Представить четырёхмерное тело нельзя: наше воображение выросло в трёх измерениях и дальше не идёт. Но можно представить существо, которое не способно вообразить три. Его затруднения мы видим со стороны, во всех подробностях, — и каждое из них подсказывает, что случилось бы с нами при встрече с четвёртым измерением. Этот приём называют рассуждением по аналогии: берём факт о паре «плоскость внутри пространства» и переносим его на пару «пространство внутри четырёхмерия». Лучше всех его показал викторианский школьный директор в тонкой книжке 1884 года.
Роман о многих измерениях
Эдвин Эбботт Эбботт (1838–1926) был богословом, знатоком Шекспира — его «Шекспировская грамматика» вышла в 1870 году — и с 26 лет директором Городской школы Лондона (City of London School). В 1884 году лондонское издательство Seeley & Co. выпустило его «Флатландию. Роман о многих измерениях» (Flatland: A Romance of Many Dimensions). Автором на титуле значился «Квадрат» (A Square): рассказ ведётся от лица квадрата, живущего на плоскости. В том же году вышло второе, исправленное издание.
Первая часть книги, «Этот мир», описывает плоское общество, и это злая сатира на викторианскую Англию. Сословие определяется числом сторон. Женщины — отрезки прямой, опасные, как иглы. Солдаты и низшие рабочие — равнобедренные треугольники с острым углом, средний класс — равносторонние треугольники, люди свободных профессий и джентльмены — квадраты и пятиугольники, знать начинается с шестиугольников, а выше всех стоят жрецы — многоугольники с таким числом сторон, что их не отличить от круга. У правильных фигур действует «закон природы»: сын рождается с одной стороной больше, чем у отца, так что сын Квадрата будет Пятиугольником. На равнобедренных закон не распространяется: их сыновья так и остаются равнобедренными. Неправильность формы приравнивается к пороку и преступлению.
Знаменитой книгу сделала вторая часть, «Иные миры». Квадрату снится Линия — одномерный мир, король которого уверен, что его отрезок и есть всё пространство. А в последний день 1999 года по местному летоисчислению к Квадрату является гость из Пространства — Шар. Он показывает Квадрату третье измерение, уносит его вверх, и тот впервые видит свой мир сверху. Окрылённый Квадрат тут же предлагает следующий шаг: если есть три измерения, почему не быть четвёртому? Шар отвечает, что такой страны нет и сама мысль о ней немыслима, — и в гневе сбрасывает ученика обратно на плоскость. (Позже, во сне о Точкландии, единственный житель которой считает себя всей Вселенной, Шар признаёт, что погорячился.) Вернувшись домой, Квадрат пытается проповедовать «Евангелие трёх измерений» и получает пожизненное заключение. Книгу он пишет из тюрьмы, где провёл уже семь лет.
Шар смеётся над королём Линии, который не может вообразить плоскость, — и сам становится таким же королём, как только речь заходит о четвёртом измерении. Эбботт предупреждает читателя: не спешите считать себя умнее Шара.
Что видит двумерное существо
Прежде чем путешествовать, разберёмся со зрением. Глаз Квадрата лежит в той же плоскости, что и всё остальное. Свет идёт внутри плоскости и приходит в глаз с разных направлений одного угла обзора — значит, «сетчатка» Квадрата одномерна. Он видит не фигуры, а отрезки: круг, треугольник и квадрат выглядят для него одинаково — как кусок прямой.
Как же флатландцы узнают друг друга? У Эбботта три способа: по голосу, на ощупь (так делают женщины и низшие сословия) и — у образованных — зрением, благодаря туману. В тумане далёкое выглядит тусклее близкого. Если к вам повернулся угол треугольника, середина отрезка будет яркой, а края быстро потускнеют; если сторона — отрезок будет освещён почти ровно. По тому, как быстро гаснет яркость к краям, опытный глаз определяет угол, а значит, и сословие собеседника. Теней во Флатландии нет — там нет ни солнца, ни такого света, который мог бы их отбрасывать, — и глубину сообщает только туман.
