Векторы и координаты

В прошлой главе мы измеряли недоступное: ширину реки, высоту горы, размер Земли. На воде этого мало. Моторная лодка идёт в стоячей воде со скоростью $4$ км/ч. Её нос направили строго поперёк реки, а течение в реке — $3$ км/ч. С какой скоростью лодка поплывёт? Не $7$ и не $1$. Лодку одновременно несут мотор и вода, и она пойдёт наискосок со скоростью $5$ км/ч: это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $3$ и $4$.

Три плюс четыре — пять, если складывать не числа, а стрелки. Скорость, сила, перемещение, ветер: у каждой из этих величин есть не только размер, но и направление, и складываются они по своим правилам. Штурман пользуется этими правилами каждый день. Он решает, куда держать нос, чтобы течение не снесло лодку, как добраться до буя против ветра, далеко ли корабль ушёл с безопасной линии. Эта глава — штурманская практика: в каждом разделе задача с воды и новое действие со стрелками, без которого её не решить.

Стрелка вместо числа

Турист прошёл $3$ км на восток, потом $4$ км на север. Где он? Ответ «прошёл $7$ км» верен, но бесполезен: он говорит о дороге, а не о том, куда турист попал. Полезный ответ — «в $5$ км от старта, примерно на северо-восток». Чтобы описать такое перемещение, нужны два сведения сразу: насколько далеко и в какую сторону. Рисуют его стрелкой от старта к финишу.

Стрелка не привязана к месту. Сдвиг «$5$ км на северо-восток» одинаков, где бы ни стоял турист — в Москве или в Казани. Поэтому две стрелки одной длины и одного направления считают одним и тем же объектом.

Бывает и вектор без длины — нулевой, $\vec 0$: начало и конец совпали. Направления у него нет. Вектор $\overrightarrow{BA}$ той же длины, что и $\overrightarrow{AB}$, но смотрит в обратную сторону; его называют противоположным и пишут $-\overrightarrow{AB}$.

Величины, которые описываются одним числом (масса, температура, время, объём бака), называют скалярными. Скорость, сила, перемещение, напряжённость поля — векторные. С векторами надо договариваться и о направлении, и о том, откуда его отсчитывать. Прогноз «ветер северо-западный, $5$ м/с» означает, что ветер дует с северо-запада. Океанологи поступают наоборот: «северо-западное течение» течёт на северо-запад. Штурману, у которого на карте и ветер, и течение, эту разницу лучше помнить.

Мотор и течение

Вернёмся к лодке. За четверть часа мотор увёл бы её на $1$ км поперёк реки, а течение за то же время снесло бы на $0{,}75$ км вниз. Можно считать, что лодка сначала проплыла по стоячей воде, а потом вода перенесла её вниз, — результат тот же. Два перемещения подряд дают третье: из начала первого в конец второго.

Первое перемещение: из $A$ в $B$. Второе перемещение начинается там, где закончилось первое. Сумма — стрелка из начала первого вектора в конец второго. Пример: $1$ км поперёк реки и $0{,}75$ км вниз по течению складываются в перемещение длиной $\sqrt{1^2 + 0{,}75^2} = \sqrt{1{,}5625} = 1{,}25$ км. За час — $5$ км: скорость $4$ км/ч поперёк и $3$ км/ч вдоль дают $5$ км/ч.

Когда два вектора действуют одновременно — мотор и течение, две силы на одном тросе, — удобнее другое правило. Отложим оба вектора от одной точки и достроим параллелограмм; сумма — его диагональ из общей вершины. Это то же самое правило треугольника, только записанное симметрично: почему оба правила дают одно и то же, покажет доказательство ниже.

С числами мы привыкли, что от перестановки слагаемых сумма не меняется. Для стрелок это надо проверить: складываем мы их не по привычным правилам арифметики, а по чертежу.

Сумма — это конец цепочки стрелок. Достаточно показать, что при перестановке и перегруппировке цепочка приходит в ту же точку.

Отложим от точки $O$ вектор $\vec a$ с концом $A$, а от $A$ — вектор $\vec b$ с концом $S$. По правилу треугольника $\vec a + \vec b = \overrightarrow{OS}$. Теперь начнём с $\vec b$: отложим его от $O$, конец — $B$. Векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{AS}$ равны (оба — это $\vec b$), то есть отрезки $OB$ и $AS$ параллельны, равны и направлены в одну сторону. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм (это предложение I.33 «Начал»). Значит, и $\overrightarrow{BS} = \overrightarrow{OA} = \vec a$: вектор $\vec a$, отложенный от $B$, ведёт в ту же точку $S$. Получилось $\vec b + \vec a = \overrightarrow{OS} = \vec a + \vec b$. Добавим третий вектор $\vec c$ от точки $S$, конец — $T$. Сумма $(\vec a + \vec b) + \vec c = \overrightarrow{OS} + \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{OT}$. С другой стороны, $\vec b + \vec c = \overrightarrow{AS} + \overrightarrow{ST} = \overrightarrow{AT}$, и $\vec a + (\vec b + \vec c) = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AT} = \overrightarrow{OT}$. Та же стрелка. Оба закона верны. Если векторы коллинеарны, параллелограмм сплющивается в отрезок, но цепочка по-прежнему приходит в одну точку: на прямой длины со знаком складываются, как числа. Поэтому сумму любого числа векторов можно считать в любом порядке, а если маршрут вернулся туда, откуда начался, сумма всех его перемещений — нулевой вектор.

