Житель Флатландии не может увидеть шар целиком. Когда шар проходит сквозь его плоскость, он видит точку, которая раздувается в круг, растёт, потом сжимается и исчезает. Мы в том же положении относительно четырёхмерных тел. Если бы тессеракт прошёл сквозь наше пространство, мы увидели бы трёхмерное тело, которое появляется, меняет форму и пропадает. Это кино из сечений — самый честный способ «посмотреть» на 4D: в отличие от проекций, сечение ничего не сплющивает, это настоящий кусок четырёхмерного тела.
Срез гиперплоскостью
Возьмём все точки четырёхмерного пространства, у которых четвёртая координата равна фиксированному числу $h$. Это гиперплоскость $w = h$ — трёхмерное пространство, точная копия нашего, «подвешенная» на высоте $h$ по четвёртой оси. Её пересечение с четырёхмерным телом и есть сечение. Меняя $h$, мы как будто протаскиваем тело сквозь наш мир вдоль оси $w$.
Для выпуклого многоячейника у сечения простое устройство. Каждая ячейка — выпуклый многогранник, и гиперплоскость режет её по выпуклому многоугольнику. Эти многоугольники и составляют поверхность сечения, выпуклого многогранника. Если гиперплоскость не проходит через вершины, счёт совсем прозрачный:
- каждое ребро, которое она пересекает, даёт вершину сечения;
- каждая пересечённая двумерная грань даёт ребро сечения;
- каждая пересечённая ячейка даёт грань сечения.
Сечение зависит не только от $h$, но и от того, как тело повёрнуто. Удобно называть ориентацию по тому, что встречает гиперплоскость первым: ячейкой вперёд, гранью вперёд, ребром вперёд или вершиной вперёд. Это значит, что ось $w$ направлена из центра многоячейника в центр ячейки, двумерной грани, ребра или в вершину. Виджет ниже для каждой ориентации вычисляет поворот, который переводит нужное направление в ось $w$, и режет тело гиперплоскостью $w = h$.
Тессеракт в четырёх ориентациях
Возьмём тессеракт с ребром 1 и центром в начале координат: $|x|, |y|, |z|, |w| \le \tfrac12$. Направление, в котором он движется, будем задавать единичным вектором $n$; сечение — это множество точек тессеракта, у которых $n\cdot p = h$.
Ячейкой вперёд, $n = (0,0,0,1)$. Условие $w = h$ просто отбрасывает четвёртую координату, и при любом $|h| < \tfrac12$ сечение — единичный куб. Куб возникает сразу целиком, стоит неподвижно и целиком же исчезает, как квадрат, прошедший сквозь Флатландию плашмя.
Гранью вперёд, $n = (1,1,0,0)/\sqrt2$ — в центр квадратной грани $(\tfrac12, \tfrac12, 0, 0)$. Координаты $z$ и $w$ в условие не входят, поэтому сечение — квадрат $1\times1$ по $z$ и $w$, умноженный на отрезок, который прямая $x + y = \sqrt2\,h$ высекает из квадрата по $x$ и $y$. Длина этого отрезка $\sqrt2 - 2|h|$. Получается брусок $1 \times 1 \times (\sqrt2 - 2|h|)$: он вырастает из квадрата, удлиняется до $\sqrt2$ при $h = 0$ и снова сжимается в квадрат при $|h| = 1/\sqrt2$.
Ребром вперёд, $n = (1,1,1,0)/\sqrt3$ — в середину ребра $(\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12, 0)$. Теперь в условие не входит только $w$, и сечение равно сечению куба плоскостью $x + y + z = \sqrt3\,h$, умноженному на отрезок длины 1. Плоскость, перпендикулярная диагонали куба, режет его по треугольнику возле вершины и по шестиугольнику в середине. Поэтому тессеракт ребром вперёд — это треугольная призма при $\tfrac{\sqrt3}{6} < |h| < \tfrac{\sqrt3}{2}$ и шестиугольная призма при $|h| < \tfrac{\sqrt3}{6} \approx 0{,}289$; при $h = 0$ шестиугольник правильный.
