Круг, квадрат со скруглёнными углами, морская звезда, лист клевера — можно ли описать всё это одним уравнением? Йохан Гилис в 2003 году предложил формулу в полярных координатах всего с шестью параметрами, которая рисует всё это и многое другое.
Как это устроено
Отправная точка — суперэллипс Ламе, кривая |x|ⁿ + |y|ⁿ = 1. При n = 1 это ромб, при n = 2 — круг, с ростом n он превращается в квадрат со всё более острыми углами, а при n меньше 1 — в четырёхлучевую звезду с вогнутыми сторонами. Гилис умножил угол на m/4, чтобы фигура повторялась m раз за оборот, дал синусу и косинусу собственные показатели и вынес общий показатель наружу.
«Симметрия m» — число лучей. «n₁ — заострённость» действует как увеличительное стекло: маленькое n₁ раздувает любую неровность в иглу, большое сглаживает всё до круга. n₂ и n₃ гнут стороны, каждый — свою половину: n₃ отвечает за форму возле одних лучей, n₂ — возле других, поэтому при n₂ ≠ n₃ соседние лучи получаются разными. «a : b» вытягивает чётные лучи относительно нечётных. Если n₂ = n₃ = 2 и a : b = 1, то cos² + sin² = 1, и выходит круг при любых m и n₁.
В режиме «вложенные контуры» форма уменьшается шаг за шагом, а n₁ к центру растёт — контуры скругляются и слегка закручиваются. Режим «сетка» раскладывает формы по клеткам, а «таблица форм» устраивает периодическую таблицу: вдоль строки растёт m, вниз по столбцу — n₁, по диагонали — изгиб сторон.
Немного истории
Кривые вида |x/a|ⁿ + |y/b|ⁿ = 1 изучал французский математик Габриэль Ламе ещё в 1818 году. В 1959 году датский поэт и изобретатель Пит Хейн предложил суперэллипс с n = 2,5 для площади Сергельс-торг в Стокгольме — компромисс между кругом и прямоугольником, удобный и для городской сетки, и для машин. Гилис опубликовал своё обобщение в American Journal of Botany и подал на синтез узоров по формуле патентную заявку; её срок истёк в 2020 году.
Что покрутить
- Начните с круга: при n₂ = n₃ = 2 параметр n₁ ни на что не влияет. Опустите n₂ и n₃ ниже 2 — проступят m лучей, поднимите выше — m выпуклых углов; теперь n₁ решает, острые они или мягкие.
- «Симметрия m» 5 и «n₁ — заострённость» около 0,3 дают морскую звезду; m 4 и все три показателя по 4 — квадрат со скруглёнными углами.
- Разведите n₂ и n₃, например 1 и 8: одни лучи заострятся, соседние затупятся.
- «Режим» «таблица форм» и «Разброс» 1 — готовый атлас суперформ.
- Положите сверху эффект «Дизеринг» в режиме «1 бит» — выйдет картинка в духе старого компьютерного журнала.
Гильош и спирограф
Гармонограф
Филлотаксис
Линии тока
Хребты