Точку подставляют в пару формул с синусами, получают новую точку — и так раз за разом. Через миллион шагов траектория не убегает в бесконечность и не замыкается в цикл, а вечно блуждает внутри замысловатой фигуры — облака с вуалями, петлями и складками. Это странный аттрактор: множество, к которому притягиваются хаотические орбиты. Из-за хаоса того же рода погоду нельзя предсказать надолго вперёд.
Как это устроено
Семейств два. Двумерные отображения — Клиффорд, де Йонг, Свенссон, Bedhead, Hopalong — это пары формул «новые x и y через старые». Трёхмерные потоки — Лоренц, Айзава, Томас, Хальворсен — уравнения скорости; генератор интегрирует их мелкими шагами методом средней точки и проецирует на экран с учётом «Поворота» и «Наклона».
На видеокарте живут 262 144 частицы. Их сразу расставляют на самой орбите; за проход каждая делает шаг и оставляет отметку в своём пикселе. «Качество» — число проходов: по умолчанию 260, то есть около 68 миллионов точек. В сгустках отметок в сотни раз больше, чем на периферии, поэтому плотность показывают в логарифмической шкале: «Экспозиция» её растягивает, «Гамма» вытаскивает бледные вуали. «Цвет по» окрашивает точки по скорости, направлению шага, расстоянию от центра или по самой плотности.
Ползунки a–d — поправки к проверенным значениям, например к классическим σ = 10, ρ = 28, β = 8/3 у Лоренца. Большинство случайных коэффициентов схлопывают орбиту в несколько точек, поэтому «Случайные параметры» перебирают варианты и оставляют только те, что заполняют заметную часть рамки.
Немного истории
В 1963 году метеоролог Эдвард Лоренц из MIT опубликовал три уравнения — предельно упрощённую модель конвекции. Их решения никогда не повторяются и так чувствительны к начальным данным, что крошечная ошибка округления со временем меняет «прогноз» до неузнаваемости. Доклад Лоренца 1972 года «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?» дал имя эффекту бабочки, а аттрактор Лоренца и впрямь похож на бабочку. Термин «странный аттрактор» придумали Давид Рюэль и Флорис Такенс в 1971 году, а в 1976-м Мишель Энон показал, что хаосу хватает и двумерного отображения в две строки. Плоские формулы этого слоя — наследники Энона: отображение Клиффорда названо в честь популяризатора науки Клиффорда Пиковера, Hopalong придумал Барри Мартин.
Что покрутить
- Сдвигайте a или b на сотые: облако плавно перетекает из формы в форму, а иногда вдруг схлопывается в горстку точек — окно порядка посреди хаоса.
- «Вид» «нити» для Томаса или Айзавы (у Лоренца они включены уже в режиме «авто») — несколько длинных траекторий вместо облака, как тонкий рисунок пером.
- Тёмный фон, палитра magma или inferno и «Гамма» 2,5–3 проявят самые бледные вуали.
- С включённой анимацией «Дрожь» заставляет плоские аттракторы дышать, а «Вращение» поворачивает трёхмерные в пространстве.
- Добавьте сверху эффект «Свечение» — плотные сгустки засияют, как туманность.
Мандельброт и Жюлиа
Фрактальные пламена
Гиперболические замощения
Инверсии и кляйновы группы
L-системы