Вершиной вперёд, $n = (1,1,1,1)/2$. У вершин тессеракта $n\cdot p$ принимает пять значений: $1, \tfrac12, 0, -\tfrac12, -1$ — у одной, четырёх, шести, четырёх и одной вершины. При $\tfrac12 < h < 1$ гиперплоскость отрезает у верхней вершины уголок, и сечение — правильный тетраэдр, растущий до ребра $\sqrt2$. При $0 < h < \tfrac12$ у этого тетраэдра срезаны все четыре угла: получается усечённый тетраэдр (4 треугольника и 4 шестиугольника), а при $h = \tfrac14$ все его рёбра равны $\tfrac{\sqrt2}{2}$ — это архимедово тело. При $h = 0$ сечение проходит через шесть вершин тессеракта и становится правильным октаэдром с ребром $\sqrt2$. Дальше всё повторяется в обратном порядке, только тетраэдры смотрят в другую сторону.
| ориентация | $n$ | $h$ от 0 до края | сечение |
|---|---|---|---|
| ячейкой | $(0,0,0,1)$ | $0 … 0{,}5$ | куб $1\times1\times1$ |
| гранью | $(1,1,0,0)/\sqrt2$ | $0 … 0{,}707$ | брусок $1\times1\times(\sqrt2 - 2|h|)$ |
| ребром | $(1,1,1,0)/\sqrt3$ | $0 … 0{,}866$ | шестиугольная призма → треугольная призма |
| вершиной | $(1,1,1,1)/2$ | $0 … 1$ | октаэдр → усечённый тетраэдр → тетраэдр |
Правило подсчёта легко проверить. При $h = \tfrac14$ вершиной вперёд гиперплоскость пересекает 12 рёбер тессеракта (они соединяют вершины уровней $\tfrac12$ и $0$) — у усечённого тетраэдра 12 вершин. Пересечены все 8 кубических ячеек — у него 8 граней.
Переключайте ориентации тессеракта и следите за графиком внизу: это объём сечения в зависимости от $h$. Ячейкой вперёд график — ровная ступенька, гранью — треугольник, вершиной — гладкий холм. Кривые разные, а площадь под ними одна и та же, 1. Почему — в разделе о принципе Кавальери. Кнопка «Тень» показывает, как сечение сидит внутри трёхмерной тени многоячейника.
Другие правильные многоячейники
С остальными правильными многоячейниками тот же приём даёт свои серии. Все они в виджете вписаны в единичную сферу.
5-ячейник (симплекс) — пирамида над тетраэдром. Вершиной вперёд его сечения — тетраэдры, которые растут от точки до противоположной ячейки. Ячейкой вперёд — то же самое в обратном порядке: у симплекса напротив вершины лежит ячейка. Ребром вперёд гиперплоскость отделяет две вершины от трёх, пересекает $2 \cdot 3 = 6$ рёбер, и сечение — треугольная призма: её длина убывает от длины ребра до нуля, а треугольник в основании растёт до противоположной двумерной грани.
16-ячейник с вершинами $\pm e_1, \dots, \pm e_4$ — двойная пирамида над октаэдром. Вершиной вперёд (вдоль $e_4$) его сечения — октаэдры, растущие от точки до октаэдра с вершинами $\pm e_1, \pm e_2, \pm e_3$ и затем снова убывающие. Ячейкой вперёд картина интереснее: тетраэдр-ячейка сначала обрастает фасками, и сечение состоит из 4 больших треугольников, 4 маленьких и 6 прямоугольников. К середине большие и маленькие треугольники сравниваются, прямоугольники становятся квадратами, и при $h = 0$ получается кубооктаэдр.
24-ячейник ячейкой вперёд начинается с октаэдра, затем становится усечённым октаэдром (при $h = \pm\tfrac{\sqrt2}{4}$ все рёбра равны, это архимедово тело) и в середине — кубооктаэдром. Вершиной вперёд он начинается с куба: вершинная фигура 24-ячейника — куб. Потом у куба появляются шестиугольные фаски (6 квадратов и 12 шестиугольников), а на «экваторе» сечение — ромбододекаэдр.
600-ячейник вершиной вперёд устроен слоями. Его вершины лежат на уровнях $\cos 0^\circ$, $\cos 36^\circ$, $\cos 60^\circ$, $\cos 72^\circ$, $\cos 90^\circ$ и симметрично ниже — по 1, 12, 20, 12, 30, 12, 20, 12, 1 вершине. Вершины второго слоя образуют икосаэдр, третьего — додекаэдр, пятого — икосододекаэдр. Но сечение на высоте слоя — это не всегда выпуклая оболочка слоя: гиперплоскость протыкают и рёбра, соединяющие слои через один. Счёт по формуле выше показывает: на высоте $\cos 36^\circ \approx 0{,}809$ сечение — ровно икосаэдр с ребром самого 600-ячейника, при $h = \tfrac12$ — додекаэдр с низкими пятиугольными пирамидками на гранях (32 вершины, 60 треугольников), а при $h = 0$ — икосододекаэдр с пирамидками на двенадцати пятиугольниках (42 вершины, 80 треугольников).