Длины же складываются только в одном случае.

Лодка, которую мотор и течение несут в разные стороны, всегда идёт медленнее, чем показывает сумма двух чисел.

Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны $5$ и $3$. Какой длины не может быть их сумма?

$2$ $5$ $8$ $9$

Длина суммы лежит между $5 - 3 = 2$ (векторы смотрят в противоположные стороны) и $5 + 3 = 8$ (в одну сторону). Все промежуточные значения достигаются при каком-то угле между векторами. Девятки не бывает: сумма длин — потолок.

Вымпельный ветер

В безветренный день катер разгоняется до $20$ узлов, и шкипер чувствует в лицо ветер в $20$ узлов. Воздух стоит на месте, это катер несётся сквозь него. Ветер, который ощущают на борту и показывает флажок-вымпел на мачте, моряки называют вымпельным. Парус работает именно в нём, а не в «настоящем» ветре с метеостанции.

Чтобы найти вымпельный ветер, нужно вычитать векторы. Вычитание обратно сложению: $\vec a - \vec b$ — это такой вектор, который надо прибавить к $\vec b$, чтобы получить $\vec a$. На чертеже он идёт от конца $\vec b$ к концу $\vec a$, если оба отложены от одной точки. Можно смотреть и иначе: вычесть $\vec b$ — значит прибавить противоположный вектор, $\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b)$.

Если настоящий ветер — вектор $\vec w$, а яхта идёт со скоростью $\vec v$, то относительно яхты воздух движется со скоростью $\vec w - \vec v$. Пусть ветер в $8$ узлов дует с востока, а яхта идёт на север со скоростью $6$ узлов. Вектор $-\vec v$ смотрит на юг, $\vec w$ — на запад; они перпендикулярны, и вымпельный ветер — гипотенуза: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ узлов. На борту дует сильнее, чем на берегу, и не сбоку, а спереди-сбоку, с северо-востока. Этим пользуются буеры — парусные сани на льду: чем быстрее они едут, тем сильнее вымпельный ветер, и в хорошие дни они разгоняются в несколько раз быстрее ветра.

Складывать вектор с самим собой можно много раз: $\vec a + \vec a = 2\vec a$ — вдвое длиннее, в ту же сторону. Отсюда умножение вектора на число $k$: длина умножается на $|k|$, направление сохраняется при $k > 0$ и меняется на противоположное при $k < 0$; при $k = 0$ получается нулевой вектор. Катер, который шёл час со скоростью $\vec v$, сместился на $1 \cdot \vec v$, а за полтора часа — на $1{,}5\,\vec v$. Коллинеарные векторы теперь можно описать одной фразой: один из них получается из другого умножением на число (если тот не нулевой).

Умножение на число дружит со сложением так же, как у чисел: скобки раскрываются. Для стрелок это снова теорема, а не договорённость.

Первый закон — это подобие треугольников, второй — сложение отрезков на одной прямой.

Отложим от $O$ вектор $\vec a$ с концом $A$, а от $A$ — вектор $\vec b$ с концом $S$. В треугольнике $OAS$ сторона $\overrightarrow{OS} = \vec a + \vec b$. Пусть $k > 0$. Отложим от $O$ векторы $k\vec a$ и $k(\vec a + \vec b)$; их концы $A'$ и $S'$ лежат на лучах $OA$ и $OS$, причём $OA' = k \cdot OA$ и $OS' = k \cdot OS$. Треугольники $OAS$ и $OA'S'$ подобны по второму признаку подобия: угол при $O$ общий, а стороны при нём пропорциональны с коэффициентом $k$. Из подобия $A'S' = k \cdot AS$ и углы $OAS$ и $OA'S'$ равны. Это соответственные углы при прямых $AS$ и $A'S'$ и секущей $OA$, поэтому $A'S' \parallel AS$, и смотрят эти отрезки в одну сторону. Значит, $\overrightarrow{A'S'} = k\vec b$. По правилу треугольника $k\vec a + k\vec b = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{A'S'} = \overrightarrow{OS'} = k(\vec a + \vec b)$. При $k < 0$ вся картина ещё и поворачивается на $180^\circ$ вокруг $O$, при $k = 0$ обе части нулевые, а для коллинеарных $\vec a$ и $\vec b$ всё происходит на одной прямой. Второй закон проще: $k\vec a$, $m\vec a$ и $(k + m)\,\vec a$ лежат на прямой вектора $\vec a$, и их длины со знаком складываются, как числа на числовой прямой.

