запросы на отрезке

DS Приём Корневая декомпозиция Блоки по √n: целые отвечают сразу, разрезанные — поклеточно; O(√n) там, где дерево отрезков не складывается. И порядок Мо. O(√n) на запрос; Мо — O(n√q) на все 1 задача DS Структура данных Персистентные структуры Каждое изменение — новая версия, старые живы; копируется только путь от корня. Медиана любого периода — разность двух версий. O(log n) на изменение и запрос 1 задача DS Структура данных Двоичное дерево поиска Меньшие налево, большие направо: поиск, порядок и k-й элемент за высоту дерева — от log n до n. O(h): от O(log n) до O(n) 2 задачи DS Структура данных АВЛ-дерево Дерево поиска, где высоты веток у узла различаются не больше чем на 1: высота до ~1,44·log₂ n. O(log n) на поиск, вставку и удаление 2 задачи DS Структура данных Красно-чёрное дерево Дерево поиска с узлами двух цветов: высота до 2·log₂(n + 1), не больше трёх поворотов на операцию. O(log n) на поиск, вставку и удаление 2 задачи DS Структура данных Декартово дерево Ключ и случайный приоритет: глубина O(log n) в среднем, split и merge, массив с разворотом куска за O(log n). O(log n) в среднем на поиск, вставку, удаление, split и merge 1 задача DS Структура данных B-дерево Дерево с сотнями ключей в узле-странице: поиск среди миллиарда ключей читает пять страниц. O(log n) сравнений, O(log_B n) чтений страниц 2 задачи DS Структура данных Дерево отрезков Минимум, максимум и сумма на любом отрезке с изменениями на ходу: оба действия за O(log n). O(log n) на запрос и на изменение 2 задачи DS Структура данных Дерево Фенвика Суммы на префиксе с изменениями за O(log n) в одном массиве: блоки длиной в младшую единицу номера. O(log n) на сумму префикса и на изменение 2 задачи DS Структура данных Разреженная таблица Минимум любого отрезка за O(1) после O(n log n) подготовки: два перекрывающихся блока длиной 2^k. O(1) на запрос, O(n log n) на построение 2 задачи GRA Алгоритм Тяжёлые пути Запросы на путях дерева: тяжёлые пути режут любой путь на O(log n) отрезков массива под деревом отрезков. O(log² n) на запрос 1 задача GEO Структура данных R-дерево Окно карты 10° × 5°: из 58 987 отрезков берега R-дерево проверяет 847 прямоугольников. И находит город, дальше всех от моря. окно — число открытых узлов × M; ближайший — обычно O(log n) узлов 1 задача TEC Приём Префиксные суммы Сумма любого отрезка за O(1) после одного прохода; двумерный вариант считает сумму любого прямоугольника картинки. O(n) на построение, O(1) на запрос 2 задачи TEC Приём Сжатие координат Значения до миллиарда заменить их номерами по порядку — и строить массивы и деревья по номерам. O(n log n) на сжатие 2 задачи