У нас всё то же самое, только на ступень выше. Наша сетчатка — двумерная картинка, и третье измерение мы достраиваем по косвенным признакам: по перспективе, по теням, по разнице между картинками двух глаз. Существо из четырёхмерного мира смотрело бы трёхмерной «сетчаткой». Наш мир оно видело бы так, как мы видим чертёж на листе: целиком, с изнанкой, без единой заслонённой точки.
Шар проходит сквозь плоскость
Чтобы доказать, что он не круг, Шар проходит сквозь плоскость Флатландии. Квадрат видит, как из ничего появляется точка, превращается в круг, круг растёт, потом сжимается обратно в точку и исчезает. Шар так и объясняет себя: он — множество кругов, от точки до тринадцати дюймов в поперечнике, сложенных один на другой.
Геометрия здесь простая. Если центр шара радиуса $R$ находится на высоте $h$ над плоскостью, плоскость режет шар по кругу радиуса $$r = \sqrt{R^2 - h^2}, \qquad |h| \le R.$$ Это теорема Пифагора: радиус шара, проведённый в точку окружности сечения, — гипотенуза, а $h$ и $r$ — катеты. Пока $|h| > R$, во Флатландии ничего нет; при $h = \pm R$ появляется точка; при $h = 0$ круг самый большой.
С кубом интереснее: всё зависит от того, как он повёрнут. Пусть ребро куба равно 1.
- Гранью вперёд. Квадрат со стороной 1 возникает сразу, целиком, не меняется, пока куб проходит, и целиком исчезает.
- Ребром вперёд. Сначала отрезок, потом прямоугольник, который расширяется до $1 \times \sqrt2$ — это диагональное сечение куба, — и снова сужается в отрезок.
- Вершиной вперёд. Точка, растущий правильный треугольник, затем шестиугольник, снова треугольник (перевёрнутый) и точка.
Последний случай удобно считать в координатах. Куб — это точки с $0 \le x, y, z \le 1$, а плоскость, перпендикулярная главной диагонали, — $x + y + z = s$, где $s$ меняется от 0 до 3. При $s \le 1$ сечение — правильный треугольник с вершинами $(s,0,0)$, $(0,s,0)$, $(0,0,s)$ и стороной $s\sqrt2$. При $1 < s < 2$ плоскость срезает у этого треугольника углы, где какая-нибудь координата больше 1, — получается шестиугольник. При $s = 1{,}5$ он правильный, со стороной $\sqrt2/2 \approx 0{,}707$ и площадью $3\sqrt3/4 \approx 1{,}299$. При $s \ge 2$ всё повторяется в обратном порядке: замена $x \mapsto 1 - x$ (и так же для $y$, $z$) переводит сечение $s$ в сечение $3 - s$, повёрнутое на 180°.
Выберите куб «вершиной» и поставьте срез на середину — выйдет правильный шестиугольник. Посмотрите на полоску справа внизу: это всё, что видит Квадрат. Когда к нему повёрнут угол, полоска яркая в середине и темнеет к краям; когда сторона — светится почти ровно. По таким полоскам флатландцам и приходится угадывать форму.
Этажом выше: гость из четвёртого измерения
Теперь поднимемся на этаж. Пусть наше пространство — это «плоскость» $w = 0$ внутри четырёхмерного пространства с координатами $(x, y, z, w)$. Такое трёхмерное подпространство называют гиперплоскостью. Всё, что четырёхмерное тело может нам показать, — это своё сечение нашей гиперплоскостью, трёхмерный кусок, который в данный момент оказался «здесь».
Гиперсфера. Четырёхмерный шар радиуса $R$ — это точки с $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \le R^2$. Если его центр на расстоянии $h$ от нашего пространства, то в сечении $$x^2 + y^2 + z^2 \le R^2 - h^2,$$ то есть обычный шар радиуса $\sqrt{R^2 - h^2}$. Та же теорема Пифагора, только с одним лишним слагаемым. Как выглядит визит такого гостя? Посреди комнаты — не влетев в дверь, а прямо в воздухе — появляется точка, раздувается в шар, шар растёт, потом сжимается и исчезает. Это может случиться и внутри запертого сейфа: стенки сейфа перекрывают только три наших направления.
