра и икосаэдра; шесть треугольников лягут плоско. Переключитесь в 4D и пройдитесь по тетраэдрам: при $r = 5$ зазор всего 7,4° — это 600-ячейник, самый «тесный» из шестерых. Икосаэдр не проходит ни при каком $r$.
Теорема говорит «не больше шести». Честности ради отметим две вещи. Во-первых, есть и второе необходимое условие — у вершины: вершинная фигура $\{q,r\}$ сама должна быть платоновым телом. У шестерых оно выполняется: их вершинные фигуры — тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, тетраэдр, куб и тетраэдр. Это не случайность. Подставим формулу для двугранного угла: $r\delta < 2\pi$ значит $\delta/2 < \pi/r$, то есть $$\sin\frac{\pi}{p}\,\sin\frac{\pi}{r} > \cos\frac{\pi}{q}.$$ Неравенство симметрично по $p$ и $r$, поэтому условие у ребра для $\{p,q,r\}$ совпадает с условием у ребра для двойственного $\{r,q,p\}$, и перебор показывает, что вершинное условие ничего не отсекает сверх него. Например, $\{3,5,3\}$ отсеивается не вершиной — его вершинная фигура $\{5,3\}$, додекаэдр, в полном порядке, — а тем, что три икосаэдра вокруг ребра не помещаются: $414{,}6° > 360°$.
Во-вторых, неравенство — только необходимое условие. То, что все шесть действительно существуют, доказывается построением: ниже у каждого есть координаты вершин, а виджет-витрина строит по этим координатам ячейки, грани и рёбра и сам пересчитывает их.
Случай «ровно 360°» снова особый. Четыре куба вокруг каждого ребра дают не многоячейник, а обычные кубические соты $\{4,3,4\}$ — заполнение нашего пространства кубами. Символы с «перебором» тоже не пропадают зря, они уходят в геометрию Лобачевского. В этом пространстве двугранные углы многогранника тем меньше, чем он крупнее, и у икосаэдра подходящего размера угол ровно 120°. Три таких икосаэдра вокруг каждого ребра (и двенадцать вокруг каждой вершины) заполняют гиперболическое пространство — это соты $\{3,5,3\}$.
Шестеро
Вот они все. Числа в таблице — вершины $V$, рёбра $E$, двумерные грани $F$ и ячейки $C$.
| символ | название | $V$ | $E$ | $F$ | $C$ | ячейка | у ребра | вершинная фигура | двойственный |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\{3,3,3\}$ | 5‑ячейник | 5 | 10 | 10 | 5 | тетраэдр | 3 | тетраэдр | он сам |
| $\{4,3,3\}$ | тессеракт | 16 | 32 | 24 | 8 | куб | 3 | тетраэдр | 16‑ячейник |
| $\{3,3,4\}$ | 16‑ячейник | 8 | 24 | 32 | 16 | тетраэдр | 4 | октаэдр | тессеракт |
| $\{3,4,3\}$ | 24‑ячейник | 24 | 96 | 96 | 24 | октаэдр | 3 | куб | он сам |
| $\{5,3,3\}$ | 120‑ячейник | 600 | 1200 | 720 | 120 | додекаэдр | 3 | тетраэдр | 600‑ячейник |
| $\{3,3,5\}$ | 600‑ячейник | 120 | 720 | 1200 | 600 | тетраэдр | 5 | икосаэдр | 120‑ячейник |
Карточка под витриной не переписана из таблицы: виджет строит многоячейник из координат вершин (ячейки — это наборы вершин, крайних в направлении нормали, грани — пересечения соседних ячеек) и считает всё по получившейся структуре — в том числе сколько ячеек сходится у ребра и сколько рёбер выходит из вершины.
5-ячейник — четырёхмерный тетраэдр
Пять вершин, и каждая соединена с каждой: 10 рёбер, 10 треугольников, 5 тетраэдров — любые две, три и четыре вершины из пяти. Самые простые координаты — в пятимерном пространстве: точки $(1,0,0,0,0)$, $(0,1,0,0,0)$, …, $(0,0,0,0,1)$ попарно удалены на $\sqrt2$ и лежат в четырёхмерной гиперплоскости $x_1 + \dots + x_5 = 1$. Это симплекс; такой есть в любой размерности, у $n$-мерного $n + 1$ вершина.
