Архимедовы замощения

Если выкладывать пол одинаковыми правильными многоугольниками, годятся только треугольники, квадраты и шестиугольники: угол правильного пятиугольника — 108°, и из таких углов 360° не набрать. Если же разрешить разные многоугольники, но потребовать, чтобы все вершины выглядели одинаково — тот же набор фигур вокруг, в том же порядке, — способов окажется ровно одиннадцать. Это архимедовы замощения.

Как это устроено

Замощение записывают по кругу вокруг вершины: 4.8² — квадрат и два восьмиугольника, 3.4.6.4 — треугольник, квадрат, шестиугольник и снова квадрат. Углы вокруг точки должны дать ровно 360°.

С учётом порядка многоугольников уравнение на углы имеет 21 решение, но на всю плоскость с одинаковыми вершинами продолжаются лишь одиннадцать, а некоторые, как 3.7.42, не уходят дальше одной вершины. Выживают три правильных замощения и восемь полуправильных; одно из них, 3⁴.6, бывает в двух зеркальных вариантах. Генератор строит каждое из точной элементарной ячейки, поэтому в режиме тайла картинка стыкуется без шва.

«Двойственное (Лавеса)» ставит точку в центр каждого многоугольника и соединяет центры соседей. Каждая вершина превращается в грань, и все плитки нового замощения одинаковы: из 3.6.3.6 выходят ромбы, которые глаз складывает в стопку кубиков, из 3².4.3.4 — пятиугольники каирской мостовой.

Немного истории

Все одиннадцать замощений впервые описал Иоганн Кеплер в «Гармонии мира» (1619) — в той же книге, где он восстановил тринадцать полуправильных многогранников Архимеда и сформулировал третий закон движения планет. Отсюда и название: у плоских замощений та же идея, что у архимедовых тел, — правильные грани и одинаковые вершины. Двойственные замощения носят имя немецкого кристаллографа Фрица Лавеса. Каирская плитка действительно мостит улицы Каира, а рисунок «кубиков» знаком по паркету и лоскутным одеялам. А шестиугольная сетка 6³ оказалась ещё и самой экономной: из всех способов разбить плоскость на ячейки равной площади у неё наименьший периметр. Эту «гипотезу о сотах» Томас Хейлз доказал в 1999 году.

Что покрутить

• Включите «Двойственное (Лавеса)» на 3.6.3.6 и 3².4.3.4 — появятся кубики и каирские пятиугольники.
• «Раскраска» «по виду» красит треугольники, квадраты и шестиугольники по-разному, «по положению» — каждую плитку ячейки своим цветом, и проступает скрытая симметрия.
• «Шов» и «Скругление» превращают мозаику в керамику с затиркой или в россыпь мармелада.
• «Раскраска» «только линии» с толстым «Контуром» — готовая решётка для SVG, плоттера или лазерной резки.
• Положите сверху «Исламские звёздные узоры» с той же «Основой» — станет видно, из каких рёбер вырастают звёзды.