Тессеракт ячейкой вперёд. Возьмём четырёхмерный куб $[0,1]^4$ и будем двигать его вдоль $w$. В сечении $w = c$ при $0 < c < 1$ лежат все точки с $0 \le x, y, z \le 1$, то есть куб. Он возникает сразу, целиком, стоит на месте, пока тессеракт проходит сквозь нас, и целиком исчезает — в точности как квадрат, когда куб проходит сквозь Флатландию гранью.
Тессеракт вершиной вперёд. Здесь аналогия с кубом говорит больше, чем кажется. У куба вершина давала треугольник и шестиугольник; у тессеракта будут тетраэдр, усечённый тетраэдр и октаэдр.
Сечение тессеракта $[0,1]^4$ гиперплоскостью $x + y + z + w = s$, перпендикулярной его главной диагонали:
- при $0 < s \le 1$ — правильный тетраэдр с ребром $s\sqrt2$;
- при $1 < s < 2$ — тетраэдр с ребром $s\sqrt2$, у которого срезаны четыре угла: четыре треугольника со стороной $(s-1)\sqrt2$ и четыре шестиугольника (усечённый тетраэдр);
- при $s = 2$ — правильный октаэдр с ребром $\sqrt2$;
- при $2 < s < 4$ — то же в обратном порядке.
Если $s \le 1$, то ограничения $x_i \le 1$ выполняются сами: каждая координата неотрицательна и не больше суммы всех четырёх, то есть $s$. Остаётся множество $\{x_i \ge 0,\ \sum x_i = s\}$ — тетраэдр с вершинами $s\mathbf e_1, \dots, s\mathbf e_4$, где $\mathbf e_i$ — единичные векторы осей. Расстояние между любыми двумя вершинами равно $|s\mathbf e_i - s\mathbf e_j| = s\sqrt2$, значит, тетраэдр правильный. Если $1 < s < 2$, из этого тетраэдра надо выбросить точки, где какая-то координата больше 1. Около вершины $s\mathbf e_1$ это множество $\{x_1 > 1,\ x_2, x_3, x_4 \ge 0,\ \sum x_i = s\}$ — маленький тетраэдр, подобный большому, с ребром $(s-1)\sqrt2$. Две такие «шапки» не пересекаются: в общей точке было бы $x_i > 1$ и $x_j > 1$, а значит, $s > 2$. Срезать у тетраэдра четыре непересекающихся угла — значит добавить четыре треугольные грани и превратить каждую старую треугольную грань в шестиугольник. При $s = 2$ срезы доходят до середин рёбер, и остаются точки, у которых две координаты равны 1, а две — 0. Таких точек шесть, например $(1,1,0,0)$, и каждая удалена от четырёх соседних на $\sqrt2$ — это вершины правильного октаэдра. Наконец, замена $x_i \mapsto 1 - x_i$ переводит тессеракт в себя, а гиперплоскость $s$ — в гиперплоскость $4 - s$. ∎
Несколько чисел. При $s = 1{,}5$ все рёбра усечённого тетраэдра равны $\sqrt2/2$ — это архимедово тело, его объём $23/24 \approx 0{,}958$. Правильный тетраэдр при $s = 1$ имеет объём $1/3$, октаэдр в середине — $4/3$. Середина тессеракта «толще» его ячейки: объём октаэдра больше единичного объёма кубической ячейки. А проход вершиной длится вдвое дольше, чем проход ячейкой: главная диагональ единичного тессеракта равна $\sqrt{1+1+1+1} = 2$.
Остановите анимацию и ведите пальцем по полоске внизу — это ось $w$, а над ней график объёма сечения. Грани сечения окрашены по ячейке тессеракта, из которой они вырезаны: каждая грань — сечение одного из восьми кубов, а цвет показывает, какой оси этот куб перпендикулярен. В октаэдре при $w = 0$ цвета соседних граней различаются.