Тессеракт и 16-ячейник
Вершины тессеракта — шестнадцать точек $(\pm1, \pm1, \pm1, \pm1)$, его восемь кубических ячеек лежат в гиперплоскостях $x = \pm1$, $y = \pm1$, $z = \pm1$, $w = \pm1$. Центры этих ячеек — восемь точек $(\pm1, 0, 0, 0)$, $(0, \pm1, 0, 0)$, $(0, 0, \pm1, 0)$, $(0, 0, 0, \pm1)$, и они — вершины двойственного 16-ячейника. Это четырёхмерный октаэдр: каждая вершина соединена со всеми, кроме противоположной (24 ребра), а 16 тетраэдрических ячеек получаются, если взять по одной вершине с каждой из четырёх осей: $2^4 = 16$. Вокруг каждого ребра у него сходятся четыре ячейки — единственный из шестерых с $r = 4$. Если считать точки четырёхмерного пространства кватернионами, вершины 16-ячейника — это $\pm1, \pm i, \pm j, \pm k$, и они образуют группу по умножению.
24-ячейник — фигура без пары
Двадцать четыре вершины — все перестановки $(\pm1, \pm1, 0, 0)$: два места из четырёх для единиц, $\binom42 = 6$ способов, и четыре варианта знаков. Ячейки — 24 правильных октаэдра, по три вокруг каждого ребра; вершинная фигура — куб. Двойственный к нему многоячейник — он сам (повёрнутый на 45°). Самодвойственны и все симплексы, но 24-ячейник — единственный правильный самодвойственный многогранник любой размерности, который не является ни многоугольником, ни симплексом. Правильного аналога у него нет ни в трёх измерениях, ни в пяти и выше; ближайший трёхмерный родственник — кубооктаэдр, у которого грани двух сортов.
Его можно собрать из тессеракта. Поставьте на каждую из восьми кубических ячеек тессеракта $(\pm1, \pm1, \pm1, \pm1)$ четырёхмерную пирамиду с вершиной в точке $(\pm2, 0, 0, 0)$ и т. п. Получится 24 вершины (16 старых и 8 новых). У каждой квадратной грани тессеракта с двух сторон окажутся две квадратные пирамиды — от двух соседних кубов, — и они лежат в одной гиперплоскости: для грани $(1, 1, \pm1, \pm1)$ вершины пирамид $(2, 0, 0, 0)$ и $(0, 2, 0, 0)$ удовлетворяют тому же уравнению $x + y = 2$. Две пирамиды срастаются в правильный октаэдр с ребром 2. Квадратных граней у тессеракта 24 — отсюда 24 октаэдрические ячейки. В трёх измерениях тот же приём (кубу пристроить шесть квадратных пирамид) даёт ромбододекаэдр — не правильный многогранник.
Есть у 24-ячейника и свойство, которое из шестерых он делит только с тессерактом и 16-ячейником: одинаковыми копиями этих фигур, приложенными ячейка к ячейке, можно без щелей заполнить всё четырёхмерное пространство, как кубами — наше. Кватернионы снова дают красивую запись: если уменьшить фигуру вдвое, её вершины — это $\pm1, \pm i, \pm j, \pm k$ и шестнадцать чисел $\tfrac12(\pm1 \pm i \pm j \pm k)$, двадцать четыре единицы Гурвица, и они тоже образуют группу.
600-ячейник и икосианы
Сто двадцать вершин на единичной трёхмерной сфере: 8 точек вида $(\pm1, 0, 0, 0)$, 16 точек $(\pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12)$ и 96 точек $\frac12(\pm\varphi, \pm1, \pm\varphi^{-1}, 0)$ со всеми чётными перестановками координат, где $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ — золотое сечение. Ячеек 600, все — тетраэдры, по пять вокруг каждого ребра и по двадцать вокруг каждой вершины (вершинная фигура — икосаэдр). Как кватернионы эти 120 точек — икосианы, и они замкнуты относительно умножения: это группа из 120 элементов, бинарная группа икосаэдра. Каждому из 60 поворотов, совмещающих икосаэдр с собой, в ней соответствуют два кватерниона $\pm q$ — те, что задают этот поворот по формуле $v \mapsto q v \bar q$ (о ней — в главе о вращениях).