Катер идёт на восток со скоростью $12$ узлов, а ветер дует с севера со скоростью $5$ узлов. Какова скорость вымпельного ветра в узлах?

Ветер с севера дует на юг: $\vec w$ — $5$ узлов на юг. Вектор $-\vec v$ — $12$ узлов на запад. Они перпендикулярны, поэтому $|\vec w - \vec v| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ узлов.

Сетка на карте

На морской карте стрелки рисуют карандашом, но считать удобнее числами. Выберем на плоскости два единичных вектора: $\vec i$ — на одну милю на восток, $\vec j$ — на одну милю на север. Любое перемещение складывается из сдвига на восток и сдвига на север: $\vec a = x\,\vec i + y\,\vec j$. Числа $x$ и $y$, то есть сколько миль восточнее и сколько севернее, полностью описывают вектор.

В главе 9 координаты описывали точки: так научили работать плоскость Рене Декарт в «Геометрии» (1637) и, независимо от него, Пьер Ферма в рукописи, которая ходила по рукам с середины 1630-х, а напечатана была только в 1679 году. У вектора координаты те же, что у точки его конца, если начало поставить в начало координат. Но вектор можно откладывать откуда угодно, а координаты у него от этого не меняются.

Координаты определены однозначно: $x$ равен длине со знаком тени вектора на ось, идущую с запада на восток, а $y$ — на ось с юга на север. А все действия с векторами превращаются в действия с числами, по каждой координате отдельно.

Например, $3\vec i + 2\vec j$ плюс $\vec i - 5\vec j$ — это $4\vec i - 3\vec j$: четыре мили на восток и три на юг. Ещё одно следствие: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$, поэтому $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$, а координаты векторов $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ — это координаты точек $A$ и $B$.

На сколько конец восточнее начала. На сколько конец севернее начала. Правило короткое: «конец минус начало». Пример: для $A(1;\,-2)$ и $B(4;\,2)$ получаем $\overrightarrow{AB} = (4 - 1;\; 2 - (-2)) = (3;\,4)$. Его длина по теореме Пифагора $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Вообще $|(x;\,y)| = \sqrt{x^2 + y^2}$, а в пространстве $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Штурманы веками вели так называемое счисление пути: без спутников и радио, по курсу, скорости и времени, отмечали на карте, где должен быть корабль. Каждый отрезок пути — вектор, место корабля — сумма всех векторов. Только угол у моряков отсчитывают по-своему: курс — это угол от направления на север по часовой стрелке. Поэтому отрезок длиной $d$ миль, пройденный курсом $K$, даёт сдвиг

$$\bigl(d\sin K;\;\; d\cos K\bigr),$$

а не $(d\cos K;\, d\sin K)$, как в тригонометрии, где угол отсчитывают от оси $x$ против часовой стрелки. Синус и косинус поменялись местами, потому что поменялись местами оси, от которых считают угол. Например, $6$ миль курсом $90^\circ$ (строго на восток) и затем $4$ мили курсом $30^\circ$ дают $(6;\,0) + (2;\;3{,}46) = (8;\;3{,}46)$: корабль в $\sqrt{64 + 12} \approx 8{,}72$ мили от гавани.

Лодка вышла из точки $A(-1;\,3)$ и пристала в точке $B(2;\,7)$ (координаты в километрах). Найдите координаты вектора перемещения $\overrightarrow{AB}$.

Конец минус начало: $\overrightarrow{AB} = (2 - (-1);\; 7 - 3) = (3;\,4)$. Лодка сместилась на $3$ км к востоку и на $4$ км к северу, а по прямой — на $5$ км.

Лавировка

Парусная яхта не может идти прямо против ветра. Хорошая крейсерская яхта держит курс примерно под $45^\circ$ к ветру, старинные корабли с прямыми парусами — хорошо если под $60$–$70^\circ$. Чтобы добраться до буя, который стоит против ветра, яхта идёт зигзагом: то так, чтобы ветер дул в левый борт (левым галсом), то в правый (правым галсом). Направлений у неё всего два, $\vec e_1$ и $\vec e_2$, и вопрос штурмана звучит так: сколько миль пройти одним галсом и сколько другим?

На языке векторов нужно найти числа $u$ и $v$, для которых

$$\overrightarrow{SB} = u\,\vec e_1 + v\,\vec e_2,$$

где $S$ — старт, $B$ — буй. Такое выражение называют линейной комбинацией.

Нужный параллелограмм строится двумя прямыми.

