Что справочный лист не заменяет

В Профильная математика: справочные формулы и первая часть мы разобрали главное: справочный лист на профиле содержит ровно пять тригонометрических формул — и больше ничего. Всё остальное — степени, логарифмы, таблица значений, формулы приведения, стандартные уравнения — нужно держать в голове. Эта статья закрывает именно этот пробел.

Степени и корни

Базовые правила:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad (a^m)^n = a^{mn}$$
$$(ab)^n = a^n b^n, \quad a^0 = 1 \text{ при } a \neq 0, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Связь со знаком корня:

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

Ловушка: $\sqrt{a^2} = |a|$, а не $a$. Если условие не оговаривает знак переменной, модуль обязателен.

Quick recall
Почему √(a²) = |a|, а не просто a?

Логарифмы

Определение: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$, где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

Ключевые тождества:

$$a^{\log_a b} = b, \quad \log_a a^n = n, \quad \log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1$$

Свойства:

$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y, \quad \log_a\frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y, \quad \log_a x^n = n\log_a x$$

Формула перехода к другому основанию:

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}, \quad \log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

Частные случаи: $\lg x = \log_{10} x$ (десятичный), $\ln x = \log_e x$ (натуральный).

Типичная ошибка: $\log_a(x + y) \neq \log_a x + \log_a y$. Логарифм суммы не раскладывается — только логарифм произведения.

Check yourself
Запишите по памяти: чему равны $\log_a 1$, $\log_a a$ и $a^{\log_a b}$? Объясните, почему выполняется тождество $a^{\log_a b} = b$.
Quick recall
Три основных свойства логарифмов (произведение, частное, степень):

Значения тригонометрических функций

Таблицы нет в справочнике, но без неё не решить задание 4 части 1.

$\alpha$$0$$\frac{\pi}{6}$$\frac{\pi}{4}$$\frac{\pi}{3}$$\frac{\pi}{2}$
$\sin\alpha$$0$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$1$
$\cos\alpha$$1$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{1}{2}$$0$
$\tan\alpha$$0$$\frac{\sqrt{3}}{3}$$1$$\sqrt{3}$—

Мнемоника для синусов: под корнем стоят числа от $0$ до $4$, делённые на $2$. Косинусы — те же значения в обратном порядке.

Check yourself
Не глядя в таблицу: чему равны $\sin 60^{\circ}$ и $\cos 30^{\circ}$? Совпадают ли они и почему?
Quick recall
Мнемоника для синусов основных углов: 'под корнем 0, 1, 2, 3, 4, делённое на 2'. Какие это дают значения для sin 30°, sin 45°, sin 60°?

Основные тождества: тангенс и котангенс

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ есть в справочнике. Из него выводятся ещё два — но вывод занимает время, поэтому лучше знать:

$$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}, \quad 1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$$

Связь функций:

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \quad \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$$

Формулы приведения

Цель: свести $\sin$ или $\cos$ угла с любым кратным $\frac{\pi}{2}$ к функции от острого угла $\alpha$.

Правило запоминания:

  • Аргумент вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$ → функция меняется (синус переходит в косинус и наоборот).
  • Аргумент вида $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$ → функция остаётся.
  • Знак определяется квадрантом, в котором оказывается угол при $\alpha \in (0^{\circ},\, 90^{\circ})$.

Конкретные формулы:

$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha, \quad \sin\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha$$
$$\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha, \quad \cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$$
$$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha, \quad \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$$
$$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$$
$$\sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$$
Check yourself
Упростите $\cos\!\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$. Меняется ли функция? Каков знак результата?

Формулы двойного и половинного угла

Формулы двойного угла есть в справочнике, но их важнейшие следствия — нет.

Двойной угол (в справочнике):

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$$

Следствия — понижение степени (знать наизусть):

$$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \quad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

Эти формулы применяются при упрощении в заданиях 13 и 18.

Тангенс двойного угла (нет в справочнике):

$$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$

Половинный угол (нет в справочнике):

$$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}, \quad \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$$

Знак $\pm$ выбирается по четверти, в которой находится $\frac{\alpha}{2}$.

Тригонометрические уравнения

Три стандартные формы — основа большинства тригонометрических задач:

$$\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
$$\cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
$$\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Частные случаи — знать без обратных функций:

УравнениеРешение
$\sin x = 0$$x = \pi n$
$\cos x = 0$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
$\sin x = 1$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$\cos x = 1$$x = 2\pi n$
$\sin x = -1$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$\cos x = -1$$x = \pi + 2\pi n$
Check yourself
Запишите общее решение уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$, указав $n \in \mathbb{Z}$.

См. также