120-ячейник и кольца из додекаэдров
Двойственный к 600-ячейнику: его 600 вершин — центры 600 тетраэдров, а 120 ячеек-додекаэдров соответствуют 120 вершинам 600-ячейника. Именно так его строит наша витрина. Угол между соседними ячейками — 144°, значит, центры соседних додекаэдров видны из центра под углом $180° - 144° = 36°$, и ровно десять додекаэдров, приложенных друг к другу гранями, замыкаются в кольцо вдоль большой окружности. Все 120 ячеек распадаются на 12 таких колец по 10, и эти кольца переплетены так же, как окружности расслоения Хопфа. У 600-ячейника похожая картина: его 600 тетраэдров складываются в 20 закрученных спиралей по 30. Раскраска «Хопф» на витрине красит каждое кольцо своим цветом.
Эйлер в четырёх измерениях
Посчитайте по таблице знакочередующуюся сумму $V - E + F - C$:
$$5 - 10 + 10 - 5 = 16 - 32 + 24 - 8 = 8 - 24 + 32 - 16 = 24 - 96 + 96 - 24 = 0,$$ $$600 - 1200 + 720 - 120 = 120 - 720 + 1200 - 600 = 0.$$
У многогранников $V - E + F = 2$, а у многоячейников та же сумма равна нулю — и не только у правильных, а у любых выпуклых. Это частный случай формулы Эйлера — Пуанкаре: граница выпуклого $n$-мерного тела — сфера размерности $n - 1$, и знакочередующаяся сумма зависит только от неё. Для двумерной сферы она равна 2, для трёхмерной — 0. Для любой размерности эту формулу сформулировал всё тот же Шлефли, но его доказательство было неполным; строгое дал Анри Пуанкаре в 1890-х. Почему именно ноль, видно из двойственности. У двойственного многоячейника вершины и ячейки, рёбра и грани меняются местами, и сумма превращается в $C - F + E - V$, то есть меняет знак. Если она одна и та же для всех выпуклых многоячейников, она равна минус самой себе — значит, нулю. В трёх измерениях двойственность меняет местами только $V$ и $F$, и сумма $V - E + F$ знака не меняет, поэтому ей ничто не мешает быть двойкой.
Пять измерений и выше: всего три
Та же проверка работает ещё на ступень выше. Правильное пятимерное тело $\{p,q,r,s\}$ состоит из четырёхмерных ячеек $\{p,q,r\}$ — это обязательно одна из нашей шестёрки, — и вокруг каждой двумерной грани их $s$. Перпендикулярно двумерной грани в пяти измерениях снова три направления, и снова должно выполняться $s\delta < 360°$, где $\delta$ — теперь угол между соседними ячейками у четырёхмерного тела. Эти углы: у 5-ячейника $\arccos\frac14 \approx 75{,}52°$, у тессеракта 90°, у 16-ячейника и 24-ячейника по 120°, у 120-ячейника 144°, у 600-ячейника $\approx 164{,}48°$.
- 5-ячейник: $s = 3$ и $s = 4$ подходят ($226{,}6°$ и $302{,}1°$), $s = 5$ — уже нет. Получаются $\{3,3,3,3\}$ и $\{3,3,3,4\}$ — пятимерные симплекс и «октаэдр».
- Тессеракт: $s = 3$ даёт пятимерный куб $\{4,3,3,3\}$; $s = 4$ — ровно 360°, соты из тессерактов.
- 16-ячейник и 24-ячейник: при $s = 3$ ровно 360° — ещё двое сот, $\{3,3,4,3\}$ и $\{3,4,3,3\}$. Это и есть те заполнения четырёхмерного пространства, о которых шла речь выше.
- 120- и 600-ячейник не проходят вовсе.
Остаются три тела: симплекс, куб и кросс-политоп (обобщённый октаэдр). Все три существуют, и дальше картина повторяется в каждой размерности: двугранные углы этих трёх растут вместе с размерностью, и ничего нового из них не складывается. Так что четвёртое измерение — самое богатое: в нём правильных тел больше, чем в любом другом, кроме двумерного.
Развёртка: крест Дали
Куб можно разрезать по рёбрам и развернуть на плоскость — получится крест из шести квадратов; всего различных развёрток куба 11. Тессеракт так же разрезается по квадратным граням и разворачивается в наше пространство: восемь кубов, склеенных гранями. Различных развёрток у тессеракта 261 — их пересчитал Питер Терни в 1984 году. Самая знаменитая — столбик из четырёх кубов, у второго сверху по кубу с четырёх сторон. Её написал Сальвадор Дали на картине «Распятие (Corpus Hypercubus)» 1954 года: крест, на котором висит Христос, — развёртка тессеракта.