Отложим $\vec e_1$, $\vec e_2$ и $\vec a$ от одной точки $O$; пусть $A$ — конец $\vec a$. Проведём через $O$ прямую вдоль $\vec e_1$, а через $A$ — прямую, параллельную $\vec e_2$. Эти прямые пересекаются в точке $P$: они не параллельны, потому что $\vec e_1$ и $\vec e_2$ не коллинеарны. Вектор $\overrightarrow{OP}$ лежит на прямой вектора $\vec e_1$, то есть коллинеарен ему. Значит, $\overrightarrow{OP} = u\,\vec e_1$, где $|u| = \frac{OP}{|\vec e_1|}$, а знак плюс, если $P$ лежит по ту же сторону от $O$, что и конец $\vec e_1$. Вектор $\overrightarrow{PA}$ параллелен $\vec e_2$ по построению, поэтому точно так же $\overrightarrow{PA} = v\,\vec e_2$. По правилу треугольника $\vec a = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PA} = u\,\vec e_1 + v\,\vec e_2$. Других чисел нет: если бы ещё $\vec a = u'\vec e_1 + v'\vec e_2$, то, вычитая, мы получили бы $(u - u')\,\vec e_1 = (v' - v)\,\vec e_2$. Слева стоит вектор вдоль $\vec e_1$, справа — вдоль $\vec e_2$; совпасть они могут, только если оба нулевые. Значит, $u' = u$ и $v' = v$.

Числа $u$ и $v$ — это координаты буя в «косой сетке», линии которой идут вдоль двух галсов. Обычные координаты — частный случай, когда сетка прямоугольная, а шаг в обе стороны единичный: $\vec e_1 = \vec i$, $\vec e_2 = \vec j$. Пару неколлинеарных векторов, по которой раскладывают все остальные, называют базисом; строго и для любого числа измерений — в главе 37.

Опыт показывает неожиданную вещь: число поворотов на длину пути не влияет. Весь путь левым галсом — это $u$ миль, как бы их ни разбили на куски, а правым — $v$ миль. Сумма векторов не зависит от порядка, поэтому все отрезки одного галса можно мысленно переставить подряд. Моряки поворачивают чаще или реже по другим причинам: из-за берегов, мелей и того, что каждый поворот стоит времени.

Если буй стоит точно против ветра на расстоянии $L$, оба галса одинаковы, и каждая миля пути приближает к бую на $\cos\beta$ мили, где $\beta$ — наименьший угол к ветру, под которым может идти яхта.

Расстояние до цели по прямой, точно против ветра. Самый острый угол к ветру, под которым яхта ещё идёт. От числа галсов путь не зависит. Пример: до буя $10$ миль. Яхта, идущая под $45^\circ$ к ветру, пройдёт $\frac{10}{\cos 45^\circ} = 10\sqrt2 \approx 14{,}1$ мили. Старинный парусник, идущий не круче $60^\circ$, пройдёт $\frac{10}{\cos 60^\circ} = 20$ миль — вдвое больше прямого пути. При $\beta = 90^\circ$ формула теряет смысл: судно, которое не может идти круче галфвинда, против ветра не продвинется вовсе.

Бурлаки и скалярное произведение

До пароходов баржи по Волге против течения тянули бурлаки. Артель шла по тропе вдоль берега — она так и называлась, бечевник, от слова «бечева», буксирный канат. На картине Ильи Репина «Бурлаки на Волге» (1870–1873) хорошо видно: канат идёт к барже не вдоль реки, а наискосок, под углом. Баржа же плывёт вдоль реки. Какая часть усилия уходит в дело?

Разложим силу натяжения каната $\vec F$ на две: вдоль реки и поперёк. Поперечная тянет баржу к берегу, её гасит рулевой, и полезной работы она не совершает. Работает только составляющая вдоль реки, длиной $|\vec F|\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между канатом и рекой. Физики так и определяют работу силы: $A = |\vec F|\,|\vec s|\cos\varphi$, где $\vec s$ — перемещение. Пусть канат натянут с силой $6000$ Н под углом $20^\circ$ к реке, а баржа прошла километр. Работа $6000 \cdot 1000 \cdot \cos 20^\circ \approx 5{,}64$ МДж; около $6\,\%$ усилия пропало. При угле $60^\circ$ пропала бы половина: $\cos 60^\circ = \frac12$.

Результат — число, а не вектор; отсюда и название «скалярное». Множитель $|\vec b|\cos\varphi$ имеет наглядный смысл. Посветим на $\vec b$ лучами, перпендикулярными прямой вектора $\vec a$: тень $\vec b$ на этой прямой и есть $|\vec b|\cos\varphi$. Когда угол острый, тень ложится вперёд, вдоль $\vec a$; когда тупой — назад, и тогда её длину считают со знаком минус.

