x на [0, π] — ряд по синусам
Задайте период и функцию по кускам — как в учебнике. Инструмент находит коэффициенты a₀, aₙ, bₙ (точные формулы для полиномиальных кусков), строит частичные суммы, гармоники и фазоры и показывает сходимость в выбранной точке.
Нечётное продолжение даёт пилу: bₙ = 2(−1)ⁿ⁺¹/n.
Функция
Точные формулыИсходная волна и сумма ряда
Гармоники в сумме
Нажмите на номер, чтобы убрать гармонику из суммы и услышать разницу.
Слагаемые ряда
Спектр
Сходимость
Вывод по шагам
Учебные задачи
Каждая задача открывается на своей странице — со своим разбором, коэффициентами и графиками.
- Меандр: −1 на (−π, 0), 1 на (0, π)
- Пила: f(x) = x на (−π, π)
- Пила: f(x) = x на (0, 2π)
- Треугольник: f(x) = |x|
- Парабола: f(x) = x²
- Ступенька: 0 на (−π, 0), 1 на (0, π)
- Пандус: 0 на (−π, 0), x на (0, π)
- Импульс: 1 на (−π/2, π/2), иначе 0
- Пила с периодом 1: f(x) = x на (0, 1)
- x на [0, π] — ряд по синусам
- x на [0, π] — ряд по косинусам
- x(π − x) на [0, π] — ряд по синусам
- Парабола на [−1, 1]
- Экспонента: f(x) = eˣ на (−π, π)
Почему это работает
- Синусы и косинусы разных частот ортогональны за целый период: их взаимное среднее равно нулю.
- Коэффициент Фурье — это проекция сигнала на конкретную частоту. Если частота есть в сигнале, проекция получается большой; если нет — почти нулевой.
- Когда мы складываем все такие проекции, каждая гармоника возвращает свою часть формы. Чем больше гармоник, тем точнее сумма повторяет исходную волну.
- Резкие углы и скачки требуют высоких частот. Поэтому прямоугольная и пилообразная волны сходятся медленнее, чем треугольная.
Как читать визуализацию
- Серый пунктир — исходная периодическая волна, синяя линия — сумма выбранного числа гармоник.
- Нижние ряды показывают отдельные слагаемые: каждая строка — синус той частоты и амплитуды, которые участвуют в сумме.
- Фазоры справа — те же гармоники как вращающиеся векторы. Их вертикальные проекции складываются в текущее значение ряда.
- Увеличивайте число гармоник и смотрите, как высокие частоты уточняют углы, пики и резкие переходы.
Краткая справка
Ряд Фурье представляет периодическую функцию как сумму синусов и косинусов: постоянная часть плюс набор гармоник с частотами 1, 2, 3 и дальше. В инженерной практике это основа анализа аудио, радиосигналов, вибраций, изображений и любых повторяющихся процессов.
Эта визуализация рядов Фурье показывает, как сложная периодическая форма собирается из простых синусоид. На одном экране видны исходная волна, частичная сумма, отдельные гармоники и фазоры.
Инструмент полезен для понимания спектрального анализа: прямоугольная, пилообразная и треугольная волны имеют разные наборы гармоник и разную скорость сходимости. Слайдер числа слагаемых помогает увидеть это без формальных выкладок.
Все вычисления выполняются в браузере. Можно использовать страницу как интерактивную справку по рядам Фурье, гармоникам, ортогональности и эффекту Гиббса.