Апериодическая «шляпа»

Существует ли одна-единственная плитка, копиями которой можно замостить всю плоскость, но только так, чтобы узор нигде не повторялся? Полвека этот вопрос — «проблема айнштайна», от немецкого ein Stein, «один камень», — оставался открытым. Ответ нашёлся в 2023 году и выглядит на удивление буднично: тринадцатиугольник, похожий на шляпу или футболку.

Как это устроено

Шляпа склеена из восьми одинаковых дельтоидов с углами 60°, 90°, 120° и 90° — на такие дельтоиды режутся шестиугольники обычной сотовой сетки. Поэтому все шляпы сидят на этой сетке и повёрнуты на кратные 60°, но часть из них обязательно перевёрнута зеркально: без отражённых копий мозаика не складывается.

Апериодичность держится на иерархии. Шляпы собираются в четыре метаплитки: H (четыре шляпы, одна из них отражённая), T (одна), P и F (по две). Метаплитки складываются в такие же H, T, P и F следующего уровня, только крупнее — примерно в φ² ≈ 2,6 раза по длине, — и так без конца. Генератор так и строит мозаику: поднимается на нужное число уровней, чтобы накрыть кадр, и спускается обратно до отдельных шляп.

Числа шляп — квадраты чисел Фибоначчи, а отношение соседних стремится к φ⁴ ≈ 6,854. В том же отношении, φ⁴ : 1, обычные шляпы встречаются чаще отражённых. Иррациональность этого отношения — ключ к апериодичности: в периодической мозаике доли любых плиток были бы рациональными. Самое трудное в доказательстве — показать, что любая укладка шляп обязана складываться в метаплитки.

Немного истории

Апериодические наборы известны с 1966 года, когда Роберт Бергер построил набор из 20 426 плиток Вана. В 1971-м Рафаэль Робинсон сократил его до шести плиток, а Роджер Пенроуз в 1970-х — до двух. Дальше дело встало: плитка Соколара и Тейлор (2010) была одна, но требовала правил, связывающих несоседние плитки. В ноябре 2022 года английский любитель математики Дэвид Смит, экспериментируя с фигурами, наткнулся на шляпу, и в марте 2023-го он вместе с Крейгом Капланом, Джозефом Майерсом и Хаимом Гудманом-Строссом выложил доказательство. Оставался один упрёк — зеркальные копии. Уже в мае та же четвёрка нашла «спектр», плитку, которая обходится без отражений.

Что покрутить

• «Раскраска» «классическая» красит отражённые шляпы темнее всех: попробуйте их найти — это примерно каждая восьмая шляпа.
• «Суперплитки» 1 показывают границы метаплиток H, T, P, F; 2 и 3 — те же формы уровнем выше.
• «Сдвиг» уводит кадр в другую часть бесконечной мозаики. Любой кусок, который видно в кадре, где-то повторится бесконечно много раз, а вся картина целиком — никогда.
• Положите сверху эффект «Калейдоскоп» — он навяжет строгую симметрию узору, у которого нет даже периода.