Таблица производных: держать в голове

На профильной математике справочного листа с производными нет — все стандартные формулы нужно знать наизусть. Таблица небольшая, но покрывает всё, что встречается в заданиях 12–18.

Функция $f(x)$Производная $f'(x)$
$C$ (константа)$0$
$x^n$$nx^{n-1}$
$\sqrt{x}$$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$$-\dfrac{1}{x^2}$
$e^x$$e^x$
$a^x$$a^x \ln a$
$\ln x$$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\sin x$$\cos x$
$\cos x$$-\sin x$
$\tan x$$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\cot x$$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$

Особо запомнить: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ — это просто $x^{1/2}$ в формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$, но именно здесь чаще всего ошибаются.

Проверь себя
Найдите производную функции $f(x) = x^4 + 3\sqrt{x} - \ln x$. Запишите ответ без подсказок — какие правила используете?
Быстрое повторение
Чему равна производная √x? (Это частый источник ошибок.)

Правила дифференцирования

Большинство задач на ЕГЭ — это комбинации базовых функций. Четыре правила охватывают всё:

Линейность:

$$(f \pm g)' = f' \pm g', \quad (cf)' = cf'$$

Произведение (правило Лейбница):

$$(fg)' = f'g + fg'$$

Частая ошибка — написать $f'g'$ вместо $f'g + fg'$. Формула не симметрична.

Частное:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$

Сложная функция (цепное правило):

$$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Пример: $(e^{3x^2})' = e^{3x^2} \cdot 6x$. Внешняя функция — $e^u$, внутренняя — $3x^2$.

Ещё пример: $(\ln(\sin x))' = \dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.

Быстрое повторение
Сформулируйте правило дифференцирования произведения (правило Лейбница).

Геометрический смысл: задачи на касательную

Производная $f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной к графику $y = f(x)$ в точке $x_0$. Уравнение касательной:

$$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$

Алгоритм (задание 12, касательная):

1. Вычислить $f(x_0)$ — ординату точки касания.

2. Вычислить $f'(x_0)$ — угловой коэффициент.

3. Подставить в уравнение.

Разбор: касательная к $y = x^3 - 3x$ при $x_0 = 2$:

  • $f(2) = 8 - 6 = 2$
  • $f'(x) = 3x^2 - 3$, $\;f'(2) = 9$
  • Ответ: $y = 2 + 9(x - 2) = 9x - 16$

Если требуется провести касательную из внешней точки (которая не лежит на графике), обозначьте точку касания $(x_0,\, f(x_0))$ с неизвестным $x_0$ и составьте дополнительное уравнение из условия, что касательная проходит через внешнюю точку.

Проверь себя
Напишите уравнение касательной к графику $y = \ln x$ в точке $x_0 = 1$.
Быстрое повторение
Запишите уравнение касательной к графику y = f(x) в точке x₀.

Исследование функций: монотонность и экстремумы

Производная полностью описывает поведение функции:

УсловиеВывод
$f'(x) > 0$ на $(a, b)$$f$ возрастает на $(a, b)$
$f'(x) < 0$ на $(a, b)$$f$ убывает на $(a, b)$
$f'(x_0) = 0$, знак $f'$ меняетсяэкстремум в точке $x_0$
$f'(x_0) = 0$, знак не меняетсяперегиб, не экстремум

Нахождение экстремумов — по алгоритму:

flowchart TD A["1. Найти f'(x)"] --> B["2. Решить f'(x) = 0 — критические точки"] B --> C["3. Расставить знаки f'(x) на числовой прямой"] C --> D["плюс переходит в минус"] C --> E["минус переходит в плюс"] C --> F["знак не меняется"] D --> G["МАКСИМУМ"] E --> H["МИНИМУМ"] F --> I["перегиб — не экстремум"]
flowchart TD
    A["1. Найти f'(x)"] --> B["2. Решить f'(x) = 0 — критические точки"]
    B --> C["3. Расставить знаки f'(x) на числовой прямой"]
    C --> D["плюс переходит в минус"]
    C --> E["минус переходит в плюс"]
    C --> F["знак не меняется"]
    D --> G["МАКСИМУМ"]
    E --> H["МИНИМУМ"]
    F --> I["перегиб — не экстремум"]
Алгоритм нахождения экстремумов функции

Вторая производная даёт альтернативный критерий: если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) > 0$ — минимум; $f''(x_0) < 0$ — максимум. При $f''(x_0) = 0$ признак не работает — нужен анализ знаков $f'$.

Проверь себя
Вычислите $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$. Ответ положительный или отрицательный? Почему?

Таблица первообразных

Первообразная — операция, обратная дифференцированию: если $F'(x) = f(x)$, то $\int f(x)\,dx = F(x) + C$.

Функция $f(x)$Первообразная $F(x) + C$
$x^n,\; n \neq -1$$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$$\ln
$e^x$$e^x + C$
$a^x$$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\sin x$$-\cos x + C$
$\cos x$$\sin x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$$-\cot x + C$

Главная ловушка: $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ — не $+\cos x$. Интегрирование «добавляет» минус, которого нет у производной.

Формула Ньютона–Лейбница

Определённый интеграл вычисляется через любую первообразную $F$:

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$

Задание 17 (площадь фигуры между кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$):

1. Найти точки пересечения: решить $f(x) = g(x)$.

2. Определить, какая функция больше на $[a, b]$.

3. Вычислить $\displaystyle\int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx$.

Если кривая уходит ниже оси $Ox$ и нужна именно площадь (не знаковая), берите $\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$.

Частый приём: линейная замена

Интегралы вида $\int f(ax + b)\,dx$ берутся по формуле:

$$\int f(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax + b) + C$$

Пример: $\displaystyle\int \sin(3x)\,dx = -\dfrac{\cos(3x)}{3} + C$.

Этот приём — частный случай замены переменной, и его достаточно для заданий 17–18 профильной математики.

См. также