По знаку скалярного произведения сразу виден угол: положительное — угол острый, отрицательное — тупой. Произведение вектора на себя — квадрат его длины: $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$, ведь угол между вектором и им самим нулевой, а $\cos 0^\circ = 1$. Ноль же означает прямой угол, и это главный способ проверять перпендикулярность.

По определению, чтобы найти скалярное произведение, нужно знать угол. Но в координатах он не нужен вовсе, и это одна из самых полезных формул главы.

Третью сторону треугольника посчитаем двумя способами: по теореме косинусов и по координатам.

Отложим $\vec a$ и $\vec b$ от точки $O$. Из конца $\vec b$ в конец $\vec a$ ведёт вектор $\vec a - \vec b$: по определению разности, вместе с $\vec b$ он даёт $\vec a$. Получился треугольник со сторонами $|\vec a|$, $|\vec b|$, $|\vec a - \vec b|$ и углом $\varphi$ между первыми двумя. По теореме косинусов квадрат третьей стороны равен $|\vec a - \vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi$. Та же сторона в координатах. Вектор $\vec a - \vec b$ имеет координаты $(a_1 - b_1;\; a_2 - b_2)$ — это катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой $|\vec a - \vec b|$, и по теореме Пифагора $|\vec a - \vec b|^2 = (a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2$. Раскроем квадраты разностей: $a_1^2 - 2a_1b_1 + b_1^2 + a_2^2 - 2a_2b_2 + b_2^2$. Здесь $a_1^2 + a_2^2 = |\vec a|^2$ и $b_1^2 + b_2^2 = |\vec b|^2$, так что получилось $|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2)$. Две записи одной и той же длины равны. Вычтем из обеих $|\vec a|^2 + |\vec b|^2$ и разделим на $-2$: $|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi = a_1b_1 + a_2b_2$. Если векторы коллинеарны, треугольника нет, но равенство проверяется прямо: для $\vec b = k\vec a$ обе части равны $k\,|\vec a|^2$.

Теперь угол между любыми двумя векторами находится без транспортира:

$$\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\,\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}.$$

Про векторы сказано: $|\vec a| = 3$, $|\vec b| = 5$, $\vec a \cdot \vec b = 20$. Что можно сказать об угле между ними?

Он острый. Он тупой. Таких векторов не бывает.

Косинус не бывает больше единицы, поэтому $|\vec a \cdot \vec b| \le |\vec a|\,|\vec b| = 15$. Число $20$ получиться не может: вышло бы $\cos\varphi = \frac43$. Скалярное произведение по модулю не больше произведения длин и равно ему только для коллинеарных векторов.

При каком $m$ векторы $\vec a = (2;\,m)$ и $\vec b = (3;\,-4)$ перпендикулярны?

Перпендикулярны — значит, скалярное произведение нулевое: $2 \cdot 3 + m \cdot (-4) = 0$, $6 = 4m$, $m = \frac32$.

Створ

Вход в гавань часто идёт узким фарватером между мелями. Чтобы корабль не сбился, на берегу ставят два знака или два огня: передний пониже, задний повыше и подальше. Пока корабль идёт по линии, проходящей через оба знака (моряки говорят «на створе»), огни видны один над другим. Сошёл с линии — огни «разъехались». Штурману нужно знать больше: насколько корабль отклонился и в какую сторону. Для этого у прямой должно быть уравнение.

Прямую задают не только двумя точками, но и точкой и направлением, перпендикулярным к ней.

Прямая — это все точки, в которые из $M_0$ можно пройти под прямым углом к нормали.

Через точку $M_0$ проходит ровно одна прямая, перпендикулярная $\vec n$. Точка $M$ лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда вектор $\overrightarrow{M_0M}$ перпендикулярен $\vec n$ или нулевой ($M = M_0$). Двигайте точку $M$: прямой угол появляется ровно на прямой. По признаку перпендикулярности это условие — $\vec n \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$ (для нулевого вектора оно тоже выполнено). В координатах $\overrightarrow{M_0M} = (x - x_0;\; y - y_0)$, и условие принимает вид $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$. Раскрыв скобки, получаем $ax + by + c = 0$ с $c = -(ax_0 + by_0)$. Обратно: пусть дано уравнение $ax + by + c = 0$ и, скажем, $a \ne 0$. Точка $M_0\bigl(-\frac ca;\;0\bigr)$ ему удовлетворяет, то есть $c = -(ax_0 + by_0)$, и уравнение переписывается как $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ — а это прямая через $M_0$ с нормалью $(a;\,b)$. При $a = 0$ годится точка $M_0\bigl(0;\;-\frac cb\bigr)$. Первая координата нормали $\vec n = (a;\,b)$. Вторая координата нормали; $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Свободный член $c = -(a x_0 + b y_0)$: при той же нормали он сдвигает прямую параллельно самой себе. Пример: прямая через точку $(2;\,1)$, перпендикулярная $\vec n = (3;\,-4)$: $3x - 4y + c = 0$, и $c = -(3 \cdot 2 - 4 \cdot 1) = -2$. Получаем $3x - 4y - 2 = 0$. Вдоль прямой идёт вектор $(4;\,3)$: он перпендикулярен нормали, $3 \cdot 4 + (-4) \cdot 3 = 0$.