Если гиперплоскость проходит точно через вершины или содержит целую двумерную грань, счёт «ребро → вершина, ячейка → грань» ломается: несколько рёбер сходятся в одну вершину сечения, а грань, лежащая в гиперплоскости, принадлежит сразу двум ячейкам. Виджет режет тело на волосок выше, а потом склеивает совпавшие точки — так у особых сечений (октаэдр в середине тессеракта, кубооктаэдр в середине 24-ячейника) получаются правильные числа вершин и граней.
Гладкие тела
Сечения гладких четырёхмерных тел находятся ещё проще: достаточно подставить $w = h$ в их уравнение.
Гиперсфера (точнее, гипершар) $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \le r^2$. При $w = h$ остаётся $x^2 + y^2 + z^2 \le r^2 - h^2$ — шар радиуса $\sqrt{r^2 - h^2}$. Трёхмерный наблюдатель увидит точку, которая раздувается в шар радиуса $r$ и снова сжимается в точку: прямой аналог круга во Флатландии. Если тело повернуть, ничего не изменится, у гиперсферы все направления равноправны.
Дуоцилиндр — произведение двух кругов: $x^2 + y^2 \le r^2$ и $z^2 + w^2 \le r^2$. При $w = h$ второе условие превращается в $|z| \le \sqrt{r^2 - h^2}$, и сечение — цилиндр радиуса $r$ высотой $2\sqrt{r^2 - h^2}$: круглая шайба толстеет до цилиндра высотой $2r$ и снова сплющивается. Трёхмерного аналога у дуоцилиндра нет: это тело рождается только в 4D, где помещаются две вполне ортогональные плоскости.
Сферический цилиндр, или сфериндр, — шар, умноженный на отрезок: $x^2 + y^2 + z^2 \le r^2$, $|w| \le a$. Разрез вдоль оси отрезка даёт всегда один и тот же шар, который появляется и исчезает скачком, как куб у тессеракта ячейкой вперёд. А разрез поперёк, $x = h$, даёт цилиндр длины $2a$ и радиуса $\sqrt{r^2 - h^2}$, который худеет до отрезка. Кубиндр — круг, умноженный на квадрат: вдоль одной из сторон квадрата его сечения — одинаковые цилиндры, поперёк круга — бруски с одной меняющейся стороной $2\sqrt{r^2 - h^2}$.
Тигр — все точки, лежащие не дальше $r$ от тора Клиффорда: $\bigl(\sqrt{x^2 + y^2} - R\bigr)^2 + \bigl(\sqrt{z^2 + w^2} - R\bigr)^2 \le r^2$. Название — от японского тора, «тигр», созвучного слову «тор». При $w = h$ во втором слагаемом стоит $\sqrt{z^2 + h^2}$, и для каждой точки на расстоянии $\rho$ от оси $z$ допустимые $z$ образуют два отрезка, симметричных относительно нуля, пока $|h| < R - r$. Поэтому сечение — два соосных полнотория, сдвинутых вдоль оси $z$ в разные стороны. При $|h| = R - r$ они касаются, дальше сливаются в один тор, который худеет и при $|h| = R + r$ исчезает. Дитор — точки, лежащие не дальше $\rho$ от поверхности обычного тора; его сечение — полый тор, толстостенная «камера», стенка которой утончается до нуля при $|h| = \rho$.
Выберите сфериндр и выключите «Авто». При наклоне $0^\circ$ ползунок $h$ почти ничего не меняет: шар постоянен и исчезает скачком. Поставьте наклон $90^\circ$ — теперь это цилиндр, который худеет, когда $h$ уходит от нуля. Одно и то же тело, разные направления разреза. У тигра поймайте момент, когда два тора сливаются в один.
Принцип Кавальери и объём гипершара
Итальянский математик Бонавентура Кавальери в книге «Геометрия неделимых» (1635) сформулировал правило: если у двух тел все сечения параллельными плоскостями имеют равные площади, то равны и объёмы. В V веке тем же приёмом вычисляли объём шара китайские математики Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэнчжи. В четырёх измерениях правило выглядит так же, только площади заменяются объёмами сечений.