Обратите внимание, чего здесь нет: ни в одном сечении не видно тессеракта. Мы видим только тетраэдры, октаэдры, кубы — трёхмерные тела, которые сменяют друг друга. Так и Квадрат видел только круги и многоугольники. Больше о сечениях, в том числе правильных многоячейников, — в главе о сечениях.
Взгляд сверху: всё нутро наружу
Дом во Флатландии — пятиугольник со стенами из отрезков. Для флатландца это настоящая защита: чтобы попасть внутрь, нужно пройти через дверь. Но Шар, глядя сверху, видит все комнаты сразу. Он перечисляет Квадрату, кто из домашних где находится, видит содержимое запертого шкафа — ящики с деньгами и таблички со счетами — и вынимает одну табличку, не открывая дверцы. А потом, для убедительности, слегка трогает Квадрата прямо «в живот», изнутри. Внутренности плоского существа открыты взгляду из третьего измерения так же, как рисунок на бумаге открыт нам.
Для нас это значит следующее. Замкнутая кривая — тюрьма лишь для того, кто не может выйти из плоскости. Замкнутая поверхность — стены, пол и потолок камеры — тюрьма лишь для того, кто не может выйти из пространства. Существо, которое умеет двигаться вдоль $w$, видит всё содержимое нашего сейфа, наши внутренние органы, кости и кровь — всё сразу. Оно может вынуть монету из запертого сейфа: поднять её немного по $w$, сдвинуть в сторону и опустить обратно. Для нас монета исчезнет внутри сейфа и появится снаружи, ни разу не пересекая стенок. Оно могло бы удалить аппендицит, не делая разреза.
Делить пространство на «внутри» и «снаружи» умеет только перегородка на одну размерность меньше: кривая на плоскости, поверхность в пространстве. В пространстве на одно измерение больше та же перегородка не разделяет ничего.
Левое и правое
Нарисуйте на плоскости букву Г. Её зеркальное отражение — буква, у которой перекладина смотрит в другую сторону. Никаким движением по плоскости — сдвигами и поворотами — одну не превратить в другую. Но если поднять Г над плоскостью, перевернуть, как блин на сковороде, и положить обратно, она ляжет зеркально. Флатландец увидит чудо: фигура исчезнет (кроме точек на линии, вокруг которой её переворачивали) и вернётся отражённой.
Такие фигуры — те, что нельзя совместить движением с их зеркальным отражением, — называют хиральными, от греческого слова «рука». Самый знакомый пример — левая и правая перчатки. Иммануил Кант в небольшой статье 1768 года о различии направлений в пространстве (Von dem ersten Grunde des Unterschiedes der Gegenden im Raume) назвал такую пару неконгруэнтными двойниками (incongruentes Gegenstück): правая рука подобна левой и равна ей во всём, и всё же в одни и те же границы их не заключить. Кант вернулся к этому примеру в «Пролегоменах» (1783): что может быть больше похоже на мою руку, чем её отражение в зеркале, — и всё же отражение нельзя поставить на место оригинала.
Август Фердинанд Мёбиус в книге «Барицентрическое исчисление» (1827) разобрал то, что мы только что проделали с буквой Г, и сделал следующий шаг. Зеркальные треугольники на плоскости совмещаются, если повернуть один из них на пол-оборота вокруг прямой — то есть через третье измерение. По аналогии, писал Мёбиус, зеркальные тела совместились бы, если бы одно из них можно было повернуть на пол-оборота в пространстве четырёх измерений. «Но так как такое пространство не может быть помыслено, то и совмещение в этом случае невозможно». Шар из «Флатландии» ответил бы так же.
Формулы показывают, как это работает. Поворот на угол $\theta$ в плоскости $xw$ меняет две координаты и не трогает $y$ и $z$: $$\begin{aligned} x' &= x\cos\theta - w\sin\theta, \\ w' &= x\sin\theta + w\cos\theta. \end{aligned}$$ Для тела, лежащего в нашем пространстве ($w = 0$), это $x' = x\cos\theta$, $w' = x\sin\theta$. При $\theta = 90°$ все его точки имеют $x' = 0$: в трёх наших координатах тело сплющено в плоскость, хотя в четырёх оно цело — просто вытянулось вдоль $w$. При $\theta = 180°$ получаем $x' = -x$, $w' = 0$: тело вернулось в наше пространство, отражённое в плоскости $x = 0$.