Уравнение $y = kx + m$ из главы о функциях — частный случай при $b \ne 0$: $kx - y + m = 0$, нормаль $(k;\,-1)$. Зато вертикальная прямая $x = 5$ записью «игрек через икс» не описывается, а общим уравнением — легко: $1 \cdot x + 0 \cdot y - 5 = 0$.

Теперь расстояние от корабля до створа.

Расстояние — это тень вектора на направление нормали.

Расстояние $d$ от точки $P(x_1;\,y_1)$ до прямой — длина перпендикуляра $PH$, опущенного на прямую. Возьмём любую точку прямой $M_0(x_0;\,y_0)$ и вектор $\overrightarrow{M_0P}$. Двигайте $M_0$ вдоль прямой — дальнейшее от выбора точки не зависит. Проведём через $M_0$ прямую вдоль нормали и опустим на неё перпендикуляр из $P$ с основанием $F$. У четырёхугольника $M_0HPF$ три прямых угла, при $H$, $M_0$ и $F$, значит, это прямоугольник, и $M_0F = HP = d$. А отрезок $M_0F$ — тень вектора $\overrightarrow{M_0P}$ на направление $\vec n$. Длина тени — модуль проекции, а проекция на направление $\vec n$ равна $\frac{\vec n \cdot \overrightarrow{M_0P}}{|\vec n|}$. Поэтому $d = \frac{|\vec n \cdot \overrightarrow{M_0P}|}{|\vec n|}$, и знак проекции показывает, с какой стороны прямой лежит $P$. В координатах $\vec n \cdot \overrightarrow{M_0P} = a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0) = ax_1 + by_1 - (ax_0 + by_0)$. Точка $M_0$ лежит на прямой, поэтому $-(ax_0 + by_0) = c$, и числитель равен $ax_1 + by_1 + c$. Остаётся $|\vec n| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Знак числителя подсказывает штурману, куда поворачивать: положительные значения — с той стороны прямой, куда смотрит нормаль, отрицательные — с другой.

В пространстве всё повторяется с одной добавкой. Уравнение $ax + by + cz + d = 0$ задаёт плоскость с нормалью $(a;\,b;\,c)$, а расстояние от точки до неё — $\frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. Прямая в пространстве одним таким уравнением уже не задаётся: перпендикулярных ей направлений бесконечно много.

Найдите расстояние от точки $(1;\,-1)$ до прямой $5x - 12y + 9 = 0$.

Подставляем точку: $5 \cdot 1 - 12 \cdot (-1) + 9 = 26$. Длина нормали $\sqrt{25 + 144} = 13$. Расстояние $d = \frac{26}{13} = 2$.

Румпель и правая рука

С одной стороны створа или с другой — это вопрос о том, слева или справа. У скалярного произведения на него ответа нет: оно одинаково для векторов, симметричных относительно $\vec a$. Нужна другая величина.

Нужная величина — площадь со знаком.

Повернём $\vec a$ на прямой угол — и высота параллелограмма окажется тенью вектора $\vec b$, а тени мы уже умеем считать скалярным произведением.

Площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту (глава 20): $S = |\vec a| \cdot h$, где $h$ — расстояние от конца $\vec b$ до прямой вектора $\vec a$. Повернём $\vec a$ на $90^\circ$ против часовой стрелки. Получится вектор $\vec a^{\perp} = (-a_2;\,a_1)$. Он той же длины: $\sqrt{a_2^2 + a_1^2} = |\vec a|$. Он перпендикулярен $\vec a$: $\vec a \cdot \vec a^{\perp} = -a_1a_2 + a_2a_1 = 0$. И повёрнут именно против часовой стрелки: $\vec i = (1;\,0)$ такая замена переводит в $\vec j = (0;\,1)$. Прямая вектора $\vec a^{\perp}$ перпендикулярна основанию, поэтому тень вектора $\vec b$ на неё — ровно высота $h$. Проекция берётся со знаком: плюс, если $\vec b$ смотрит в ту же сторону от прямой $\vec a$, что и $\vec a^{\perp}$, то есть налево, и минус — если направо. Проекция равна $\frac{\vec a^{\perp} \cdot \vec b}{|\vec a^{\perp}|} = \frac{-a_2 b_1 + a_1 b_2}{|\vec a|}$. Значит, $a_1 b_2 - a_2 b_1 = \pm\,|\vec a| \cdot h = \pm S$, со знаком плюс, когда $\vec b$ смотрит налево от $\vec a$.