Пусть тело лежит между гиперплоскостями $w = a$ и $w = b$, а $V(h)$ — трёхмерный объём его сечения гиперплоскостью $w = h$. Тогда четырёхмерный объём тела равен $$\mathrm{Vol}_4 = \int_a^b V(h)\,dh.$$ В частности, если у двух тел сечения на каждой высоте имеют равные объёмы, то и четырёхмерные объёмы равны.
Для призмы — трёхмерного тела $B$, сдвинутого вдоль оси $w$ на высоту $t$, — четырёхмерный объём равен $\mathrm{Vol}_3(B)\cdot t$: для прямоугольных брусков это определение объёма, а любое тело приближается брусками. Разрежем $[a, b]$ на тонкие слои толщины $\Delta h$. Часть тела внутри слоя зажата между двумя призмами высоты $\Delta h$: внутренней, основание которой — общая часть всех сечений в слое, и внешней, основание которой — их объединение. Для разумных тел объёмы этих оснований при $\Delta h \to 0$ стремятся к $V(h)$, поэтому объём слоя равен $V(h)\,\Delta h$ с ошибкой, малой по сравнению с $\Delta h$. Складывая слои и переходя к пределу, получаем интеграл. Строгое доказательство для любого измеримого тела — теорема Фубини из теории интеграла Лебега. ∎
Самое красивое применение — объём четырёхмерного шара. Сечение на высоте $h$ — шар радиуса $\sqrt{r^2 - h^2}$ с объёмом $\tfrac43\pi(r^2 - h^2)^{3/2}$. Подставим $h = r\sin t$, тогда $dh = r\cos t\,dt$ и $(r^2 - h^2)^{3/2} = r^3\cos^3 t$: $$\mathrm{Vol}_4 = \int_{-r}^{r} \frac43\pi\,(r^2 - h^2)^{3/2}\,dh = \frac43\pi r^4 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^4 t\,dt = \frac43\pi r^4\cdot\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi^2 r^4}{2}.$$ Здесь $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4 t\,dt = \tfrac{3\pi}{8}$, потому что $\cos^4 t = \tfrac18(3 + 4\cos 2t + \cos 4t)$, а косинусы кратных углов в сумме по этому промежутку дают ноль. Единичный гипершар имеет объём $\pi^2/2 \approx 4{,}935$. Он занимает $\pi^2/32 \approx 30{,}8\,\%$ описанного тессеракта $[-1, 1]^4$, тогда как обычный шар — $\pi/6 \approx 52{,}4\,\%$ куба. С ростом размерности доля падает дальше; об этом — глава о больших размерностях.
Проверим принцип на тессеракте: его объём 1 в любой ориентации, а графики сечений совсем разные. Ячейкой вперёд $\int_{-1/2}^{1/2} 1\,dh = 1$. Гранью вперёд $$\int_{-1/\sqrt2}^{1/\sqrt2} \bigl(\sqrt2 - 2|h|\bigr)\,dh = 2\Bigl(\sqrt2\cdot\tfrac{1}{\sqrt2} - \tfrac12\Bigr) = 1.$$ Вершиной вперёд объём тетраэдра с ребром $2\sqrt2\,(1 - |h|)$ равен $\tfrac83(1 - |h|)^3$, а усечённый тетраэдр — это такой тетраэдр без четырёх уголков объёмом $\tfrac83(\tfrac12 - |h|)^3$ каждый. Интеграл: тетраэдры дают $2\cdot\tfrac83\cdot\tfrac{1}{64} = \tfrac1{12}$, усечённые тетраэдры — $\tfrac{11}{12}$, вместе снова $1$.
Из того же принципа следует, что объём четырёхмерной пирамиды равен четверти произведения объёма основания на высоту: сечение на расстоянии $t$ от вершины — основание, уменьшенное в $H/t$ раз, его объём $V\,(t/H)^3$, и $\int_0^H V (t/H)^3\,dt = VH/4$. 16-ячейник — две такие пирамиды над октаэдром объёмом $\tfrac43$ с высотой 1, поэтому его объём $2\cdot\tfrac14\cdot\tfrac43 = \tfrac23$. В виджете площадь под графиком считается численно: для 5-, 8-, 16-, 24- и 600-ячейника, вписанных в единичную сферу, выходит $0{,}146$, $1$, $0{,}667$, $2$ и $3{,}863$ — ровно их четырёхмерные объёмы.