Нажмите «Перевернуть» и следите за обеими панелями. Слева тень буквы Г на плоскости сжимается в отрезок; справа наша трёхмерная «тень» четырёхмерного поворота сплющивает фигуру из четырёх кубиков в плоскую. Цвет показывает координату, которую жители мира не видят: высоту над плоскостью слева, $w$ справа. Штриховой контур — зеркальная копия; при 180° фигура ложится на неё точно.
Почему в трёх измерениях этого не сделать, можно доказать строго.
Если твёрдое тело непрерывно движется в $\R^3$, то в каждый момент $t$ его положение получается из начального преобразованием $\mathbf x \mapsto A(t)\,\mathbf x + \mathbf b(t)$, где $A(t)$ — ортогональная матрица с $\det A(t) = +1$. Отражение в плоскости имеет определитель $-1$, поэтому хиральное тело никаким движением в $\R^3$ не превратить в зеркального двойника.
Движение твёрдого тела сохраняет расстояния, а всякое преобразование пространства, сохраняющее расстояния, имеет вид $\mathbf x \mapsto A\mathbf x + \mathbf b$ с ортогональной матрицей $A$, то есть $A^{\mathsf T}A = I$. Отсюда $(\det A)^2 = \det(A^{\mathsf T}A) = 1$, и $\det A(t)$ может равняться только $+1$ или $-1$. Определитель — многочлен от элементов матрицы, а они при непрерывном движении меняются непрерывно, так что $\det A(t)$ — непрерывная функция времени. Непрерывная функция не может перескочить с $+1$ на $-1$, не пройдя промежуточных значений, а их она принимать не может, — значит, она постоянна. В начальный момент $A = I$ и $\det A = 1$. ∎
Поворот в плоскости $xw$ — тоже движение, и в четырёх измерениях его определитель равен $+1$. Противоречия нет: теорема говорит о движениях внутри $\R^3$, а по дороге тело выходит из нашего пространства. Если же смотреть только на начало и конец пути, на само наше пространство поворот на 180° действует как отражение $x \mapsto -x$ с определителем $-1$.
Литература воспользовалась этим раньше физики. В рассказе Герберта Уэллса «История Платтнера» (журнал The New Review, апрель 1896 года) учитель Готфрид Платтнер поджигает в школьной лаборатории зеленоватый порошок, исчезает во взрыве и возвращается через девять дней зеркальным: сердце у него бьётся справа, печень и лёгкие поменялись сторонами, писать он может только левой рукой и справа налево. Рассказчик предлагает единственное объяснение: Платтнер побывал в четвёртом измерении. Настоящему человеку такое путешествие обошлось бы дорого. Молекулы жизни тоже хиральны — белки собраны из «левых» аминокислот, — и зеркальный организм, скорее всего, не смог бы нормально усваивать обычную пищу.
Узлы развязываются
Ещё одно следствие того же приёма — узлы. Узел — это замкнутая верёвка в пространстве, которую нельзя без разрезов превратить в простое кольцо. Всё его упрямство держится на перекрёстках: там, где один участок верёвки проходит над другим, их нельзя поменять местами, не протащив верёвку сквозь верёвку.
В четырёх измерениях это не проблема. На каждом перекрёстке сдвинем верхний участок чуть-чуть вдоль $w$ — он окажется «рядом», а не «над», — протащим его на другую сторону и вернём в $w = 0$. Два участка разошлись в четвёртом направлении и не коснулись друг друга. Переделав так нужные перекрёстки, можно развязать любой узел. Поэтому всякий (гладкий) узел из $\R^3$ в $\R^4$ развязывается: в четырёхмерном пространстве любую замкнутую несамопересекающуюся кривую можно продеформировать в окружность, ни разу не допустив самопересечения.