Выражение $a_1 b_2 - a_2 b_1$ в главе 35 назовут определителем, и там же выяснится, почему он измеряет, во сколько раз меняются площади при линейном преобразовании. Штурман пользуется им без этого слова: если $\vec k$ — курс корабля, а $\vec m$ — вектор от корабля к маяку, то при $k_1 m_2 - k_2 m_1 > 0$ маяк слева, по левому борту, а при отрицательном значении — справа. Тот же знак служит стандартной проверкой в компьютерной геометрии: по нему программа узнаёт, по какую сторону от прямой лежит точка.

Найдите площадь треугольника с вершинами $(0;\,0)$, $(4;\,1)$ и $(1;\,3)$.

Треугольник — половина параллелограмма на векторах $(4;\,1)$ и $(1;\,3)$. Площадь параллелограмма $|4 \cdot 3 - 1 \cdot 1| = 11$, треугольника — $\frac{11}{2} = 5{,}5$.

В пространстве слов «налево» и «направо» не хватает: плоскость, в которой лежат $\vec a$ и $\vec b$, можно разглядывать с двух сторон. Выход — ответить вектором, перпендикулярным этой плоскости, и договориться, в какую сторону он смотрит.

В школьной физике то же правило называют правилом буравчика: винт с правой резьбой, который поворачивают от $\vec a$ к $\vec b$, вкручивается в сторону $\vec a \times \vec b$. От порядка множителей здесь зависит многое: $\vec b \times \vec a = -\,\vec a \times \vec b$, стрелка разворачивается.

Проверим, что вектор $\vec c = (a_2 b_3 - a_3 b_2;\;\; a_3 b_1 - a_1 b_3;\;\; a_1 b_2 - a_2 b_1)$ обладает всеми тремя свойствами из определения: перпендикулярен обоим множителям, имеет нужную длину и смотрит по правилу правой руки.

Перпендикулярность. $\vec a \cdot \vec c = a_1(a_2 b_3 - a_3 b_2) + a_2(a_3 b_1 - a_1 b_3) + a_3(a_1 b_2 - a_2 b_1)$. После раскрытия скобок шесть слагаемых сокращаются попарно: $a_1a_2b_3$ с $-a_2a_1b_3$, $-a_1a_3b_2$ с $a_3a_1b_2$, $a_2a_3b_1$ с $-a_3a_2b_1$. Итог — ноль, и по признаку $\vec c \perp \vec a$. Точно так же $\vec b \cdot \vec c = 0$. Длина. Каждая координата $\vec c$ имеет вид $a_ib_j - a_jb_i$ для одной из пар индексов $(2, 3)$, $(3, 1)$, $(1, 2)$, и её квадрат равен $a_i^2b_j^2 + a_j^2b_i^2 - 2a_ib_ia_jb_j$. Сравним с $|\vec a|^2|\vec b|^2 - (\vec a \cdot \vec b)^2$. В произведении $(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2)$ стоят все девять слагаемых $a_i^2b_j^2$, а квадрат $(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2$ состоит из трёх слагаемых $a_i^2b_i^2$ и удвоенных произведений $2a_ib_ia_jb_j$. После вычитания остаются шесть слагаемых $a_i^2b_j^2$ с $i \ne j$ минус удвоенные произведения — ровно сумма квадратов координат $\vec c$. Значит, $|\vec c|^2 = |\vec a|^2|\vec b|^2 - |\vec a|^2|\vec b|^2\cos^2\varphi = |\vec a|^2|\vec b|^2\sin^2\varphi$, и $|\vec c| = |\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi$. Направление. Перпендикулярных плоскости векторов нужной длины два, и они противоположны. Для $\vec a = \vec i$, $\vec b = \vec j$ формула даёт $(0;\,0;\,1) = \vec k$ — как и правило правой руки: оси всегда рисуют так, чтобы поворот от $x$ к $y$ со стороны оси $z$ выглядел поворотом против часовой стрелки. Теперь будем непрерывно поворачивать и растягивать пару $\vec i$, $\vec j$, не давая векторам стать коллинеарными: так можно получить любую пару неколлинеарных векторов пространства. Стрелка $\vec c$ по формуле меняется непрерывно и нулевой не становится — её длина $|\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi$ положительна. Перескочить на противоположную сторону плоскости она не может, а направление по правилу правой руки при таком движении тоже меняется непрерывно. Поэтому они совпадают всегда. Формула даёт вектор, перпендикулярный $\vec a$ и $\vec b$, длины $|\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi$ и направленный по правилу правой руки — это и есть $\vec a \times \vec b$.

