Площади плоских фигур
В 2026 году справочный лист на профильной математике содержит только несколько тригонометрических тождеств — формул планиметрии и стереометрии там нет. Всё нужно держать в голове.
| Фигура | Формула площади |
|---|---|
| Треугольник (основание $a$, высота $h$) | $S = \dfrac{1}{2}ah$ |
| Треугольник (две стороны и угол между ними) | $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ |
| Треугольник — формула Герона | $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p = \dfrac{a+b+c}{2}$ |
| Параллелограмм | $S = ah = ab\sin\alpha$ |
| Ромб (диагонали $d_1$, $d_2$) | $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$ |
| Трапеция (основания $a$, $b$; высота $h$) | $S = \dfrac{(a+b)h}{2}$ |
| Круг | $S = \pi r^2$ |
| Кольцо (внешний $R$, внутренний $r$) | $S = \pi(R^2 - r^2)$ |
Формула $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ — рабочая лошадка ЕГЭ: применяется вместе с теоремами синусов и косинусов, и ровно она же стоит в знаменателе формулы радиуса описанной окружности.
Теоремы синусов и косинусов
Теорема синусов:
Дробь $2R$ — диаметр описанной окружности. Если задача спрашивает радиус описанной окружности треугольника, достаточно одной стороны и противолежащего ей угла.
Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора:
При $C = 90^{\circ}$ слагаемое $2ab\cos C$ обнуляется и получается привычное $c^2 = a^2 + b^2$. Для нахождения угла по трём сторонам удобнее сразу писать:
Типичный сценарий в задании 16: даны три стороны, нужна площадь. Алгоритм:
1. Найти $\cos C$ через теорему косинусов.
2. Найти $\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}$.
3. Применить $S = \frac{1}{2}ab\sin C$.
Вписанная и описанная окружности треугольника
Для произвольного треугольника с площадью $S$ и полупериметром $p = \frac{a+b+c}{2}$:
Частный случай — прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
Формула $R = \frac{c}{2}$ следует из теоремы о вписанном угле: прямой угол опирается на диаметр.
Признаки подобия треугольников
Три признака, все работают по одной логике: задано соотношение — треугольники подобны.
1. По двум углам (AA): если $\angle A_1 = \angle A_2$ и $\angle B_1 = \angle B_2$, то третий угол автоматически совпадает.
2. По двум сторонам и углу между ними (SAS): $\dfrac{AB_1}{AB_2} = \dfrac{AC_1}{AC_2}$ и $\angle A_1 = \angle A_2$.
3. По трём сторонам (SSS): $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$.
Если коэффициент подобия равен $k$:
- Соответствующие длины относятся как $k$.
- Площади — как $k^2$.
- Объёмы (для подобных тел) — как $k^3$.
Соотношение $k^2$ для площадей важно в задании 16, когда параллельное сечение делит тело и нужно связать площади сечений с высотами.
Объёмы и поверхности многогранников
| Тело | Объём | Полная поверхность |
|---|---|---|
| Куб (ребро $a$) | $V = a^3$ | $S = 6a^2$ |
| Прямоугольный параллелепипед ($a, b, c$) | $V = abc$ | $S = 2(ab + bc + ac)$ |
| Прямая призма | $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ | $2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$ |
| Пирамида | $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$ | $S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$ |
| Правильная пирамида (апофема $a_{\text{ап}}$) | — | $S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot a_{\text{ап}}$ |
Апофема боковой грани правильной пирамиды — это высота бокового треугольника из вершины пирамиды к ребру основания. Её не нужно путать с боковым ребром: апофема всегда короче.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда:
Для куба: $d = a\sqrt{3}$, диагональ грани: $d_{\text{гр}} = a\sqrt{2}$.
Тела вращения: цилиндр, конус, шар
| Тело | Объём | Полная поверхность |
|---|---|---|
| Цилиндр ($r$, $h$) | $V = \pi r^2 h$ | $S = 2\pi r(r + h)$ |
| Конус ($r$, $h$, образующая $l$) | $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ | $S = \pi r(r + l)$ |
| Шар (радиус $R$) | $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$ | $S = 4\pi R^2$ |
Образующая конуса: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $h$. Без неё полную поверхность не посчитать.
Соотношение цилиндра и конуса: при одинаковых основании и высоте $V_{\text{цил}} = 3\,V_{\text{кон}}$ — объём цилиндра в три раза больше. Это прямой вопрос задания 16.
Для шара: $S = 4\pi R^2$ — ровно четыре «кружочка» площадью $\pi R^2$ каждый. Не два и не шесть — четыре.
Частые ошибки
- Коэффициент $\frac{1}{3}$ у пирамиды и конуса — без него ответ завышен втрое.
- Апофема $\neq$ боковое ребро правильной пирамиды; формула боковой поверхности работает только через апофему.
- Образующая конуса — наклонная линия, не высота; перед расчётом поверхности обязательно вычислите $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
- Полупериметр в формуле Герона — $p = \frac{a+b+c}{2}$, а не полный периметр.
- Площадь шара — $4\pi R^2$, не $2\pi R^2$: легко перепутать с боковой поверхностью цилиндра $2\pi r h$.