Аналогия этажом ниже: два жителя Линии никогда не поменяются местами — одному пришлось бы пройти сквозь другого. На плоскости они просто обходят друг друга. Лишнее измерение даёт место, чтобы разминуться.
Узлы в четырёх измерениях не исчезают совсем — они поднимаются на ступень. Завязать узлом там можно не верёвку, а двумерную сферу. Первые такие заузленные сферы построил Эмиль Артин в 1925 году: он брал заузленную дугу и вращал её в четырёхмерном пространстве вокруг плоскости — так гончарный круг превращает профиль в вазу. Узлы окружностей живут в $\R^3$, узлы двумерных сфер — в $\R^4$.
Словарь аналогий
Соберём всё вместе. Слева — то, что мы видим со стороны; справа — то же самое для нас, если бы рядом было четвёртое измерение.
| Флатландия внутри пространства | Наше пространство внутри 4D |
|---|---|
| «сетчатка» одномерна, мир виден отрезками | сетчатка двумерна; у жителя 4D она была бы трёхмерной |
| шар — точка, растущий и сжимающийся круг | гиперсфера — точка, растущий и сжимающийся шар |
| куб гранью — квадрат возникает и исчезает целиком | тессеракт ячейкой — куб возникает и исчезает целиком |
| куб вершиной — треугольник, шестиугольник, треугольник | тессеракт вершиной — тетраэдр, октаэдр, тетраэдр |
| замкнутая кривая запирает, если не выходить из плоскости | замкнутая поверхность запирает, если не выходить в $w$ |
| сверху видны все внутренности флатландца | из 4D видны все наши внутренности |
| буква Г переворачивается в зеркальную через 3D | левая перчатка становится правой через 4D |
| жители Линии расходятся, выйдя в плоскость | узлы на верёвке развязываются, выйдя в $w$ |
Метод не доказывает, что четвёртое измерение существует физически, — это совсем другой вопрос, и ему посвящена отдельная глава. Он делает другое: превращает непредставимое в вычислимое. Каждая строка таблицы — утверждение, которое можно проверить формулой, и выше мы их проверили.
Итоги
- «Флатландия» Эдвина Эбботта Эбботта (1884) — сатира на викторианское общество и учебник рассуждения по аналогии: мы смотрим на двумерного Квадрата так, как четырёхмерное существо смотрело бы на нас.
- Двумерное существо видит одномерную картинку и судит о форме по яркости в тумане; мы видим двумерную и достраиваем третье измерение.
- Тело из высшего измерения показывает нам только сечения. Шар радиуса $R$ даёт круги радиуса $\sqrt{R^2-h^2}$, гиперсфера — шары того же радиуса.
- Сечения зависят от ориентации: куб даёт квадрат, прямоугольник или цепочку «треугольник — шестиугольник — треугольник»; тессеракт — куб или цепочку «тетраэдр — усечённый тетраэдр — октаэдр — …».
- Из $n+1$ измерений видно всё содержимое $n$-мерных тел, замкнутые перегородки перестают запирать, зеркальные двойники совмещаются поворотом, а узлы на верёвках развязываются.
Сечение — один способ увидеть четырёхмерное тело. Другой — тень, и она даёт знаменитый «куб в кубе»; об этом следующая глава.
Источники
- Edwin A. Abbott. Flatland: A Romance of Many Dimensions. London: Seeley & Co., 1884. Текст: Project Gutenberg #201.
- Edwin Abbott Abbott и Flatland — Wikipedia.
- I. Kant. Von dem ersten Grunde des Unterschiedes der Gegenden im Raume (1768); Prolegomena, § 13 (1783).
- A. F. Möbius. Der barycentrische Calcul. Leipzig, 1827, § 140, примечание (с. 184–185).
- H. G. Wells. The Plattner Story // The New Review, April 1896; статья в Wikipedia.
- Knot theory, раздел о высших размерностях — Wikipedia.
- E. Artin. Zur Isotopie zweidimensionaler Flächen im R₄ // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 4 (1925), 174–177.
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. 3rd ed. New York: Dover, 1973.