Складывать её нужно в четвёртом измерении. В нашем пространстве кубы-«руки» при сгибании упёрлись бы друг в друга. В четырёх измерениях каждый куб поворачивается вокруг квадрата, которым он приклеен к соседу, — в плоскости, натянутой на нормаль к этому квадрату и на направление $w$. Сам квадрат остаётся на месте, как петля двери (в четырёх измерениях вращение происходит вокруг плоскости, а не вокруг оси; подробнее — в главе о вращениях). Когда все петли повернутся на 90°, 64 вершины восьми кубов сойдутся в 16 вершин тессеракта, а из 48 квадратов получится 24: семь пар граней были склеены уже в развёртке, ещё семнадцать пар совпадут при складывании.
Остановите анимацию на 45°. Боковые кубы выглядят кривыми коробками, но в четырёх измерениях они остаются кубами — искажение даёт перспективная проекция: дальняя по $w$ часть куба рисуется мельче. Нижний куб делает двойной поворот (вместе с соседом и вокруг своей петли) и в конце становится внешней оболочкой картинки, а центральный куб «креста» — маленьким внутренним. Включите 4D-поворот, чтобы убедиться: сложилось в настоящий тессеракт.
Кто их нашёл
Все шесть правильных многоячейников — и заодно то, что в пяти и более измерениях правильных тел только три, — нашёл Людвиг Шлефли в большой работе «Теория многократной непрерывности», написанной в 1850–1852 годах. При жизни автора работа целиком так и не вышла: её напечатали в 1901 году, через шесть лет после его смерти. Тем временем многоячейники были открыты заново: в 1880 году их независимо описал американский математик Вашингтон Ирвинг Стрингхэм, и в его статье были одни из первых опубликованных изображений четырёхмерных фигур. Слово «тессеракт» ввёл Чарльз Хинтон в 1888 году. Немецкое слово Polytop придумал Рейнгольд Хоппе в 1882-м, а в английский его перенесла Алисия Буль Стотт, дочь логика Джорджа Буля: не имея математического образования, она нашла и нарисовала трёхмерные сечения всех шести тел (статья 1900 года; подробнее — в главе о сечениях). Итог этой истории подвёл Гарольд Скотт Макдональд Коксетер в книге «Правильные многогранники» (Regular Polytopes, 1948) — до сих пор главном справочнике по теме.
Итоги
- Символ Шлефли $\{p,q,r\}$ описывает правильный многоячейник: ячейки $\{p,q\}$, по $r$ вокруг каждого ребра; вершинная фигура — $\{q,r\}$, двойственный — $\{r,q,p\}$.
- Платоновых тел пять, потому что углы граней у вершины должны давать меньше 360°: $(p-2)(q-2) < 4$.
- Правильных многоячейников шесть, потому что двугранные углы ячеек вокруг ребра тоже должны давать меньше 360°: проходят три случая с тетраэдрами и по одному — с кубом, октаэдром и додекаэдром.
- 24-ячейник самодвойствен и не имеет аналогов в других размерностях; вершины 600-ячейника — 120 икосиан, группа по умножению кватернионов; 120 додекаэдров 120-ячейника складываются в 12 колец по 10.
- Для любого выпуклого многоячейника $V - E + F - C = 0$.
- Начиная с пятого измерения правильных тел три: симплекс, куб и кросс-политоп.
- У тессеракта 261 развёртка; крест Дали складывается в тессеракт поворотами кубов вокруг их общих граней в четвёртом измерении.
Многоячейники живут на трёхмерной сфере — все их вершины лежат на ней. Дальше — гиперсфера: как устроена сама эта сфера и почему она распадается на сцепленные окружности.
Источники
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. 3rd ed. New York: Dover, 1973 (1st ed. London: Methuen, 1948).
- L. Schläfli. Theorie der vielfachen Kontinuität. Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft 38 (1901).
- W. I. Stringham. Regular figures in n-dimensional space. American Journal of Mathematics 3 (1880), 1–14.
- P. Turney. Unfolding the tesseract. Journal of Recreational Mathematics 17 (1), 1984–85, 1–16.
- Salvador Dalí. Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954. The Metropolitan Museum of Art.
- Евклид. Начала, книга XIII.
- Википедия: Двадцатичетырёхъячейник, Шестисотячейник, Стодвадцатиячейник.
- Wikipedia: Regular 4-polytope, 24-cell, 600-cell, 120-cell, Icosian.