Классическая модель предполагает, что все исходы равновозможны. Вероятность события $A$:

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех исходов. Результат всегда в промежутке $[0;\,1]$.

Противоположное событие $\bar{A}$ («не $A$»):

Это самый рабочий приём: если считать напрямую громоздко, считайте обратное. Классический случай — «хотя бы один раз произошло».

Пример. Монету бросают трижды. Вероятность хотя бы одного орла?

Напрямую надо перебирать случаи, а через дополнение — моментально: нет ни одного орла → все три раза решка → $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$. Ответ: $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Несовместные события (одновременно произойти не могут):

Совместные события (могут произойти оба):

Слагаемое $P(AB)$ убирает двойной счёт — ситуацию, когда произошли сразу оба.

Пример. Из колоды в 36 карт вытягивают одну. Вероятность, что карта — туз или пика: $P(\text{туз}) = \frac{4}{36}$, $P(\text{пика}) = \frac{9}{36}$, $P(\text{туз пик}) = \frac{1}{36}$:

Независимые события (исход одного не влияет на другое):

Зависимые события — общий случай:

Здесь $P(B \mid A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что $A$ уже произошло. Из этой формулы напрямую:

Пример. В ящике 5 красных и 3 синих шара. Вытаскивают два подряд без возврата. Вероятность, что оба красных:

После первого извлечения красных осталось 4, шаров всего — 7. Это и есть условная вероятность второго шага: состав ящика изменился, события зависимы.

Если событие $A$ может наступить только при реализации одной из гипотез $H_1, H_2, \ldots, H_k$ (они несовместны и исчерпывающи: $\sum P(H_i) = 1$), то:

Пример. Два завода поставляют детали: первый — 60% от объёма, брак 2%; второй — 40%, брак 5%. Вероятность того, что случайная деталь окажется бракованной:

Каждое слагаемое — это «доля завода × его брак». Такие задачи встречаются в заданиях 5–6 профильного КИМ и, как правило, решаются в одно действие после правильного определения гипотез.

Три величины связаны формулой:

Встречное движение: скорость сближения $v_1 + v_2$, время встречи $t = \dfrac{s}{v_1 + v_2}$.

Движение вдогонку: скорость сближения $v_1 - v_2$, время догнать $t = \dfrac{d}{v_1 - v_2}$.

По течению / против течения: $v_{\text{вниз}} = v_{\text{лодки}} + v_{\text{теч}}$, $\;v_{\text{вверх}} = v_{\text{лодки}} - v_{\text{теч}}$.

Стандартный алгоритм — ввести одну неизвестную $x$ и составить уравнение на равенство расстояний или времён.

Если объект выполняет всю работу за время $T$, его производительность — $\frac{1}{T}$ работы в единицу времени. При совместной работе производительности складываются:

Пример. Первый насос заполняет бассейн за 6 часов, второй — за 4. Вместе:

Если исполнители работали разное время: составляют уравнение $\dfrac{t_1}{T_1} + \dfrac{t_2}{T_2} = 1$, где $t_i$ — время работы каждого.

Увеличение на $p\%$: умножаем на $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$.

Уменьшение на $p\%$: умножаем на $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.

Последовательные изменения перемножаются:

Пример. Вклад $100\,000$ руб., ставка 8% годовых. Через 3 года:

Важный подводный камень: скидка 20%, а потом ещё 10% — это не 30%, а $0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72$, то есть скидка 28%. Процентные изменения в цепочке не складываются.

Уравнение баланса: количество вещества до смешивания = количество вещества после.

Для двух растворов с концентрациями $c_1$ и $c_2$, объёмами $V_1$ и $V_2$:

Пример. 200 г 30%-го раствора соли смешивают с $x$ граммами воды (0%-й раствор), чтобы получить 20%-й:

Для сплавов логика та же: по каждому металлу составляют отдельное уравнение баланса.

• «Хотя бы один» ≠ «ровно один». Для «хотя бы одного» используйте дополнение: $P = 1 - P(\text{ни одного})$.
• Шары без возврата — зависимые события. Формула $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$ работает только для независимых.
• Производительность — это $\frac{1}{T}$, не $T$. «Выполняет за 6 часов» → производительность $\frac{1}{6}$.
• Проценты не складываются в цепочке. $+25\%$ и $-20\%$ — не ноль; считайте перемножением множителей.
• В смесях баланс по веществу, а не по объёму: уравнение составляется как $c \cdot V$, а не просто $V$.

• Профильная математика: справочные формулы и первая часть
• Базовая математика: минимум для аттестата
• Алгебра и тригонометрия: формулы
• Планиметрия и стереометрия
• Структура ЕГЭ и обязательные предметы