Трёхмерный наблюдатель видит четырёхмерное тело как кино из сечений. Сечение зависит от ориентации: тессеракт ячейкой вперёд — неподвижный куб, вершиной вперёд — тетраэдр, превращающийся в октаэдр. Но объём, накопленный за всё кино, от ориентации не зависит: это четырёхмерный объём тела.
Алисия Буль Стотт
Серии сечений правильных многоячейников подробно исследовала Алисия Буль Стотт (1860–1940). Она родилась 8 июня 1860 года в Корке, в Ирландии, в семье логика Джорджа Буля и Мэри Эверест Буль. В университете она не училась: математике её учила в основном мать, да ещё первые книги «Начал» Евклида. В семнадцать лет её познакомил с четырёхмерной геометрией Чарльз Говард Хинтон, муж её сестры, — он придумал деревянные кубики для тренировки четырёхмерного воображения. Алисия развила редкую способность видеть четвёртое измерение и сама нашла, что правильных многоячейников ровно шесть.
Её метод — именно тот, что в этой главе: последовательные трёхмерные сечения, параллельные одной из ячеек. Она строила их чисто геометрически и клеила из картона модели сечений. В 1900 году в Амстердаме вышла её работа «On certain series of sections of the regular four-dimensional hypersolids» («О некоторых сериях сечений правильных четырёхмерных гипертел») с диаграммами сечений 600-ячейника и 120-ячейника. В ней Буль Стотт ввела в английский язык слово polytope — англизированное немецкое Polytop, придуманное Рейнгольдом Хоппе в 1882 году.
С 1895 года она почти двадцать лет работала вместе с голландским геометром Питером Хендриком Схауте из Гронингена; в 1914 году Гронингенский университет присвоил ей почётную докторскую степень. В 1930-х она работала с молодым Гарольдом Коксетером, и они вместе выступали с докладом в Кембридже. Картонные модели сечений 120- и 600-ячейника, которые она оставила Схауте, до сих пор выставлены в Гронингенском университете; ещё один набор её моделей хранится в Институте геометрии Фолкса в Кембридже.
Итоги
- Сечение четырёхмерного тела гиперплоскостью $w = h$ — трёхмерное тело; меняя $h$, трёхмерный наблюдатель видит «кино» из сечений.
- У выпуклого многоячейника пересечённые рёбра дают вершины сечения, двумерные грани — рёбра, ячейки — грани.
- Тессеракт ячейкой вперёд — неподвижный куб; гранью — брусок $1\times1\times(\sqrt2 - 2|h|)$; ребром — треугольная, затем шестиугольная призма; вершиной — тетраэдр, усечённый тетраэдр и октаэдр в середине.
- Сечение гиперсферы — шар радиуса $\sqrt{r^2 - h^2}$, дуоцилиндра — цилиндр, тигра — два тора, сливающиеся в один.
- Принцип Кавальери: четырёхмерный объём равен $\int V(h)\,dh$. Отсюда объём гипершара $\pi^2 r^4/2$ и объём 4D-пирамиды «основание × высота / 4».
- Алисия Буль Стотт в 1900 году опубликовала серии сечений правильных многоячейников и ввела в английский язык слово polytope.
Дальше — шесть правильных многоячейников: почему их именно шесть и как они устроены.
Источники
- A. Boole Stott. On certain series of sections of the regular four-dimensional hypersolids. Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, 1900.
- H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. 3rd ed. Dover, 1973 — сечения и проекции правильных многоячейников.
- Alicia Boole Stott — биография в MacTutor History of Mathematics (Сент-Эндрюсский университет).
- Alicia Boole Stott — Wikipedia: даты, Хинтон, Схауте, почётная степень 1914 года, Коксетер, слово polytope.
- T. Phillips. The Princess of Polytopia: Alicia Boole Stott and the 120-cell — AMS Feature Column: сечения, параллельные ячейке, модели в Гронингене и Кембридже.
- I. Polo-Blanco. Alicia Boole Stott, a geometer in higher dimension. Historia Mathematica 35 (2008).
- Polytope — Wikipedia: слово Polytop у Р. Хоппе (1882).
- Cavalieri's principle — Wikipedia: Кавальери (1635), Цзу Чунчжи и Цзу Гэнчжи.
- Tiger — Polytope Wiki: определение тигра и происхождение названия.
- Duocylinder — Wikipedia.