На яхте векторное произведение сидит в руке рулевого. Румпель — рычаг, которым поворачивают руль вокруг вертикальной оси. Если $\vec r$ — вектор от оси до ладони, а $\vec F$ — сила, с которой рулевой толкает румпель, то поворачивает руль момент силы $\vec M = \vec r \times \vec F$. Он направлен вдоль оси руля, вверх или вниз, и по правилу правой руки показывает, в какую сторону пойдёт перо руля. Длина $|\vec r|\,|\vec F|\sin\varphi$ объясняет, почему толкать румпель надо поперёк, а не вдоль: при $\varphi = 0$ момент нулевой, сколько сил ни прикладывай. И почему на длинный румпель давить легче: тот же момент набирается меньшей силой.

Переправа

Теперь у нас есть всё, чтобы разобраться с рекой из начала главы до конца. Ширина реки $60$ м, лодка в стоячей воде идёт со скоростью $v = 2$ м/с, течение $u = 1$ м/с. Скорость лодки относительно берега — сумма $\vec w = \vec v + \vec u$, где $\vec v$ смотрит туда, куда направлен нос. Пусть нос повёрнут на угол $\theta$ от направления «поперёк» против течения. Разложим $\vec v$ по двум направлениям: поперёк реки — $v\cos\theta$, вдоль, против течения, — $v\sin\theta$. Поперёк реку переплывает только первая составляющая, вдоль лодку сносит течение за вычетом второй.

Как переправиться быстрее всего? Время переправы — $\frac{60}{v\cos\theta}$, и оно наименьшее при $\theta = 0$: нос строго поперёк, $30$ с. Течение при этом лодку не задерживает, а только сносит — на $1 \cdot 30 = 30$ м вниз.

Как пристать точно напротив? Нужно, чтобы вдоль реки лодку не несло: составляющая $v\sin\theta$ должна погасить течение.

На сколько повернуть нос против течения от направления «поперёк». Скорость течения. Скорость лодки в стоячей воде. Решение есть только при $u < v$: синус не бывает больше единицы. Пример: $\sin\theta = \frac{1}{2}$, $\theta = 30^\circ$. Поперёк реки лодка идёт со скоростью $2\cos 30^\circ = \sqrt3 \approx 1{,}73$ м/с и переправляется за $\frac{60}{\sqrt3} \approx 34{,}6$ с — на $4{,}6$ с дольше, зато в нужное место.

А если течение быстрее лодки? Пусть $u = 3$ м/с. Точно напротив не попасть, но куда держать нос, чтобы снесло меньше всего? Прямо поперёк — снесёт на $3 \cdot 30 = 90$ м. Развернёшь нос прямо против течения — лодка вовсе не пересечёт реку. Лучший курс где-то посередине, и найти его помогает окружность.

Все возможные итоговые скорости заканчиваются на одной окружности. Лучшая — та, что касается её.

Отложим от места старта $S$ вектор течения $\vec u$. Какой курс ни выбери, собственная скорость $\vec v$ имеет одну и ту же длину $v$, поэтому конец вектора $\vec w = \vec u + \vec v$ лежит на окружности радиусом $v$ с центром в конце $\vec u$. Лодка идёт по прямой вдоль $\vec w$. Пока она пересекает реку шириной $d$, её сносит вдоль берега на $d \operatorname{ctg}\alpha$, где $\alpha$ — угол между $\vec w$ и берегом. Снос тем меньше, чем больше $\alpha$. Самый крутой луч из $S$, который ещё задевает окружность, — касательная $ST$: более крутые лучи проходят мимо. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания (глава 19). Радиус здесь — вектор $\vec v$, так что в лучшем курсе $\vec v \perp \vec w$. Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой $u$ и катетами $v$ и $|\vec w| = \sqrt{u^2 - v^2}$. Угол $\alpha$ лежит против катета $v$, поэтому $\sin\alpha = \frac vu$ и $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sqrt{u^2 - v^2}}{v}$. Нос лодки перпендикулярен $\vec w$, а направление «поперёк» перпендикулярно берегу, поэтому угол между ними тот же: $\theta = \alpha$.

Для нашей реки $\sin\theta = \frac23$, $\theta \approx 41{,}8^\circ$, и снос $60 \cdot \frac{\sqrt{9 - 4}}{2} = 30\sqrt5 \approx 67{,}1$ м — примерно на четверть меньше, чем при курсе поперёк.

Штурманский экзамен — в тренажёре. Первый уровень — координаты и действия с векторами, второй — скалярное произведение и углы, третий — прямые, расстояния и площади.

Куда дальше

На переправе каждая точка лодки сдвигалась на один и тот же вектор $\vec w$ — от носа до кормы. Такой сдвиг переносит фигуру, не меняя ни одного расстояния. Лодка может и развернуться, а её отражение в тихой воде повторяет все её размеры, только вывернутые наизнанку. Какие ещё движения переносят фигуру, не искажая её? Сколько их вообще? И что общего у бабочки, узора на бордюре и плитки на полу? Об этом — глава 23.