Числа в разных системах
Компьютер «думает» двоичными числами — $0$ и $1$. Для компактной записи адресов и кодов программисты используют шестнадцатеричную систему; в задачах ЕГЭ встречается и восьмеричная. Задания 5 и 14 напрямую требуют уверенного перевода между системами с основаниями $2$, $8$, $10$ и $16$.
Алфавиты систем счисления:
| Система | Основание | Цифры |
|---|---|---|
| Двоичная | $2$ | $0, 1$ |
| Восьмеричная | $8$ | $0, 1, \ldots, 7$ |
| Десятичная | $10$ | $0, 1, \ldots, 9$ |
| Шестнадцатеричная | $16$ | $0$–$9$, $\text{A}$–$\text{F}$ |
В шестнадцатеричной системе A = $10$, B = $11$, …, F = $15$.
Перевод из десятичной в двоичную
Стандартный метод — последовательное деление на $2$: делите, записывайте остатки, читайте снизу вверх.
Пример: переведём $42_{10}$ в двоичную.
Читаем остатки снизу вверх: $42_{10} = 101010_2$.
Проверка: $2^5 + 2^3 + 2^1 = 32 + 8 + 2 = 42$. ✓
flowchart TD
A[Число N] --> B{N > 0?}
B -- Да --> C[остаток := N mod 2]
C --> D[N := N div 2]
D --> B
B -- Нет --> E[Читаем остатки снизу вверх]
E --> F[Готово: двоичное число]Быстрый переход: двоичная ↔ шестнадцатеричная и восьмеричная
Группируйте двоичные цифры справа налево по 4 бита — каждая четвёрка даёт одну шестнадцатеричную цифру.
Для перехода двоичная ↔ восьмеричная — группы по 3 бита:
Переход через десятичную в таких задачах медленнее — лучше использовать группировку.
Двоичная арифметика
Таблица сложения двух бит:
При сложении $1 + 1$ получается $0$ и перенос единицы влево. Пример:
Проверка: $11 + 6 = 17$, и $2^4 + 2^0 = 16 + 1 = 17$. ✓
Натренируйтесь на 3–4 примерах, чтобы перенос «шёл» автоматически — на экзамене это экономит время.
Логические операции
Задания 2 и 8 требуют работы с булевой алгеброй. Переменные принимают значения «истина» ($1$) или «ложь» ($0$).
Пять ключевых операций:
| Операция | Обозначение | Когда равна $1$ |
|---|---|---|
| Конъюнкция (И) | $A \land B$ | только если оба $1$ |
| Дизъюнкция (ИЛИ) | $A \lor B$ | если хотя бы один $1$ |
| Отрицание (НЕ) | $\lnot A$ | всегда инвертирует значение |
| Исключающее ИЛИ | $A \oplus B$ | только если значения различны |
| Импликация | $A \to B$ | ложна лишь при $A=1,\; B=0$ |
Таблица истинности для $A \land B$ и $A \lor B$:
| $A$ | $B$ | $A \land B$ | $A \lor B$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
Полезное тождество: $A \to B \;\equiv\; \lnot A \lor B$. Когда в задаче нужно найти, при каких значениях переменных выражение истинно — ищите условия, при которых оно было бы ложным, и методом «от обратного» сужайте варианты.
Кодирование информации
Задания 5 и 7 — это «арифметика информации». Три формульных блока, которые нужно знать наизусть.
Текст
где $b_{\text{код}}$ — бит на символ, $N_{\text{симв}}$ — количество символов. Часто используемые кодировки:
- КОИ-8, Windows-1251, CP-866 — $8$ бит ($1$ байт), $256$ символов;
- Unicode UTF-16 — $16$ бит ($2$ байта) на символ;
- Unicode UTF-32 — $32$ бита ($4$ байта).
Графика
где $W \times H$ — разрешение в пикселях, $b_{\text{цвет}}$ — глубина цвета в битах. Для палитры из $K$ цветов:
Типичные значения: $256$ цветов → $8$ бит; True Color ($16\,777\,216 = 2^{24}$ цветов) → $24$ бита; RGBA → $32$ бита.
Звук
где $f_{\text{д}}$ — частота дискретизации (Гц), $b_{\text{р}}$ — разрядность (бит), $N_{\text{кан}}$ — $1$ (моно) или $2$ (стерео), $t$ — время в секундах.
Пример: стерео, $44\,100$ Гц, $16$ бит, $60$ с:
Частые ошибки
- Биты и байты: указывайте единицы явно на каждом шаге — ошибка на множитель $8$ типична и снимает весь балл.
- Направление чтения при переводе в двоичную: остатки читаются снизу вверх, не сверху вниз.
- Основание логарифма: в формулах кодирования всегда $\log_2$, не $\log_{10}$.
- Импликация — самая «коварная» операция. Запомните единственное исключение: $1 \to 0 = 0$; во всех остальных трёх случаях $A \to B = 1$.